O’zbekstan respublikasi joqari ha’m orta arnawli bilimlendiriw ministrligi qaraqalpaq ma’mleketlik universiteti

O’ZBEKSTAN RESPUBLIKASI JOQARI HA’M ORTA ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI
QARAQALPAQ MA’MLEKETLIK UNIVERSITETI


Matematika fakulteti Ámeliy matematika hám informatika qániygeligi
3^D- kurs studenti Akimniyazov Miyrastıń
Differenciallıq teńlemeler hám matematikalıq fizika páninen

“Koshi máselesiniń sheshiminiń dawamlılıǵı ”

temasında jazǵan

KURS JUMÍSÍ

Tapsırǵan: Akimniyazov M
Qabıllaǵan: Otarova J

Nókis_2022

JOBASÍ:

1. 
   Kirisiw
   

2. 
   Tiykarǵı bólim
   

. Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwı hám birden-birligi haqqında

Koshi máselesi sheshimin dawam ettiriw

Izbe-iz juwıqlasıwlardı dúziw

Mısallar

3. 
   Juwmaqlaw
   

4. 
   Paydalanǵan ádebiyatlar
   

Kirisiw

Bul kurs dawamımlılıq teoremaları haqqında. Koshi máselesiniń sheshiminiń bar bolıwı hám sheshimge iye bolmaǵan jaǵdaylardaǵı sheshimdi tabıw ushın onı dawam ettirip izlengen sheshimge iye bolıwdı úyrenemiz. Jumıstıń áhmiyeti tómedegilerden ibarat: Koshi máselesin úyreniw Peano aralıǵında sheshim tabıw menen sheklenip qalmaslıqtı túsiniwi kerek. Bul sheshimdi teńlemeniń anıqlanıw oblastı shegaralarına shekem keńeytiw biraz qıyın hám áhmiyetli. Sheshimlerdi dawam ettirip izlewde júzege keletuǵın jaǵdaylardı saplastırıwda júda úlken járdem beredi. Oqıwshılardıń dıqqat qoyıwı joqarıda aytıp ótilgen teoremalardıń jumısına qaratılǵan, tolıq sheshimler menen máseleler de kiritilgen. Sonıń menen birge, biz Peano teoremasınıń Tonelli usılı menen ayrıqsha tastıyıqlawın usınıs etemiz, bul joqarıda tastiyiqlanǵan pikirlerge tiykarlanadı.

Birinshi tártipli tuwındıǵa qarata sheshilgen differenciallıq teńleme ushın Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwı hám birden-birligi haqqındaǵı teoremasın dálilleymiz. Differenciallıq teńlemelerdıń sheshimlerinıń bar bolıwınıń eń dáslepki dálilleniwi Koshige tiyisli. Tómende keltirilgen dálilleme Pikar tárepinen berilgen, ol izbe-iz jaqıwlasıwlar metodı menen alıp barıladı.
Meyli
(1)
differenciallıq teńleme hám
(2)
baslanǵısh shártleri berilgen bolsın.
1-teorema. (1) differenciallıq teńlemeniń oń jaǵı bolǵan funkciyası

tuyıq oblastta ( tuwrı múyeshlikte ) anıqlanǵan bolıp, tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1) funkciyası óziniń hám ózgeriwshileri boyınsha úzliksiz. Úzliksiz funkciya tuyıq oblastta shegaralanǵan bolǵanlıqtan, bul shártten sonday oń sanı bolıp,
(3)
teńsizliginiń oblastınıń barlıq noqatları ushın orınlanatuǵını kelip shıǵadı
2) funkciyası oblastta ózgeriwshisi boyınsha Lipshic shártin qanaatlandıradı: sonday oń sanı (Lipshic turaqlısı) bar bolıp, tıń qálegen teńsizlikti qanaatlandıratuǵın mánisi ushın hám ózgeriwshisiniń qálegen teńsizliklerin qanaatlandıratuǵın eki hám mánisleri ushın
(4)
teńsizligi orınlanadı.
Sonda (1) differenciallıq teńleme (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵın

aralıǵında anıqlanǵan, úzliksiz differenciallanatuǵın sheshimi bar hám ol birden-bir boladı, bunda . Bul sheshim izbe-iz juwıqlasıwlar metodınıń mına
,

rekurrentlik formulaları menen anıqlanǵan
funkciyalar izbe-izliginiń teń ólshewli shegi boladı.
Dálilleniwi. Teoremanıń dálilleniwi bir neshe basqıshlardan ibarat.
1. Koshi máselesiniń
(5)
integrallıq teńlemege teń kúshliligi. (5) túrindegi teńleme belgisiz funkciyalı Volterranıń sızıqlı emes integrallıq teńlemesi dep ataladı.
Meyli -bazı bir kesindi, al funkciyası (1), (2) Koshi máselesiniń sheshimi bolsın. Sonda
(6)
(7)
Bul (6) birdeyliktıń eki jaǵın da qa kóbeytip bolıp, den qa shekem integrallasaq hám (7) shártti esapqa alsaq, onda funkciya barlıq ushın (5) teńlemeni qanaatlandıradı. Bul funkciyasınıń kesindide (5) teńlemenıń sheshimi ekenin ańlatadı.
Meyli endi funkciyası (5) integrallıq teńlemeni barlıq ushın qanaatlandıratuǵın bolsın. (5) teńliktıń oń jaǵında úzliksiz differenciallanıwshı funkciya bolǵanlıqtan (joqarı shegarasınıń funkciyası sıpatında anıq integraldıń belgili qásiyetleri boyınsha), funkciyası da kesindide úzliksiz differenciallanıwshı boladı. (5) teńliktıń eki jaǵınan da tuwındı esaplanǵannan keyin (6) teńligin alamız, al (5) teńliginde dep esaplasaq, (7) teńligin alamız. Bul talqılawlar (5) integrallıq teńlemeniń kesindisindegi úzliksiz sheshimi (1), (2) Koshi máselesiniń izlengen sheshimi bolatuǵının dálilleydi.
2. Izbe-iz juwıqlasıwlardı dúziw. (5) integrallıq teńlemenıń sheshimin dúziw ushın izbe-iz jaqınlasıwlar metodın qollanamız.
Bul metodqa muwapıq, funkciyalar izbe-izligi
(8)
rekurrentlik formulası menen anıqlanadı, bunda nollik jaqınlasıw sıpatında baslanǵısh mánis alınadı, yaǵnıy .
Biz (8) qatnasları menen anıqlanatuǵın funkciyaların aralıǵındaǵı barlıq mánisleri ushın qarastıramız. Sonda bul funkciyalar ushın tómendegi tastıyıqlawlar orınlı:
1. funkciyalarınıń hár biri barlıq ushın úzliksiz funkciya boladı, sebebi teorema shárti boyınsha funkciyası úzliksiz bolǵanlıqtan,
integralıda óziniń joqarı shegarası tıń úzliksiz funkciyası boladı
2. funkciyalarınıń hár biri baslanǵısh shártin qanaatlandıradı, bul (8) qatnasınan ayqın kórinip tur:
3. funkciyalarınıń hár biri aralıǵında anıqlanǵan hám oblastınan shıǵıp ketpeydi. Bunı dálillew ushın (8) qatnasınan bolǵanda ayırmasın dúzip, onı bahalaymız:
(9)
Al, teńsizligin esapqa alsaq, onda

yaǵniy
(10)

_{bahalawına iye bolamız, sebebi} sanı hám sanlarınıń kishisi bolǵanlıqtan, _{Bul (10) teńsizligi funkciyasınıń oblastınan shıǵıp ketpeytuǵının ańlatadı.
Endi ekinshi jaqınlasıwdı dúzemiz:}

Bunnan

teńsizligin alamız, ol _{funkciyasınıń} oblastınan shıǵıp ketpeytuǵının kórsetedi.
Ulıwma alǵanda, jaqınlasıw anıqlanǵannan keyin, -jaqınlasıwdı

_{formula menen anıqlaymız,} ózgeriwshi aralıqta ózgergende jaqınlasıw oblastınan shıǵıp ketpeydi dep uyǵarıp hám demek, teńsizligin alıp, _{jaqınlasıw ushın}

teńsizligin alamız, bul teńsizlikten bolǵanda

teńsizligine iye bolamız, yaǵniy jaqınlasıw da sol oblastınan shıǵıp ketpeydi. Solay etip, eger bolsa, onda (8) qatnası menen anıqlanatuǵın barlıq ushın jaqınlasıwlardıń oblastınan shıǵıp ketpeytuǵını tolıq indukciya usılı menen dálillenedi.
3. Izbe-iz jaqınlasıwlardıń jıynaqlıǵı. Endi izbe-izliginiń
(11)
sheginiń bar ekenin hám sheklik funkciya (1) teńlemeni hám (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵının kórsetiw kerek.
Bul (11) shárttıń bar ekenin kórsetiw ushın
(12)
funkcionallıq qatardıń jıynaqlı ekenin dálillew jetkilikli.
Haqıyqatında da, bul qatardıń dara qosındısı qa teń, yaǵniy hám eger (12) qatar funkciyaǵa jıynaqlı bolsa, onda bunıń menen (11) qatnası dálillengen boladı.
Bunı dálillew ushın (12) qatardıń aǵzalarınıń absolyut shamaların bahalaymız:
(13)

Teoremanıń ( 4) Lipshic shárti tiykarında integral astı funkciya

teńsizligin qanaatlandıradı. Bul sońǵı teńsizlikti hám tabılǵan (13) teńsizligin esapqa alsaq, onda tómendegi bahalawǵa iye bolamız:
(14)
Usıǵan uqsas túrde


bunnan
(15)
teńligin alamız.
Qálegen natural sanı ushın
(16)
teńsizliginiń orınlı ekenin dálilleymiz.
Bunıń ushın tolıq indukciya usılın qollanamız: (16) teńsizligi ushın orınlı dep uyǵarıp, onıń ushın orınlı bolatuǵının dálilleymiz. (8) qatnası tiykarında ayırmasın dúzip, onı (4) teńsizlikti paydalanıp bahalaymız:


Endi (16) teńsizlikti esapqa alsaq, sońǵı teńsizlik tómendegi túrge iye boladı:


yaǵnıy (16) teńsizligi ushın da orınlı. Al, bul teńsizlik hám ushın orınlı bolǵanlıqtan, ol hár bir natural sanı ushın orınlı boladı.
Endi (13)-(16) teńsizliklerinde shamasın onıń múmkin bolǵan eń úlken mánisi h penen almastırıp, (12) qatardıń hár bir aǵzası (eger onıń birinshi aǵzasın esapqa almasaq) mına oń aǵzalı
(17)
sanlı qatardıń sáykes aǵzasınan kishi degen juwmaqqa kelemiz.
Sońǵı (17) sanlı qatarǵa Dalamber belgisin qollanıp, tómendegige iye bolamız:

Solay etip, Dalamber belgisine muwapıq, (17) sanlı qatarı jıynaqlı boladı. Al, (11) qatardıń barlıq aǵzaları absolyut shaması boyınsha (17) sanlı qatardıń sáykes aǵzalarınan kishi bolǵanlıqtan, Veyershtrass belgisine muwapıq, (11) qatar shártin qanaatlandıratuǵın barlıq ushın teń ólshemli jıynaqlı boladı. (11) qatardıń hár bir aǵzası tıń úzliksiz funkciyası boladı. Demek,
(18)
shegi bar hám ol ózgeriwshiniń úzliksiz funkciyası boladı.
Al,
(19)
bolǵanlıqtan sheklik funkciya (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıradı.
Endi sheklik funkciyanıń berilgen teńlemeni qanaatlandıratuǵının kórsetemiz. (7) teńlikte
da shekke ótemiz.
Berilgen funkciyası boyınsha oblastında teń ólshewli úzliksiz bolǵanlıqtan, qálegen aldın ala berilgen oń sanı ushın sonday
sanı tabılıp, teńsizligi orınlanatuǵın oblastınıń hám noqatlar jubı ushın

teńsizligi orınlanadı (bunda Lipshic shártine muwapıq, dep alıw jetkilikli). Al, izbe-izliginiń da sheklik funkciyaǵa teń ólshewli umtılatuǵın bolǵanlıǵınan tańlap alınǵan ushın natural sanın bolǵanda
intervalındaǵı barlıq mánisleri ushın


teńsizligi orınlanatuǵınday etip saylap alıw múmkinshiligi kelip shıǵadı.
Bul eki teńsizlikti salıstırıp, bolǵanda tómendegige iye bolamız:

Bunnan tómendegi teńsizlik kelip shıǵadı:

teńligine iye bolamız.
Solay etip, (8) teńlikte da shekke ótip,
(20)
birdeyligin alamız, yaǵniy sheklik funkciya (5) integrallıq teńlemeni qanaatlandıradı.
Bul funkciyası boyınsha tuwındıǵa iye, sebebi (20) birdeyliktıń oń jaǵın da joqarǵı ózgeriwshili shegarası boyınsha tuwındıǵa iye bolatuǵın, úzliksiz funkciyadan alınǵan integral bar.
(20) birdeyligin differenciallıq,

boladı, yaǵniy sheklik funkciyası berilgen (1) differenciallıq teńlemeni qanaatlandıradı, al ol (19) teńligine muwapıq, (2) baslanǵısh shártti de qanaatlandırǵanlıqtan, funkciyası berilgen (1), (2) Koshi máselesinıń sheshimi boladı.
Sheshimnıń birden-birligin dálillew. Berilgen Koshi máselesiniń tabılǵan sheshimin basqa (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵın (1) teńlemeniń jáne bir sheshimi bar dep uyǵaramız. Ulıwmalıqtı sheklemey-aq, bolatuǵın mánisleri noqatınıń oń jaǵında dıń qálegen jaqın dógereginde jaylasadı dep uyǵaramız.
Biziń bul uyǵarıwımızdıń qarama-qarsılıqqa alıp keletuǵının kórsetemiz. Bazı bir kishi sanın alamız; uyǵarıwımız boyınsha tuyıq; aralıqta bola bermeydi. Demek, oń funkciyası bul aralıqta bazı bir noqatta óziniń eń úlken mánisine erisedi, sonıń menen birge, bola almaydı, sebebi noqatta hám funkciyaları óz-ara teń. Shárt boyınsha

hám

boladı.
Endi ke mánisin berip, bul birdeyliklerdi bir-birinen alamız hám ayırmanı bahalaǵanda Lipshic shártin paydalanamız:

Bul jerde eger integral astındaǵı ayırmanı onıń eń úlken mánisi menen almastırsaq hám integraldı aralıǵınıń ornına aralıqta esaplasaq, onda sońǵı teńsizlikti kúsheytemiz. Nátiyjede teńsizligin alamız, bunnan uyǵarıwımız boyınsha bolǵanlıqtan, teńsizligine iye bolamız, al bul teńsizlikten qarama-qarsılıqqa kelemiz, sebebi dı qálegenshe kishi shama dep qarawımızǵa boladı, máselen bola aladı. Demek, qanaatlandırǵan baslanǵısh mánisti qanaatlandıratuǵın ekinshi sheshim bar dep uyǵarıwımız qarama-qarsılıq alıp keledi.
Solay etip, teor\emanıń shártleri orınlanǵanda (1) differenciallıq teńlemeniń baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵın birden-bir sheshimi bar boladı.
Bul dálillengen teorema Koshi-Pikar teoreması dep ataladı.
2-eskertiw. Lipshic shárti Koshi máselesi sheshiminiń birden-birligin táminleydi. Talıqlawlardı ápıwayılastırıw ushın biz onıń sheshiminiń bar nolıwın dálillewden de paydalandıq.
3-eskertiw. Eger funkciyası oblasttıń hár bir noqatında pútkil _{oblastta shegaralanǵan} dara tuwındıǵa iye bolsa, yaǵniy eger bolsa, onda (4) Lipshic shárti mudamı orınlanadı. Haqıyqatında da, Lagranj boyınsha

teńligi orınlı. Bunnan (4) teńsizligi kelip shıǵadı.
4-eskertiw. Teoremanı dálillew barısında biz (1) differenciallıq teńlemeni (5) integrallıq teńleme menen almastırdıq. Bunday almastırıwdıń maqseti ayqın: integrallar izbe-izligi ushın teń ólshewli jıynaqlılıq shártleri tuwındılar izbe-izligi ushın jıynaqlılıq shártlerine qaraǵanda anaǵurlım ápiwayıraq boladı.
_{Eger (1) differenciallıq teńlemede funkciyasına tek úzliksiz shárti ǵana qoyılsa, onda berilgen (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵın eń keminde bir sheshiminiń bar bolıwın dálillew múmkin. Bul teoremanıń dáslepki dálilleniwi Peanoǵa tiyisli.
3-teorema (Peano teoreması). Meyli funkciyası}

oblastta anıqlanǵan hám úzliksiz bolsın. Sonda aralıǵında (1) teńlemeniń (2) baslanǵısh shártti qanaatlandıratuǵın eń keminde bir sheshimi bar boladı, bunda

Mısal. Koshi máselesin kvadratta qarap, usı máselenıń sheshimine úshinshi izbe-iz jaqınlasıwdı tabıń. Pikar teoreması qanday aralıqta izbe-iz jaqınlasıwdıń jıynaqlılıǵın támiyinleydi? Berilgen Koshi máselesiniń dál sheshimi menen tabılǵan úshinshi jaqınlasıw arasındaǵı qátelikti bahalań.

Sheshiliwi: Qarastırıp atırǵan jaǵdayda funkciya boyınsha úzliksiz differenciallanadı hám onıń boyınsha dara tuwındısı boladı. Sonlıqtan, _{Lipshic shártin} turaqlısı menen qanaatlandıradı. Al,

bolǵanlıqtan Demek, berilgen Koshi máselesiniń sheshimine izbe-iz jaqınlasıwlar eń keminde aralıqta jıynaqlı boladı. Bul jaqınlasıwlar

formulası boyınsha anıqlanadı. Sonda

Dál sheshim menen tabılǵan úshinshi jaqınlasıw arasındaǵı ayırma

teńsizligi menen bahalanadı.
Demek, Pikar teoreması izbe-iz juwıqlasıwdıń jıynaqlılıǵın aralıqta táminleydi. Úshinshi jaqınlasıwdıń absolyut qáteligi dan asıp ketpeydi.

Bizge oblastta anıqlanǵan differencial teńleme berilgen bolsın

(21)
Anıqlama. aralıqta anıqlanǵan funkciya (21) teńlemeniń sheshimi dep ataladı, eger
1) bolsa
2) qálegen
3) qálegen
belgisi hár qanday intervaldı bildiredi,
Tómendegi, tuyıq oblast shegarası biriktirilgen oblast (yaǵniy, jabıq) esaplanadı. Ol belgilenedi. Eger oblast hám onıń shegarası sáykes ráwishte hám menen belgilense tuyıq oblast belgilenedi.
(21) teńleme oblastta sheksiz kóp sheshimlerge iye. Olardıń bir dara sheshimin ajratıp kórsetiw ushın (21) teńlemege qosımsha ráwishte tómendegi baslanǵısh shárt qoyıladı
(22).
(21) teńlemenıń sheshimin tabıw máselesi (22) ni qanaatlandıratuǵın másele Koshi máselesi delinedi. (22) degi baslanǵısh shártler yamasa baslanǵısh noqatları delinedi. Koordinataları bolǵan tochka (21) teńlemeniń oń tárepinde anıqlanǵan oblastqa tiyisli bolıwı kerek. Koshi máselesi (21) hám (22) qanaatlandırıwı bar bolıwı hám birden- birligi máselesi n kórip shıǵamız.
4-teorema (Tiykarǵı teorema). funkciya _{oblastta anıqlanǵan bolsın. Onda hár qanday} tochka ushın aralıq sonday bolsın, (21)-(22) Koshi máselesiniń sheshimi bar bolsın.
(21) teńlemeni qanaatlandırıwshı hár qanday sheshimi eki sheshim bir waqıtta anıqlanǵan aralıqta qa tuwrı keliwi qızıqlı másele.
belgili funkciya _{oblastında úzliksiz hám ondaǵı ózgeriwshisi Lipshic shártin qanaatlandıradı.
Anıqlama:} funkciya eger _oblasttaǵı ózgeriwshilerge salıstırǵanda Lipshic shártin qanaatlandıradı, eger turaqlı bar bolsa, hár qanday teńsizlik ushın
(23)
(21)-(22) Koshi máselesiniń sheshimi bar ekenligin funkciyanıń úzliksizligin talap qılıw jetkilikli (Peano teoreması)
Eger biz _oblastında dara tuwındınıń úzliksizligin talap sheshim de ayrıqsha boladı.
4-teorema Pikardıń izbe-iz jaqınlasıw usılı menen dálillengen dep oylaymız.
Bul dálillew tómendegi lemmaǵa tiykarlanadı.
Lemma: Eger úzliksiz differenciallanıwshı funkciya (21)-(22) Koshi máselesiniń sheshimi bolsa onda
(24)
integral teńlemeni de qanaatlandıradı.
Kerisinshe eger úzliksiz funkciya (24) integral teńlemeniń sheshimi bolsa, onda (21)-(22) Koshi máselesiniń de sheshimi boladı.
Koshi máselesiniń sheshimleri anıqlanıw oblastı menen bir-birinen parq qılıwı múmkin.
Bunı kórsetiw ushın Koshi máselesin kórip shıǵamız
(25)
onıń sheshimi funkciya. Tórtmúyeshli maydan retinde biz

alamız. Keyin hám
teorema jabıq tórtmúyeshlikte Koshı máselesiniń (25) sheshimi bar ekenligin kórsetedi.
túrli mánislerdi qabıl etiwi múmkin.
Haqıyqatında da bunnan boladı. Bunda tıń maksimal mánisi
boladı. Eger bolsa maksimal dep alsaq, onda boladı. Solay etip, . Eger, máselen
bolsa boladı.
Demek, hám aralıqta noqattan ótiwshi integral iymek sızıq bar boladı.
Soraw tuwıladı, eger Koshi máselesiniń (25) sheshimi belgisiz bolsa, olardıń sheshiminiń bar bolıwın qanday kórsetiw múmkin? Tiykarǵı teoremanıń ekinshi bólimi (anıqlamanıń ulıwma ózine say) bul qıyınshılıqtı jeńip ótiwge múmkinshilik beredi. Usı maqsette sheshimniń dawam ettiriliw haqqındaǵı túsinik kiritiledi.
Anıqlama: (21) teńlemeniń aralıqtaǵı sheshimi ushın bolatuǵın
sheshimi bar bolsa, ońnan úzliksiz delinedi. Eger bolsa anıqlamaǵa kóre bizge máselen aralıq ushın keyingisi jabıq
Anıqlama: Sheshimdi ońǵa hám shepke de sozıw múmkin bolmasa, onı dawam ettirip bolmaydı. Keńeytirilmeytuǵınlarǵa mısal retinde joqarıdaǵı keltirilgen Koshi máselesiniń (25) sheshimin keltiriw múmkin.
Oylayıq (1)-(2) Koshi máselesiniń sheshimi aralıqta anıqlanǵan hám onıń grafiginiń noqatları shegaralanǵan oblastqa tiyisli. Sonday-aq ushın teńsizlik orınlı. Bul jaǵdayda
(26)
shegaralanǵan shekleri bar ekenligin kórsetemiz.
Haqıyqattanda, Lagranj teoremasına kóre, hár qanday ushın noqatı bar boladı.

(26) qatnasları bunnan basqa Koshi kriteriyasınan kelip shıǵadı.
Eger nı ornatsaq funkciya segmentinde anıqlanǵan hám úzliksiz boladı.
Solay etip, intervalda berilgen funkciya segmentine úzliksiz boladı. Bunnan basqa, hám tochkalar segmentindegi ózgeriwshisiniń úzliksiz funkciyası esaplanadı. Endi ekenligin kórsetemiz. sheshimniń tuwındısı hám aralıqta úzliksiz funkciya.
funkciya _{segmentinde úzliksiz funkciya bolǵanı ushın}


shegaraları bar. Endi noqatta oń tárepinen hám noqatta shep tárepinen tuwındılardı esaplayıq.
Eger tochkası bolsa, onda lemma boyınsha hár qanday ushın

Sebebi funkciyası segmentte úzliksiz boladı.


Birinshi teńlikten ekinshi teńlikti ayırıp, orta mánis haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq

alamız.
Bunnan kelip shıǵadı
(27)
boladı.
Tap sonday biz
(28)
ekenligin kórsetiwimiz múmkin.
funkciya shep tárepten tuwındısı noqatta bar hám shep tárepten úzliksiz, sonday-aq onıń oń tuwındısı noqatta úzliksiz boladı. Sebebi hám
bolsa úzliksiz funkciya.
Demek funkciya segmentindegi (21) teńlemenıń sheshimi joqarıdaǵı súwretlengen sheshimdi dawam ettiriw tártibi tómendegi teoremaǵa alıp kelinedi.
5-teorema. oblastındǵı funkciya 4-teoremanıń barlıq shártlerin qanaatlandırsın hám aralıqta anıqlanǵan (21) teńlemeniń sheshimi bolsın. Eger shegarası hám noqatı bolsa, onda shekli funkciya ońǵa sozılıwı múmkin.
6-teorema. oblastındǵı funkciya (21)-(22) Koshi máselesiniń sheshiminiń bar bolıwı hám birden-birligi ushın 4-teorema shártlerin qanatlandıradı. bolatuǵın hám shegaralanǵan oblast bolsın. Onda hár qanday qálegen noqatlar ushın (1) teńlemeniń baslanǵısh shárti shegarasına jetemen degenshe hár eki baǵıtta dawam ettiriw múmkin
Eger Pikar teoremasınıń shártleri jabıq oblastta orınlansa, onda

máseleniń sheshimi usı oblastıń shegarasına shekem dawam ettiriw múmkin.

Tómende usılarǵa baylanıslı faktler keltirilgen:
Eger funkciya polasada anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp, teńsizlikti qanaatlandırsa onda Koshi máselesiniń har qanday sheshimi pútin intervalǵa dawam ettiriw múmkin.
Bixari lemması. funkciyalar teris emes hám úzliksiz jáne
kemeyiwshi hám de bolıp,

teńsizlik orınlı bolsın. Onda barlıq lar ushın

teńsizlik orınlı boladı, bul jerde

hám funkciya funkciyasınıń anıqlanıw oblastına tiyisli.

Juwmaqlaw

Juwmaqlap ayqanda biz bul kurs jumısında Koshi máselesi menen tereńirek, tolıǵıraq tanıstıq. Sheshim berilgen oblastta sheshimge iye jaǵdaylar menen, berilgen oblastta sheshimge iye bolmaǵan jaǵdaylarda qanday usıllar menen sheshimdi izlew kerek ekenligi, jane bir neshe mısallardıda kórip shıqtıq. Kóp jaǵdaylarda Koshi máselesi sheshiminiń joqarıda teoremalarda kórsetilgen aralıqlardan keńirek aralıqta ta da bar boladı.
Eger Pikar teoremasınıń shártleri jabıq oblastta orınlansa, onda

máseleniń sheshimi usı oblastıń shegarasına shekem dawam ettiriw múmkin.

Tómende usılarǵa baylanıslı faktler keltirilgen:
Eger funkciya polasada anıqlanǵan hám úzliksiz bolıp, teńsizlikti qanaatlandırsa onda Koshi máselesiniń har qanday sheshimi pútin intervalǵa dawam ettiriw múmkin.

Paydalanılǵan ádebiyatlar

1. O. D. Nurjanov “Ápıwayı differenciallıq teńlemeler” Nókis “Qaraqalpaqstan” 2019
2. A.M Bishaev, B.N. Diesperov “Дифференциальные уравнения” Москва МФТИ 2015
3. Y.P. Oppoqov, N. Turgunov, I.A. Gafarov “Oddiy differencial tenglamalardan misol va masalalar to’plami” “Voris- nashriyot” Toshkent-2009
4. N. Umrzaqov “Oddiy differencial tenglamalar” Andijon 2020 y
5. D. S. Guter, L. R. Yanpolskip “Differencial tenglamalar” “Oqituvchi” nashryoti Toshkent-1978
6. A. Omarov, Ó.O Qurbanbaev, G.Q. Qılıshbaeva “Matematikalıq fizika teńlemeleri boyınsha mısallar hám máseleler” Nókis-2017
Internet tarmaqları
7. www. ziyonet.uz