O‘zbekiston respublikasi

Yechish.

1. Dastlab berilgan f(x) = 0 tenglamani quyidagi uch xil x = g(x) kabi ko‘rinishda yozib olamiz:

1) ^{x } ; 2)

x  arcsin(x² 1) <sub>; 3)

x </sub> 1 sin(x) _.

x

Dastlabki x₀ yaqinlashishni tanlab, qolgan yaqinlashishlarni ushbu x_n+1 = g(x_n) iteratsion formuladan topamiz. Avvalo MS Excel dasturi yordamida har uchchala akslantirilgan tenglamani bir xil boshlang‘ich ya- qinlashish yordamida iteratsion formula yordamida yechamiz:

№ iter.	1-formula	2-formula	3-formula
0	1	1	1
1	1,3570081	0	1,84147098
2	1,4061416	-1,57079633	1,06631641
3	1,40942364	#ЧИСЛО!	1,75878938
4	1,40961259	#ЧИСЛО!	1,1271283
5	1,40962335	#ЧИСЛО!	1,68852403
6	1,40962397	#ЧИСЛО!	1,18036703
7	1,409624	#ЧИСЛО!	1,63063328
8	1,409624	#ЧИСЛО!	1,2254198
9	1,409624	#ЧИСЛО!	1,58390459
10	1,409624	#ЧИСЛО!	1,26264808

Bu jadval qiymatlari shuni ko‘rsatadiki, berilgan boshlang‘ich yaqin- lashishda birinchi iteratsion formula bilan 6-qadamda 7 xona aniqlik bilan natijaga erishiladi, uchinchisida esa 115-qadamda (bu jadvalda ko‘rsatilmagan). Ikkinchi formula bilan hisoblashlarda 3-qadamdayoq

hisoblashlar to‘xtatiladi, sababi: arcsin funksiya argumentining qiymati 1 dan oshib ketadi (bu funksiyaning aniqlanish sohasi buzilganligini bildira- di). Demak 1-formula iteratsion jarayonning yaqinlashish shartini bajar- moqda.

Endi dasturni tuzishga o‘tamiz:

1. 
   Ushbu y = yaratamiz.
   

x²  sin(x) 1

funksiya tavsifi yozilgan Func.m faylni

Файл Func.m.

function z=Func(x) z=x.^2-sin(x)-1;

2. 
   Ushbu ^{x } iteratsion formulaning tavsifi yozilgan Func1.m
   

faylni yaratamiz.

Файл Func1.m. function y=Func1(x) y=sqrt(1+sin(x))

3. 
   Iteratsiyalar usuli yordamida tenglama ildizining qiymatini chiqarib beruvchi Iter.m faylni yaratamiz.
   

Файл Iter.m. function Iter(f,x0,esp) x1=Func1(x0);

k=1;

while abs(x1-x0)>esp x0=x1; x1=Func1(x0); k=k+1;

end; x=x1 k

fx=feval(f,x1)

4. 
   Tenglama ildizining qiymatini hisoblash:
   

>> Iter('Func',1.4,0.001)

x =

1.4076

k =

5

fx =

-0.0055

Javob: Ushbu х=1.4076 yechim 0,001 aniqlik bilan 5 ta iteratsiyada topildi. Bunda tafovutning qiymati: fx = -0.0055.

Mazkur ishning end muhim xulosalari quyidagilar:

1. 
   Ildizlarni ajratish.
   
   • 
     ildizlarni ajratish yagona ildiz yotgan oraliqni topish imkonini be- radi, bu esa ildizlarni aniqlash usullarining ishlashi uchun imkoniyat yaratib beradi;
     
   • 
     funksiyaning hosilasi mavjud bo‘lmagan nuqtalari, ya’ni uzilish nuqtalari uning kritik nuqtalariga kiradi, shuning uchun funksi- yaning ildizlarini analitik usulda ajratish mumkin;
     
   • 
     izolyatsiyalangan ildiz yotgan interval topilgandan so‘ng hisoblash- larni kamaytirish maqsadida (masalan, bu intervalning chegaralari- dan biri cheksizlikda yotgan bo‘lsa) argumentning ixtiyoriy qiymatini berish orqali bu intervalni qisqartirish mumkin va bunda funksiyaning ishorasini tekshirish lozim; agar shu intervalda yagona ildiz yotganligiga ishonch yo‘q bo‘lsa, bunday qilmagan ma’qul;
     
   • 
     ildizlarni analitik usulda ajratishning asosida yotgan kritik nuqtalar bu funksiyaning birinchi hosilasi nolga teng yoki u mavjud bo‘lmagan nuqtalar;
     
   • 
     agar shu intervalda funksiyaning bitta kritik nuqtasi mavjud bo‘lsa, unda bu intervalda shu funksiyaning: ikkita ildizi bor bo‘lishi mum- kin (agar funksiyaning x va x- dagi ishorasi bir xil va uning kritik nuqtasidagi ishorasiga qarama-qarshi bo‘lsa); bitta ildizi bor bo‘lishi mumkin (agar funksiyaning x yoki x- dagi ishorasi uning kritik nuqtasidagi ishorasi bilan mos tushsa); ildizi bo‘lmasligi mumkin (agar funksiyaning yuqorida qayd qilingan bar- cha nuqtalarida ishoralari bir xil bo‘lsa);
     
   • 
     fuksiyaning kritik nuqtasini topish uchun f '(x) = 0 chiziqli bo‘lma- gan tenglamani yechish zarurati tug‘ilishi mumkin; bu albatta qiyin, chunki ildizlarni ajratishning bu holi xuddi dastlabki f(x) = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish kabi hol degani.
     
2. 
   Oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli.
   
   • 
     oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining geometrik ma’nosi bu ildiz yotgan oraliqni ketma-ket teng ikki qismga bo‘lib borishdan iborat;
     
   • 
     agar tenglamaning chap toponidagi chiziqli bo‘lmagan funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli izla- nayotgan ildizni berilgan aniqlikdagi xatolik topib beradi, chunki
     

bunday holda masalani yechish jarayoni funksiyaning xossasidan bog‘liq bo‘lmaydi;

• 
  oraliqni teng ikkiga bo‘lish usulining keying qadamidagi kesmaning oxirlaridan biri doimo hisob jarayonidagi kesmaning kesmaning o‘rtasida yotadi, ikkinchisi esa tanlangan nuqtaga nisbatan f(x) funksiya ishorasini almashtirgan kesmaning oxirida yotadi;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamani yechishni kafolatlash uchun f(x) funksiyaning uzluksiz bo‘lishi yetarli;
  
• 
  f(x) = 0 tenglamaning hech bo‘lmaganda bitta haqiqiy ildizini oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuli bilan toppish uchun ildizlarni ajrat- ish qoidasidan foydalanish zarur, aks holda ildizni faqat oraliqni teng ikkiga bo‘lishlar jarayonida f(x) funksiya bo‘laklangan oraliqning chetlarida ishorasini almashtiradigan holdagina toppish mumkin bo‘ladi;
  
• 
  agar ildiz intervalning chegarasida yotgan bo‘lsa ham bu usul uni topish imkonini beradi.
  
1. 
   Vatarlar usuli.
   
   • 
     bu usul avvaldan yakkalangan ildiznigina topish imkonini beradi;
     
   • 
     vatarlar usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan o‘tuvchi chiziqli funksiya, ya’ni vatar bilan almashtirishdan iborat;
     
   • 
     yechimni berilgan xatolik bilan topish uchun, birinchidan, funksiya kesmada (hech bo‘lmaganda ildiz atrofida) monoton bo‘lishi lozim, ikkinchidan, u keskin egrilikka ega bo‘lmasligi zarur;
     
   • 
     vatarlar usulida f(x) monoton funksiya uchun kesmaning chetlaridan biri qattiq mahkamlangan hisoblanadi, ikkinchisi esa vatarning Ox abscissa o‘qi bilan kesishishidan topiladi; bu mahkamlangan chega- ra funksiyaning ishorasini va uning ikkinchi tartibli hosilasini inter- valning chetlarida tahlil qilishda topiladi;
     
   • 
     f(x) = 0 tenglamani vatarlar usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
     
   • 
     mahkamlangan chegara chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining xossasidan bog‘liq va u har xil bo‘lishi mumkin.
     
2. 
   Nyuton usuli.
   
   • 
     Nyuton usulining geometrik ma’nosi bu ajratilgan kesmada f(x) chiziqli bo‘lmagan funksiyani shu kesmaning oxirlaridan biriga urinma bo‘lib o‘tuvchi chiziqli funksiya bilan almashtirishdan iborat;
     
   • 
     Nyuton usulida х₀ boshlang‘ich yaqinlashishni shunday tanlash lo- zimki, х₀ nuqtada funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma ildiz yotgan interval ichida Ox o‘qini kesib o‘tsin; bu jarayon funksiyaning ishorasi va uing ikkinchi tartibli hosilasi yoki tanlash va xatoliklar usuli bilan baholanadi;
     
   • 
     o‘ng chegara mahkamlangan bo‘ladi;
     
   • 
     f(x) = 0 tenglamani Nyuton usuli bilan yechish uchun f(x) funksiya uzluksiz va monoton bo‘lishi zarur;
     
   • 
     agar f(x) funksiya monoton bo‘lmasa, u holda Nyuton usuli klassik holda kafolatlangan natijani bermasligi mumkin.
     
3. 
   Iteratsiyalar usuli.
   
   • 
     bu uslda f(x) = 0 tenglamaning chap tomoni hech qanday funksiya bilan almashtirilmaydi;
     
   • 
     bu usulda yaqinlashish deb qadamlar soni oshgan sari ildizga ketma-ket yaqinlashish tushuniladi;
     
   • 
     ildizga yaqinlashish bir tomonlama (chapdan yoki o‘ngdan) va ikka- la tomondan bo‘lishi mumkin, ya’ni ildizga yaqinlashish tebranish jarayoni kabi;
     
   • 
     agar tanlangan kesmada ikkita ildiz mavjud bo‘lsa, u holda у = х to‘g‘ri chiziqning у = (х) egri chiziq bilan ikkita kesishish nuqtasi bo‘lishi lozim; ulardan biri bilan yaqinlashish sharti bajariladi, ikkinchisi bilan esa yo‘q (agar у = (х) uzilishlarga ega bo‘lmasa);
     
   • 
     iteratsion jarayonning yaqinlashmaslik sababi ildizning mavjud bo‘lmasligi yoki yaqinlashish shartining bajarilmasligi (keying holda (х) funksiyaning tuzilishini o‘zgartirish orqali dastlabki, ya’ni f(x) = 0 tenglamani boshqa algoritmdan foydalanib, iteratsiya- lar uchun qulay ko‘rinishga keltirish);
     
   • 
     ildizga “tebranma” yaqinlashishda ildiz joylashgan kesmaning mi- qdorini nazorat qilish mumkin (u ikkita qo‘shni yaqinlashishlar ayirmaning moduli), bir tomonlama yaqinlashishda esa yaqinlashish shartiga (х) funksiyaning shu intervaldagi hosilasining maksimal qiymatidan bog‘liq ko‘paytuvchi kiradi
     

Bulardan tashqari yana quyidagi xulosalarni ham keltirib o‘tamiz:

• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish ancha murakkab va bu ma- sala hisoblash matematikasining mukammal yechilmagan muammosi ekan;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning boshlang‘ich muammo- si – bu chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimlarining mavjudligi, soni va ular yotgan oraliqni topish muammolari o‘rganildi, bular aniq mi- sollarni yechish orqali izohlandi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ajratilgan ildizini topish muammosi bir nechta taqribiy usullarda bayon qilindi, aniq misollar yechimlari bilan izohlandi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizlarini topishning taqribiy usul- lari soddadan murakkabga va ularning xususiy hollari bilan o‘rganildiki, bu shu mavzuni batafsilroq yoritish imkonini berdi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida yechishning muammolari o‘rganildi, uni amalga oshirishning bosqichlari ishlab chiqildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglama funksiyasining grafigini Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida chizish orqali tenglama haqiqiy yechimlari mavjudligi, ularning soni, bu yechimlar yotgan oraliqlarni topish muammolari o‘rganildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarning analitik yechimini Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida yechish o‘rganildi, hisob algoritmiga oid tushunchalar bilan tanishildi, amaliy masalalar yechildi;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Maple, MATLAB va Mathcad matematik paketlari yordamida sonli yechishning algoritmi, dasturi, matematik paketlardan foydalanish bosqichlari bajarildi, har xil ama- liy masalalar yechildi;
  
• 
  qo‘yilgan masalani matematik paketlar yordamida samarali yechishga oid tavsiyalar ishlab chiqildi, undan foydalanishning mumkin bo‘lgan imkoniyatlari ketma-ket tahlil qilindi;
  
• 
  sonli yechimlar analitik yechimlar bilan taqqoslandi, hisob ja- rayonining to‘g‘ri ekanligi, algoritm va dasturlardan samarali foyda- lanish mumkinligi ko‘rsatildi;
  
• 
  ishlab chiqilgan hisob metodikasi va yaratilgan hisob dasturlatidan har xil chiziqli bo‘lmagan tenglamalarga oid amaliy masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin;
  
• 
  chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan Nyuton usuli juda samarali ekan, ammo uning qo‘llanilish sohasi juda kam;
  
• 
  iteratsiyalar usuli ham juda qulay, ammo yaqinlashuvchi funksiyani topish ko‘p hollarda mushkulroq;
  
• 
  oraliqni ikkiga bo‘lish usuli juda qulay, ammo uning yaqinlashish te- zligi juda sust va karrali ildizlar uchun muammoli;
  
• 
  iteratsion usullarning takomillashtirilgan har xil variantlari juda sama- rali, ammo bu boshlang‘ich yaqinlashishni yakkalashtirilgan ildizga juda yaqin olinganda va yaqinlashish shartlari bajarilgandagini bu usullarning yaqinlashsh tezligi keskin oshadi;
  

Shunday qilib, chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechish muammosi qo‘yilgan amaliy masala turiga qarab to‘g‘ri taqribiy usulni va bosh- lang‘ich shartni tanlash, bu usullardan va matematik paketlardan samarali foydalanishdan iborat ekan.