O‘zbekiston respublikasi

Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli

Usulning nomidan kelib chiqib, f(x)=0 tenglamaning ildiziga yangi yaqinlashishni topish uchun y= f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=g(y) funksiyaning kvadratik interpolyatsiyasidan foydalaniladi. Ikkinchi darajali ko‘phad bilan interpolyatsiyalash uchun (x,y) tekislikning uchta nuqtasi zarur, ularni ildizga yaqinlashuvchi uchta ketma-ket nuqtalarni tanlaymiz:

(x_n-2, y_n-2=f(x_n-2)), (x_n-1, y_n-1=f(x_n-1)) va (x_n, y_n=f(x_n)).

Bunday holda Lagranjning interpolyatsion formulasi quyidagicha yoziladi:

P ( y) 

x_k ( y  y_{k 1})( y  y_{k 2} ) _

x_{k 1}( y  y_k )( y  y_{k 2} ) _

² ( y
k


^{ y}k 1

)( y_k

 y_{k 2} )

^{( y}k 1

 y_k

)( y

k 1

 y_{k 2} )

₊ x_{k 2} ( y  y_k )( y  y_{k 1} ) ( y_{k 2}  y_k )( y_{k 2}  y_{k 1} )

. (1.19)

Bu ko‘phaddan keyinchalik foydalanish quyidagi farazlarga asoslangan. Agar x=g(y) funksiya ma’lum bo‘lganda edi, u holda ildizni topish ushbu x_r = g(0) oddiy hisoblashga keltirilgan bo‘lardi. Ammo teska- ri funksiyani topish doimo tenglamani yechishdan ko‘ra murakkabroq. Ild- iz atrofida g(y) funksiya P₂(y) ko‘phad bilan almashtirishni taklif qilish mumkin. Bu bilan biz P₂(0) ni hisoblab, dastlabki tenglamaning ildiziga yangi yaqinlashishni hosil qilamiz: x_k+1 = P₂(0).

Shunday qilib, (1.19) ifodaga mos teskari kvadratik interpolyatsiya usulining iteratsiyalarini quyidagi formula bo‘yicha hisoblash mumkin:

_{x } ^yk 1 ^yk 2 ^xk _

^yk ^yk 2 ^xk 1 _

^yk ^yk 1 ^xk 2

(1.20)

k 1

( y_k

^{ y}k 1

)( y_k

 y_{k 2} )

^{( y}k 1

 y_k

)( y
k 1

 y_{k 2} )

^{( y}k 2

 y_k

)( y
k 2

 y_{k 1} )

Teskari kvadratik interpolyatsiya usuli iteratsion jarayonlarining ya- qinlashish tezligi =1,839 bo‘lib, bu kesuvchilar usulidagiga qaraganda kattaroq. Ammo boshlang‘ich hisoblashlar uchun uchta x₀, x₁, x₂ qiymatlarni hisoblash talab etiladi. Agarda bu qiymatlar noo‘rin tanlansa, hisob algoritmi xaotik tus oladi.

Kvadratik interpolyatsiyadan Myuller usulida ham foydalaniladi. Ammo bunda x=g(y) teskari funksiya emas, balki y= f(x) funksiya inter-

polyatsiyalanadi. Undan keyin esa interpolyatsion ko‘phadning ildizi dastlabki tenglamaga ildiziga yangi yaqinlashishni beradi, deb hisoblanadi. Ammo, ikkinchi darajali ko‘phad ikkita ildizga ega, hisoblashlarda esa ulardan birini tanlashga to‘g‘ri keladi. Agar ko‘phad kompleks ildizlarga ega bo‘lib qolsa, u holda muammo yanada murakkablashadi. Shuning uchun Myuller usuli karrali bo‘lmagan ildizlar holida qulay va u teskari kvadratik interpolyatsiya usuliga nisbatan ustunlikka ega emas. Bu usul y= f(x) funksiya grafigi abssissa o‘qiga uringandagi ikki karrali ildizlarni topishga qulay.

8. Ko‘phad ildizlarini izlashning sonli usullari

Ko‘phadlarning maxsus xossalari algebraik tenglamalarni yechishning juda ko‘p usullarini yuzaga keltirgan. Masalan, haqiqiy ko‘phadlarni ajrat- ishning usullaridan Lin usuli, Lobachevskiy usuli, Fridman usuli, parabo- lalar usuli, tushish usuli, Myuller usuli, Ridder usuli, Brent usuli, Lagerr usuli va bosqa usullar juda ko‘p qo‘llaniladi [1,2,5].

Algebraik ko‘phad ildizlarini topishning Lobachevskiy usuli. Bu usulning eng qulay tomoni shundaki, u ildizlarning taqribiy yaqinlashishi qiymatini talab qilmaydi. Bu usul ko‘phad har xil haqiqiy ildizlarga ega bo‘lgan holda qo‘llaniladi. Bu usul ikki bosqichda qo‘llaniladi. Agar

ko‘phadning ildizlari ushbu

x₁ 

^x21

 ...  x_n

tengsizlikni qanoatlantir-

sa, u holda a₀xⁿ+a₁ x^n-1 + . . . + a_n-1x+a_n ko‘phad ildizlarining taqribiy qiymatlari uning koeffisiyentlari orqali Viyetning quyidagi umumlashgan teoremasi formulalari bilan ifodalanadi:

x₁+ x₂+…+ x_n= -a₁/a₀ ,

x₁x₂+ x₁x₃+…+ x_n-1x_n= a₂/a₀ ,

x₁x₂x₃+ x₂x₃x₄+…+ x_n-2x_n-1x_n= -a₃/a₀ ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

x₁x₂ … x_n = (-1)ⁿ a_n/a₀.

Bu yerda ketma-ket quyidagilarni topamiz:

^ x₂ x₃ x_n ^ a₁ a₁

x_{1 }1  _x

  ... 

x x

_   _a

 x₁   _a ;

 1 1

^ x₂ x₃

1  0 0

^xn1 ^xn ^{ a}2 ^a2

x₁ x_{2 }1 



x₁ x₂

 ... 

_ 

^x1 ^x2  0
a

 x₂

  ; ...

a₀

x_i  

a_{i ,}

^ai1

x_i ,

i  1,2,...n.

Ko‘phad kompleks ildizlarini izlashning sonli usullari. Argument x ning faqat butun darajalari yig‘indisini o‘z ichiga olgan chiziqli bo‘lmagan tenglama chiziqli bo‘lmagan algebraik tenglama deb ataladi va u

P_n(x) = xⁿ+a_n-1 x^n-1 + . . . + a₁x+a₀ = 0 (1.21) kabi yoziladi. Chiziqli bo‘lmagan algebraik tenglamaning yechimi ko‘phadning ildizi deb ham ataladi. Bu n-darajali ko‘phadning ildizlarini izlashda ularning soni n ta ekanligini (ularning karralilarini ham hisobga olganda) va ular ham haqiqiy va ham kompleks bo‘lishi mumkinligini e’tiborga olish lozim. Agar ko‘phadning a_i koeffisiyentlari haqiqiy desak, u holda kompleks ildizlar kompleks-qo‘shma juftlikni hosil qiladi. Ildizlar soni haqidagi ma’lumot muhim ahamiyatga ega.

Yuqorida chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning umumiy algo- ritmlaridan ko‘phadlar ildizlarini topishga ham foydalanish mum- kin.Bunda faqat algoritmlarning amaliy tadbiqini kompleks sonlar arif- metikasi doirasida o‘tkazish lozim bo‘ladi. Shunga qaramasdan, ko‘phadlarning hamma ildizlarini (haqiqiy va kompleks ildizlarini) izlash- ning maxsus usullari mavjud. Ana shu usullardan ba’zilari bilan quyida tanishaylik.

Ko‘pgina usullar dastlabki ko‘phaddan kvadratik ko‘pytuvchini chiqarish prosedurasiga asoslangan, ya’ni

P_n(x) = (x²+px+q)(x^n-2+b_n-3 x^n-3 + . . . + b₁x+b₀). (1.22) Bizga ma’lumki, x²+px+q =0 kvadrat ko‘phadning ildizlarini analitik yo‘l bilan topish mumkin, demak dastlabki (1.21) tenglama tartibi ikkiga

kamayadi va masala ushu

x^n-2+b_n-3 x^n-3 + . . . + b₁x+b₀ = 0

tenglamani yechishga keladi. Bu tenglamaning o‘ng tarafidan yana bir bor kvadratik ko‘pytuvchini chiqarish mumkin, va hokazo. Ana shunday qilib ko‘paytuvchilarni chiqarish jarayoni ushbu x²+ b₁x+b₀ = 0 kvadratik yoki x+b₀ = 0 chiziqli tenglama qolguncha davom ettiriladi.

Kvadrat ko‘paytuvchilarni ajratish, ya’ni n ta p, q, b_n-1, b_n-2, ..., b₁, b₀

koeffisiyentlarni izlash haqidagi bu masalasi quyidagicha yechiladi.

Dastlabki P_n(x) ko‘phadning ikki xil (1.21) va (1.22) shakllaridagi bir xil darajali hadlari koeffisiyentlarini o‘zaro tenglashtirib, quyidagi ikkita tengliklar sistemasini hosil qilamiz:

b_n-3 + p = a_n-1,

b_n-4 + pb_n-3 + q = a_n-2,

b_n-5 + pb_n-4 + qb_n-3 = a_n-3, (1.23)

………………………..

b₁ + pb₂ + qb₃ = a₃,

b₀ + pb₁ + qb₂ = a₂,

va

q = a₀/b₀ , p = (a₁-qb₁)/b₀ . (1.24) Agar p va q koeffisiyentlarga ixtiyoriy qiymatlar berilsa, u holda

(1.23) sistemadan noma’lum b_n-1, b_n-2, ..., b₂ keffisiyentlarni ketma-ket yo‘qotib, b₁ va b₀ larning qiymatlarini hisoblab olish mumkin, ya’ni (1.23) sistema quyidagi ikki argumentli ikki funksiyani topish imkonini beradi:

b₀ = b₀(p,q) va b₁ = b₁(p,q). (1.25) Endi (1.25) funksiyalardan (1.24) tengliklarning o‘ng taraflarida foydalanish mumkin, natijada qiyidagi ikkita chiziqli bo‘lmagan

tenglamalar sistemasiga kelinadi:

q  ^a0 ,

b₀ ( p, q)

_{p } a₁  qb₁ ( p, q) _{. (1.26)}

b₀ ( p, q)

Shuni ta’kidlash lozimki, (1.26) tenglamalar sistemasining o‘ng qismlari analitik shaklda berilmagan bo‘lib, har bir (p,q) argumentlar qiymatlari juftligi uchun b₁ va b₀ qiymatlarni hisoblash algoritmi shaklidadir. Ana shunday amaliy tadbiq ko‘plab amaliy masalalarni yechishda uchraydi. Tenglamalarni yozishda bunday analitik shakllarning berilmaslik holati ularni yechishga to‘sqinlik qilmaydi.

Agar (1.26) tenglamalar sistemasi oddiy iteratsiya algoritmi bilan yechilsa, u holda dastlabki (1.21) tenglama uchun qo‘llaniladigan sonli usul Lin usuli deb ataladi. Bunda (p₀,q₀) boshlang‘ich yaqinlashishdan bog‘liq iteratsiyalar quyidagi formulalar bilan bajariladi:

q  <sup>a0

, p  a1  qk b1 ( pk , qk )</sup> . (1.27)

k 1

b₀ ( p_k

, q_k )

k 1

b₀ ( p_k

, q_k )

Oddiy iteratsiya o‘rnida Zeydel algoritmidan foydalanish mumkin. U holda (1.27) iteratsion formulalardan ikkinchisi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

_{p } a₁  q_{k 1}b₁ ( p_k , q_{k 1} ) _.

k 1

b₀ ( p_k

, q_{k 1} )

Bu iteratsion jarayon har qanday holatda ham toki ushbu

 

(bunda  - yechimning aniqligini ifodalovchi kichik miqdor) shart bajarilgunga qadar yoki iteratsiyalar soni yetarlicha katta bo‘lgunga qadar davom ettiriladi. Oxirgi holat, ya’ni iteratsiyalar sonining juda katta bo‘lib ketishi iteratsiyalarning uzoqlashuvchi ekanligini va (1.26) sistema yechimga ega emasligini bildiradi.

Bertstou usuli ham xuddi yuqoridagidek kvadratik ko‘paytuvchini ajratishga asoslangan bo‘lib, bunda (1.26) ikkita tenglamalar sistemasi Nyuton usuli bilan yechiladi. Bu yerda ham iteratsiyalarning yaqinlashuvchanligi masalasi juda ham jiddiy holat.