O‘zbekiston respublikasi

Yechish.

• 
  restart;
  

Funksiya va uning hosilalarining berilishi:

• 
  F:=x-> ln(ln(x))/ln(10)-1/(1+x^2); (funksiyaning berilishi)
  
• 
  f:=D(F); (funksiyaning 1-tartibli hosilasi)
  

• 
  ff:=D(f); (funksiyaning 2-tartibli hosilasi)
  

Funksiyaning ishonchlilik oralig‘idagi grafigini quramiz:

• plot(F(x),x=2..4);

• 
  a[0]:=2.:b[0]:=4.:
  
• 
  x[0]:=2.: (funksiyaning nolinchi yaqinlashishi)
  

• F(x[0])*ff(x[0]);

• 
  evalf(%);
  

Shartlarni tekshiramiz:

• 0 < .2006422209;

• 
  ff(a[0]):evalf(%);
  

• 
  ff(b[0]): evalf(%);
  

Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi o‘z ishorasini almashtirmaydi:

• f(a[0]): evalf(%);

• 
  f(b[0]): evalf(%);
  

Funksiyaning birinchi tartibli hosilasi o‘z ishorasini saqlaydi.

Nolinchi yaqinlashish nuqtasini tanlashning barcha shartlari bajarilmoqda.

• epsilon:= 10^(-5):

Funksiyani hisoblash qulay shaklda yozamiz.

> NW:=x->x- F(x)/f(x);

• 
  i:=0: x[0]:=2.:flag:=1:
  

Nyuton usuli yordamida hisoblash uchun siklni beramiz:

• while flag=1 do x[i+1]:=evalf(NW(x[i])); if evalf(abs(x[i+1]-x[i]))< epsilon then flag:=0; else flag:=1; end if; i:=i+1;Delta=abs(x[i]-x[i-1]); print( ); end;

Ko‘rinib turibdiki, berilgan aniqlikka 5-qadamda erishamiz:

• X_прибл:= x[i];

• 
  i;
  

Tekshirish:

Tenglamani yechamiz:

• X_точн:=fsolve(F(x),x);

Tenglamaning haqiqiy va taqribiy ildizlari orasidagi farqni qaraymiz:

• is(abs(X_точн-X_прибл)

2. 
   Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Mathcad dasturi yordamida taqribiy yechish
   

Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni Mathcad matematik paketida yechishning standart funksiyalari quyidagilar:

• 
  root(f(x),x) – bu f(x)=0 tenglamaning x ildizini berilgan aniqlikda it- eratsion usullar yordamida topib beradi; bu funksiyani qo‘llashdan oldin x ning boshlang‘ich qiymati izolyatsiyalangan oraliqda yotgan bo‘lishi lozim.
  
• 
  polyroots(v) – bu n-darajali ko‘phadning barcha haqiqiy va kompleks ildizlarining qiymatini beradi; natija n+1 usunlikka ega bo‘lgan v vektorda saqlanadi.
  

1-misol. Ushbu 2x⁴–8x³+8x²–1=0 tenglamaning ildizlarini toping.

Yechish. Bu misolni polyroots(v) funksiyadan foydalanib yechamiz: Koeffisiyentlar vektori Ko‘phadning ildizlari

Endi berilgan tenglamani grafik usulda yechamiz:

2-misol. Ushbu x^5 –x^3 +1 = 0 tenglamaning barcha ildizlarini top- ing. Yechish. Bu misolni yechish uchun ham polyroots(v) funksiyadan foydalanamiz: Ko‘phadning koeffisiyentlari: Ko‘phadning haqiqiy va kompleks ildizlari:

3-misol. Ushbu 0,2e^x–2(x–1)^2 =0 tenglamaning ildizlarini toping. Yechish. Dastlab tenglamani grafik usulda yechamiz, keyin esa root(f(x),x) funksiyadan foydalana- miz:

4-misol. Ushbu x^5 –x^3 +1 =0 tenglamaning [-2;-1] kesmadagi izoliatsiyalangan ildizlarini 0,001 aniqlik bilan kesmani teng ikkiga bo‘lish usuli yordamida toping (2-misolga qarang). Yechish. Yuqorida nazariy mavzuda keltirilgan kesmani teng ikkiga bo‘lish algoritmi aso- sida Mathcad dasturini tuzamiz:

5-misol. Ushbu x^5 –x^3 +1 =0 tenglamaning [-2;-1] kesmadagi izoliatsiyalangan ildizlarini 0,001 aniqlik bilan vatarlar usuli yordamida toping. Yechish. Yuqorida nazariy mavzuda keltirilgan vatarlar usuli algoritmi asosida Mathcad dasturini tuzamiz:

6-misol. Ushbu 0,2e^x–2(x–1)^2=0 tenglamaning barcha haqiqiy ildizlarini 0,001 aniqlik bilan Nyuton usu- li yordamida toping (3- misolga qarang). Yechish. Yuqorida nazariy mavzuda keltiril- gan Nyuton usuli algo- ritmi asosida Mathcad dasturini tuzamiz:

7. 
   misol. Ushbu 0,2e^x–2(x–1)²=0 tenglamaning barcha haqiqiy ildizla- rini 0,001 aniqlik bilan vatarlar va urinmalar usulining birlashgan kombi- natsiya usuli yordamida toping (3-misolga qarang).
   

Yechish. Yuqorida nazariy mavzuda keltirilgan vatarlar va urinmalar usulining birlashgan kombinatsiya usuli algoritmi asosida Mathcad dastur- ini tuzamiz:

7. 
   misol. Ushbu x – sinx – 0,25 = 0 tenglamaning [1;2] kesmadagi
   

haqiqiy ildizlarini 0,001 aniqlik bilan oddiy iteratsiya usuli yordamida top- ing.

Yechish. Yuqorida nazariy mavzuda keltirilgan oddiy iteratsiya usuli algoritmi hamda ushbu tenglamani yechishning quyidagi bosqichlari aso- sida Mathcad dasturini tuzamiz:

1. 
   f(x) funksiyaning berilishini yozamiz va uning grafigini chizamiz;
   
2. 
   grafik usuldan boshlang‘ich yaqinlashsh x₀ = 1,2 ni topamiz;
   
3. 
   f(x) funksiyaning birinchi hosilasi f '(x) ni topamiz;
   
4. 
   ushbu x = φ(x) = x – λ f(x) tenglamaga o‘tamiz, λ >0 qiymatini ush- bu 0  1 – λ f(x) < 1 tengsizlikdan topamiz;
   
5. 
   bu yerda λ(0;1,57) ekanligidan λ=1,5 deb, φ(x) = x – λ f(x) funksiyaga ega bo‘lamiz;
   
6. 
   Shu bosqichlarga mos Mathcad dasturni tuzamiz;
   
7. 
   topilgan ildizni root(f(x),x) funksiyada foydalanib aniqlashtiramiz va bu bilan iteratsion jarayon tez yaqinlashganligiga va aniq yechim ber- ganligiga ishonch hosil qilamiz.
   

7. 
   misol. Ushbu f(x) = e^-x – x = 0 chiziqli bo‘lmagan tenglamani Mathcad paketi yordamida sonli yeching.
   

Yechish. Berilgan chiziqli bo‘lmagan tenglamani Mathcad paketi yordamida yechishning quyida uchta dasturi keltirilgan bo‘lib, ular modulli dastur ko‘rinishida tuzilgan va sarlavhalari quyidagicha:

FunZero_Sec(a,b,F,) - bu biseksiyalar va kesuvchilar usullari algoritmi bo‘yicha tenglamani yechish dasturi;

FunZero_Stff(a,b,F,) - bu biseksiyalar va Steffenson usullari algoritmi bo‘yicha tenglamani yechish dasturi;

FunZero_I(a,b,F,) - bu teskari parabolik interpolyatsiya algoritmi bo‘yicha tenglamani yechish dasturi;

Chiziqli bo‘lmagan tenglamani yechish dasturlariga murojjat va ularn- ing natijalari quyidagicha:

FunZero_Sec(0,1,F,10^-6)^T = [0.567143 -6.8407510^-12 1];

FunZero_Stff(0,1,F,10^-6)^T = [0.567143 0 6];

FunZero_I(0,1,F,10^-6)^T = [0.567143 0 3];

Demak berilgan chiziqli bo‘lmagan tenglamaning ildizi x = 0.567143 ekan.

Quyida ana shu uchala dasturlarning matnlari keltirilgan:

Chiziqli bo‘lmagan tenglamani biseksiya va kesuvchilar usuli bilan yechishning Mathcad dasturi.

Chiziqli bo‘lmagan tenglamani biseksiya va Steffensen usuli bilan yechishning Mathcad dasturi.

Chiziqli bo‘lmagan tenglamani teskari parabolik interpolyatsiyalash usuli bilan yechishning Mathcad dasturi.

3.