O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida integrallashrej a



Download 200.63 Kb.
Sana09.09.2017
Hajmi200.63 Kb.

Aim.uz


O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar yordamida integrallash
R E J A:


  1. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi




  1. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini yechish usullari




  1. O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi.


Bunday sistemaning sodda ko’rinishi

dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.

Shuning uchun xam biz dastavval o’zgarmas koeffisiyentli bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini kvadraturasiz topish usulini qaraymiz.

Bir jinsli, o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

(2)

Ma’lumki (2) sistemani, unga ekvivalent bo’lgan bitta -tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin.

Shuning uchun (2) sistemasining xususiy yechimlarini

(3)

ko’rinishda izlaymiz.

Bunda va lar o’zgarmas sonlardir.

Ularni shunday tanlab olamizki (3), (2) sistemani qanoatlantirsin.

Buning uchun (2) ga (3) olib borib qo’yamiz.

yoki buni ochib yozsak

(4).

Bu larga nisbatan bir jinsli algebraik tenglamalar sistemasidir.Bu sistema trivial bo’lmagan yechimga ega bulishligi uchun, uning asos determinanti nolga teng bo’lishi zarur.



(5).

(5) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarakteristik tenglama deyiladi. Uning ildizlariga xarakteristik son deyiladi.

(5) ga nisbatan n- darajali algebraik tenglamadir

(3), (2) sistemaning xususiy yechimi bo’lishligi uchun (5) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lishi kerak.

(4) ning koeffisiyentlaridan ushbu matrisani tuzamiz

(6).

a) Faraz etaylik xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va bir-biriga teng bo’lmasin.

Agar ildizni (5) ga olib borib qo’ysak

(7) bo’ladi.

Isbot etamizkim qiymatda (5) determinantning xech bo’lmaganda tartibli minorlaridan biri nolga teng bo’lmaydi.

Haqiqatan xam xarakteristik tenglamaning oddiy ildizi bo’lgani uchun

(8)

nolga teng bo’lmaydi.

Ikkinchi tomondan

(9)

Bunda determinantdagi elementining algebraik tuldiruvchisi bo’ladi.Agar kiymatini (9) keltirib qo’ysak (8) ga asosan larning xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi, ya’ni (9) dagi n-1 tartibli determinantlardan xech bo’lmaganda biri nolga teng bo’lmaydi.

Bundan, (6) matrisaning rangi n-1 ga tengligi kelib chiqadi. Ya’ni (4) sistemadagi tenglamalardan biri qolganlarini natijasi ekanligi kelib chiqadi.

U xolda (4) sistema trivial bo’lmagan yechimlarga ega . Lekin matrisaning rangi n-1 ga teng bo’lgani uchun, bu ildizlar bir-biridan o’zgarmas songa fark kiladi.



Bunda lar o’zgarmas sonlardir.

Agar teng deb, bu qiymatlarni (3) ga qo’ysak, xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning xususiy yechimlari.

(10)

ga ega bo’lamiz.

Ma’lumki (2) sistemaning xususiy yechimlarini biror o’zgarmas songa ko’paytirsak, xosil bo’lgan ifoda yana berilgan sistemaning yechimi bo’ladi.

Shunga kura, xarakteristik tenglamaning ildizlari uchun yukoridagi muloxazalarni ishlatsak, sistemaning n- ta (10) ko’rinishdagi xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.

Isbot etish mumkinkim, bu topilgan xususiy yechimlar, berilgan sistemaning fundamental yechimlar sistemasini tashkil etadi.

Misol 1

xarakteristik tenglama tuzamiz



b) Farazetaylikxarakteristiktenglamakonpleksildizgaegabo’lsin. Xarakteristiktenglamaningkoeffisiyentlarihaqiqiysonalardaniboratbo’lganiuchunugaqo’shmabo’lgankompleksildizgaxamegabo’ladi..

Xarakteristik tenglamaning ildiziga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi



kompleks son bo’lgani uchun uni ko’rinishda yozish mumkin. U xolda

yechimlarga ega bulamiz. Bundan kurinadikim xarakteristik tenglamaning bir juft kompleks ildiziga (2) sistemaning 2 ta haqiqiy yechimi mos keladi.



Misol 2


v) Faraz etaylik xarakteristik tenglama karrali ildizlarga ega bulsin.

U xolda sistemaning umumiy yechimini oldingi metodlar bilan topa olmaymiz. Lekin bu xolda xam uning umumiy yechimini elementar funksiyalar yordamida topish mumkin.

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamada qurgan edikim agar xarakteristik tenglamaning k- karrali ildizi bo’lsa, tenglamaning bu ildizlariga mos bo’lgan k ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlari mavjud bo’ladi.

Sistema uchun kuyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

TEOREMA. Agar xarakteristik tenglamaning k karrali ildizi bulsa, bu ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimlari



(11)

ko’rinishda bo’ladi.

Bunda lar ga nisbatan darajasi dan katta bo’lmagan ko’p xadlilardir. Bu ko’p xadlilarning xar birida ta o’zgarmas sonlar qatnashadi. Bu ko’pxadlilarning xammasidagi xamma koeffisiyentlardan tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar shu ta koeffisiyentlar orqali ifodalanadi.Xususiy xolda ko’pxadlilar o’zgarmas songa teng bo’lishi mumkin. Bu xoldaxarakteristik ildizga mos bo’lgan (2) sistemaning yechimi

bo’ladi.

Bundagi sonlardan k tasi ixtiyoriy bo’lib, qolgan koeffisiyentlar ular orqali ifodalanadi.

Amaliyotda ko’pxadlilarning koeffisiyentlarini topish uchun, ularni berilgan (2) sistemaga kuyib, bu ko’pxadlalarning koeffisiyentlariga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz. Bu koeffisiyentlardan k tasini ixtiyoriy deb, qolgan koeffisiyentlarni ular orqali ifodasini topamiz.

Misol 3



bularni berilgan tenglama kuyib, aniqmas koeffisiyentlar metodidan foydalansak larga nisbatan tenglamalar sistemasiga ega bulamiz.



bulardan


yechimlar



xususiy yechimlarni topish

1)

2)

3)

Agar da


desak

O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi



(1)

berilgan bo’lsin.

Ma’lumki (1) sistemani vektorli

(2)

ko’rinishda xam yozish mumkin. Bunda



Birustunlimatrisayokio’lchovlivectorustun (2) vektorlitenglamauchunKoshimasalasi



(2)tenglamani yechimini



(3)

ko’rinishda izlaymiz. Bunda B, n tartibli matrisa



(3) ni (2) ga keltirib qo’ysak



yoki


(4)

tenglama ega bo’lamiz. Bunda E birlik matrisa



trivial bo’lmagan matrisa (4) tenglamani qanoatlantirishi uchun



(5)

matirisaning maxsus bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni uning determinanti



(6).

(6) ga (2) sistemaga mos bo’lgan xarkteristik tenglama deyiladi.

soniga A matrisaning xos qiymati, V vektor esa λ ga mos bo’lgan xos vektor deyiladi.

(6) xarkteristik tenglamaning xar bir λk ildizi uchun (4) tenglamadan nolga teng bo’lmagan



Matrisanianiqlaymiz.

(2) vektorlitenglamaningixtiyoriytachiziqlibog’liqbo’lmagan

vektorli yechimlarga (2) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi deyiladi. Bunda quyidagi xollar bo’lishi mumkin.

1xol

Xrakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiyva bir-biriga teng emas.



U xolda (2) tenglama n-ta yechimlarga ega bo’lib ularni

(7)

ko’rinishda yozish mumkin. Isbot etish mumkinkim bular (2) tenglamaning fundamental yechim sistemasini tashkil etadi.U xolda (2) tenglamaning umumiy yechimi



(8)

dan iborat bo’ladi.

Misol-1



2 xolxarakteristiktenglamakompleksildizgaegabo’lsinBuxolda (2) tenglamaningyechimibuildizgamosbo’lganyechimi





kompleks son bo’lgani uchun uni

ko’rinishda yozish mumkin ga asosan







Misol




3 xol.


Agarxarakteristiktenglamar-karraliλsildizgaegabo’lsa, uxolda, buildizgamosbo’lgan (2) tenglamaningyechimi

dan iborat buladi.

Misol-2

buni berilgan tenglamaga qo’yamiz



bundan


A1 , A2 ixtiyoriy





Endi (2) tenglamaning ta chiziqli bog’liq bo’lmagan yechimlaridan matrisani tuzamiz.



u xolda



(9)

ga matrisali tenglama deyiladi.



ga

Vronskiy determinanti deyiladi. Agar U(x) matrisa, (9) matrisiali tenglamani qanoatlantirsa, unga (9) tenglamaning integrali yoki fundamental matrisasi deyiladi. (matrisali yechim) Bundan ko’rinadikim chiziqli differensiali tenglamalar sistemasini



ni vektorli ravishda yoki

matrisali ravishda yozish mumkin. Bu tenglamalr orasidagi boglanish shundan iboratki matrisali yechimning ustunlari (2) tenglamaning uzaro chiziqli bog’liq bo’lmagan vektorli yechimlarni tashkil etadi.

Agar A(x) matrisa funksiya, o’zgarmas matrisa bo’lsa.

o’zgarmas koeffisiyentli matrisali



tenglamaning yechimini



ko’rinishda izlaymiz bunda tartibli matrisa



Agar o’zgarmas matrisa uchun



tenglik bajarilsa, u xolda son A matrisaning xos soni (xos qiymati), vektorga esa ga mos bo’lgan xos vektor deyiladi.

TEOREMA.Y(x) matrisa (9) tenglamaning fundamental matrisasi bo’lishi oraliqdagi qiymatlar uchun

shartining bajarilishi zarur va yetarlidir.

TEOREMA 2.Agar matrisa (9) tenglamaning biror intervalda aniqlangan matrisali yechimi bo’lsa u xolda xam bu tenglamaning yechimi buladi.

Ya’ni

S, tartibli ixtiyoriy o’zgarmas matrisa xakikatan xam

(10)

tenglamaning ikki tomonini ungdan C matrisaga kupaytiramiz.



\C o’zgarmas matrisa bo’lgani uchun



ya’ni Y1C (9) tenglamani yechimi buladi.

Xulosa

Bu kurs ishida O’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini matritsalar usulida yechish haqida keltirib o’tilgan. Bunday sistemaning sodda ko’rinishi



dan iborat, bunda o’zgarmas sonlar. esa ko’rilayotgan oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiyadir.

Ma’lumki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topish uchun, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasining umumiy yechimini topishga to’g’ri keladi.

Tenglamalar sistemasini bu usulda yechish turli misollar yordamida tushuntirilgan.

F o y d a l a n i l g a n a d a b i y o t l a r:
С. А. Агафонов, А. Д. Герман, Т. В. Муратова. “Дифференциальные уравнения.” Учебник для вузов -М. Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999.-336с (Серия Математика в техническом университете ;Вып. VIII),Глава 5 параграф 2.

Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - 2-е изд. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001 - 344 с.

3. Дифференциальные уравнения.  Виленкин Н.Я., Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. (1984, 176с.)

4. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах. (Учебно-метод. пос.) Пушкарь Е.А. (МГИУ; 2007, 158с.)

5. Internetsaytlari:

www.ziyonet.uz

www.alleng.ru

www.ru.wikipedia.org



Aim.uz


Katalog: attachments -> article
article -> Axloqning kеlib chiqishi, unda ixtiyor erkinligining ahamiyati va axloq tuzilmasi
article -> Podsho Rossiyasi tomonidan O‘rta Osiyoning bosib olinishi sabablari va bosqichlari
article -> Siyosiy mafkuralarning asosiy ko'rinishlari
article -> Mehnat sohasida ijtimoiy kafolatlar tizimi. Reja: Ijtimoiy himoya qilish tushunchasi va uning asosiy yo’nalishlari
article -> Siyosiy madaniyat va siyosiy mafkuralar Reja
article -> O’zbek Adabiyoti tarixi: Eng qadimgi adabiy yodgorliklar
article -> Ma’naviyatning tarkibiy qismlari, ularning o’zaro munosabatlari va rivojlanish xususiyatlari. Ma’naviyat, iqtisodiyot va ularning o’zaro bog’liqligi
article -> Davlatning tuzilishi
article -> Reja: Geografik o‘rni va chegeralari
article -> Yer resurslaridan foydalanish va ularni muhofaza qilish Reja: Tuproq, uning tabiat va odam hayotidagi ahamiyati. Dunyo yer resurslari va ulardan foydalanish

Download 200.63 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling

    Bosh sahifa
davlat universiteti
ta’lim vazirligi
O’zbekiston respublikasi
maxsus ta’lim
zbekiston respublikasi
o’rta maxsus
davlat pedagogika
axborot texnologiyalari
nomidagi toshkent
pedagogika instituti
texnologiyalari universiteti
navoiy nomidagi
samarqand davlat
guruh talabasi
ta’limi vazirligi
nomidagi samarqand
toshkent axborot
toshkent davlat
haqida tushuncha
Darsning maqsadi
xorazmiy nomidagi
Toshkent davlat
vazirligi toshkent
tashkil etish
Alisher navoiy
Ўзбекистон республикаси
rivojlantirish vazirligi
matematika fakulteti
pedagogika universiteti
таълим вазирлиги
sinflar uchun
Nizomiy nomidagi
tibbiyot akademiyasi
maxsus ta'lim
ta'lim vazirligi
махсус таълим
bilan ishlash
o’rta ta’lim
fanlar fakulteti
Referat mavzu
Navoiy davlat
umumiy o’rta
haqida umumiy
Buxoro davlat
fanining predmeti
fizika matematika
universiteti fizika
malakasini oshirish
kommunikatsiyalarini rivojlantirish
davlat sharqshunoslik
jizzax davlat