|
Nazariy formulalar yordamida
daliliy egri chiziqlarni
tekislash
eng kam
kvadratlar usulini qo’llashga asoslanadi. Ushbu daliliy egri chiziqqa to’g’ri keladigan
nazariy egri chiziq quyidagi shartlarni qoniqtirishi kerak: barcha daliliy egri chiziqlar
ordinatalari og’ishining kvadratlari yig’indisi qiymati ularga mos keladigan nazariy
egri chiziqqa nisbatan minimal qiymatga ega bo’lishi kerak.
Oldin ko’rsatilgan usul bilan o’zgaruvchanliklar orasidagi aloqa shakli
aniqlangandan so’ng ular orasidagi statistik bog’liqlikni o’rnatish masalasi shu
aloqani ifodalovchi tenglama parametrlarini aniqlashdan iborat bo’ladi.
Eng kam kvadratlar metodi asosida juft normal tenglamalar tuziladi; ularni
echish orqali va egri chiziq yordamida tenglamaning aniqlanishi zarur bo’lgan
parametrlari belgilanadi.
Daliliy egri chiziqni tekislash to’g’ri chiziq tenglamasi y=a+bx bo’yicha
bajarilishi mumkin. Eng kam kvadratlar usuli bilan a va b parametrlarni hisoblash
uchun juft normal tenglamalar quyidagi empirik usul bilan tuziladi:
1) tenglama parametrlari ko’paytiriladigan ifodalar yoziladi; ular 1 va x ga teng;
2) bu ifodalarga to’g’ri chiziq tenglamasining hadlari ketma-ket ko’paytiriladi va
hosil bo’lgan ifodaga
∑
belgisi yoziladi. Bu belgiga aniqlanayotgan a va b
parametrlar yozib boriladi; shunda
an
=
a
∑
, bunda n silliqlanayotgan daliliy
egri chiziqning ordinata o’qlari soniga mos keladi.
Demak, juft normal tenglama quyidagicha yoziladi:
x
∑
b
na
=
y
∑
;
2
∑
b
x
∑
a
=
yx
∑
x
.
(18.18)
To’g’ri chiziq tenglamasi bo’yicha egri chiziqni tekislash uchun quyidagi daliliy
ma’lumotlardan foydalanamiz:
x . . . . . 1
2
3
4
u . . . . . 8
7
5
6
Mos keluvchi to’g’ri chiziq parametrlarini aniqlash va tenglamani echish uchun
jadval tuzamiz (18.9-jadval).
18.9-jadval
x
u
x
2
xu
Tekislangan qiymat
(hisoblangan) u*
1
8
1
8
7,7
2
7
4
14
6,9
3
5
9
15
6,1
4
6
16
24
5,3
10
=
х
∑
26
=
y
∑
30
=
х
∑
2
61
=
хy
∑
(18.18) tenglamaga 18.9-jadvaldagi ma’lumotlarni qo’yib, quyidagilarni olamiz:
26=4a+10b;
61=10a+30b.
405
Tenglamani echib, a=8,5; b=
0,8 ga teng ekanligini topamiz. Demak,
aniqlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi
u=8,5
0,8x .
(18.19)
(18.19) ifodaga x=1, 2, 3, 4 qiymatlarini ketma-ket qo’yib, u*=7,7; 6,9; 6,1; 5,3
tekislangan qiymatlarini olamiz.
(18.19) tenglama ham interpolyatsiyaga (dalillar ma’lumotlar oralig’idagi
abstsissa qiymatlarini hisoblashga), ham ekstrapolyatsiyaga (daliliy qiymatlardan
tashqarida yotgan abstsissa qiymatlarini hisoblashga) imkon beradi. Birinchi holatda
x qiymati, mavjud daliliy qiymatlar oralig’idan, ikkinchi holatda esa, maksimal yoki
minimal daliliy qiymatlardan eng kattasi yoki eng kichigi olinadi.
Namunali egri chiziq formulasi bo’yicha tekislash
bu holda daliliy egri chiziq
nuqtalari deyarli to’g’ri chiziqda joylashadi, lekin ular to’g’ri burchakli koordinatalar
sistemasida yotmasdan, balki yarim logarifmli koordinatalarga mos keladi va
namunali egri chiziq formulasi u=ab
x
ko’rinishida ifodalanadi.
Ushbu tenglama logarifmlanganda lgy=lga+xlgb ifodasi kelib chiqadi, undagi x
va lgy o’zaro chiziqli bog’langandir.
x va lgu orasidagi chiziqli bog’liqlikni hisobga olib, yuqorida keltirilgan
misoldagi kabi, juft normal tenglamani tuzish mumkin:
b
∑
lg
a+
lg
y)=n
lg
∑ (
;
2
x
b
lg
х
lg
lg
∑
a
∑
y)=
∑ (
.
(18.20)
So’ngra oldingi misoldagiga o’xshatib x; u; lgy; x
2
; xlgy qiymatlari uchun jadval
tuziladi, tegishli yig’indilar hisoblanadi va (18.20) tenglama yordamida a va b
parametrlar, so’ngra u* ni tekislangan qiymatlari topiladi.
Giperbola yoki parabola formulasi bo’yicha tekislash
daliliy egri chiziq
nuqtalari logarifmik koordinatalar sistemasida deyarli to’g’ri chiziqda yotgan holni
ko’rib chiqamiz, bunda egri chiziq u=ax
b
yoki u=ax
b
tenglamalariga mos keladi. Bu
tenglamalar logarifmlanganda lgy=lga
blgx ko’rinish oladi, bunda lgy va lgx o’zaro
chiziqli bog’langan.
Oldingi misoldagi kabi juft normal tenglama tuziladi:
∑
lgy=nlga
b
∑
lgx ;
∑
(lgylgx)=lga
∑
lgx
b
∑
(lgx)
2
.
(18.21)
So’ngra a va b parametrlar va u* ning tekislangan qiymati aniqlanadi.
SHunday qilib, daliliy egri chiziqning tekislanishi o’zgaruvchan miqdorlarning
o’zgarishini to’g’ri chiziq, namunali egri chiziq va parabola (yoki giperbola)
qonunlariga bo’ysungan tekislanish hollari uchun ko’rib chiqildi.
Barcha keltirilgan misollarda eng maqbul nazariy egri chiziqlarni aniqlash
daliliy egri chiziqlar ordinatalari teng qiymatli deb taxmin qilingan hollar uchun
olingan, ya’ni bir xil sonli daliliy ma’lumotlar uchun hisoblangan. Eng maqbul egri
chiziqlar tenglamalari parametrlarini nazariy jihatdan aniqlashda ayrim daliliy
ordinatalar chastotasini hisobga olish zarur. Daliliy egri chiziqning ordinata
chastotasini hisobga olish dastlabki ma’lumotlar jadvallarida va juft normal
406
tenglamalarda qandaydir o’zgarishlarni keltirib chiqaradi. Bunday hollarda juft
normal tenglama quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
∑
fy=a
∑
f+b
∑
xf ;
∑
(xfy)=a
∑
xf+b
∑
x
2
f .
(18.22)
Do'stlaringiz bilan baham: |
