Quyidagi topshiriqlarni bajarish jarayonida ixtiyoriy dasturlash tili yoki biror matematik paketdan foydalanish mumkin. Ba’zi misollarning aniq yechimi berilgan yoki ularni topish juda oson. Hisoblashlarni ko‘rsatilgan aniqlikda qo‘lda va kompyuterda bajarish talab qilinadi.
1-topshiriq.
Yuqori tartibli oddiy differensial tenglama uchun chiziqli chegaraviy masalani otishmalar usuli bilan yechish
Quyidagi yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan chegaraviy masalani yeching:
p 1
u( p) a
k
u(k)
f ( x),
k 0
p 1
c u( j) (a) ,
ij
i
i 1,2,..., m,
a x b
j 0
p 1
d
ij
j 0
u( j) (b) ,
i 1,2,..., p m.
i
Chegaraviy masalaning aniq yechimi varianda berilgan. Qadamni avtomatik tanlash bilan Runge-Kutta usulidan foydalanib, chegaraviy masalani o‘q otish usuli bilan yeching. Usulning sifatini xatolikni (xatolik tartibi ) va hisob vaqti sarfini ko‘rsatish bilan baholang. Hisoblash
mashinalarining aniqligi juda yuqori, shunga qaramasdan, hisoblangan yechimda boshlang‘ich kiritilgan ma’lumotlar xatoligining ta’sirini ko‘rsating, buning uchun ikkita hisob bosqichi bajaring: x=0 nuqtadagi aniq chegaraviy shart bo‘yicha va chegaraviy shartga kiritilgan xatolik bo‘yicha.
Bularni qiyidagi bosqichlarda bajaring:
o‘q otish usuli algoritmi uchun dastur tuzing; avtomatik qadam tanlash bilan to‘rtinchi tartibdan kam bo‘lmagan Runge-Kutta usuli bo‘yicha hisob dasturini tuzing yoki standart dasturlardan foydalaning;
chegaraviy shartlarga = 0.01 xatolik kiriting;
berilgan chegaraviy masalaning xi = ih, i=0,1,…,10, h = 0.1 nuqtalardagi yi=y(xi) taqribiy yechimini aniq chegaraviy shartlar bilan yeching; lokal xatolikni = 10-7 deb oling;
ushbu
max u( xi ) yi
i
global xatolikni hisoblang va hisob vaqtini
baholang (masalan, berilgan lokal xatolikni chiqarish uchun berilgan masalaning o‘ng tarafida bajariladigan hisoblashlar soni bilan).
xuddi shu masalani chegaraviy shartlarga kiritilgan xatoligi holida
~y ~y ( x )
yechimini o‘sha nuqtalarda hisoblang;
i i
ushbu
~ max ~y y
xatolikni baholang.
uIV xu'''4x3u'12u 2xex2 (26x2 18x 21) , 0 ≤ x ≤1,
u(0) 1,
u'(1) e ,
u''(1) 4e ,
u'''(0) 6 .
Aniq yechim:
variant.
u( x) ( x 1) ex2 .
uIV 5 u''' u''120 u'650 u e5x5(11.5sin x 4.9 cos x),
0 ≤ x ≤1,
5u''(0) u'''(0) 7.42483549,
u(1) u'''(1) 0.06111922865 ,
u(0) u'(0) 4.452361,
u'(1) u''(1) 0.240924833.
Aniq yechim:
u(x) (e5(x1) sin x e5(1x) cosx)/ 200.
2-topshiriq.
Chegaraviy masalaning yechimidan bog‘liq bo‘lgan funsionalning taqribiy qiymatini hisoblash
1-misol. Quyidagi yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan ushbu
p 1
u( p) a
k
u(k)
f ( x),
k 0
p 1
c u( j) (a) ,
ij
i
i 1,2,..., m,
a x b
j 0
p 1
d
ij
j 0
u( j) (b) ,
i 1,2,..., p m
i
chegaraviy masalani yeching va uning yechimidan bog‘liq bo‘lgan ushbu
b
I F ( x, u, u',..., u( p) ) dx
a
funksionalning taqribiy qiymatini hisoblang.
Bu misolning aniq yechimi ma’lum, berilgan chegaraviy masalaning uchinchi tartibdan kam bo‘lmagan Adams usulidan foydalanib, o‘q otish usuli bilan hisob sifatini (xatoligini va hisob vaqtini) baholang.
Quyidagilarni bajarish talab qilinadi:
o‘q otish usuli algoritmi uchun dastur tuzing; avtomatik qadam tanlash bilan uchinchi tartibdan kam bo‘lmagan Adams usuli bo‘yicha hisob dasturini tuzing yoki standart dasturlardan foydalaning;
berilgan chegaraviy masalaning xi = ih, i=0,1,…,10, h = 0.1 nuqtalardagi yi=y(xi) taqribiy yechimini aniq chegaraviy shartlar bilan yeching; lokal xatolikni = 10-7 deb oling;
ushbu
max u( xi ) yi
i
global xatolikni hisoblang va hisob vaqtini
baholang (masalan, berilgan lokal xatolikni chiqarish uchun berilgan masalaning o‘ng tarafida bajariladigan hisoblashlar soni bilan).
berilgan chegaraviy masalani yechish dasturi yaratilgandan so‘ng I funksionalning qiymatini hisoblash uchun masala quyidagi yana bitta tenglama bilan to‘ldiriladi:
I F ( x, u, u',..., u( p) ),
x
I ( a) 0.
variant.
Hisob variantlari
( x 1) uIV (4 x) u''3 u 6 x 3,
0 ≤ x ≤1,
Aniq yechim:
u'(0) 3.710295,
u(1) 0.00690887 ,
u(x) cos x 2x 1.
u'''(0) 81.6247 ,
u''(1) 0.234901.
Quyidagi integralni hisoblang:
variant.
1
I ( u''' u'' 2 ) dx .
0
uIV 63 u''64 u 300 e2x,
0 ≤ x ≤1,
Aniq yechim:
u(0) u''(0) 5 ,
u'(1) 1.1121 ,
u(x) cos x e2x .
u(0) u''(0) 1 ,
u''(1) 0.0010388.
1
Quyidagi integralni hisoblang:
I ( uu' u'' 2 ) dx .
0
2-misol. Quyidagi yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan chegaraviy masalani yeching:
u( p)
f (x,u,u',u'',..., u( p1) ),
a x b,
g ( u( a), u'( a), u''( a),..., u( p1) ( a)) 0, i 1,2,..., m,
i
g ( u( b), u'( b), u''( b),..., u( p1) ( b)) 0, i m 1, m 2,..., p,
i
va bu sistemaning yechimidan bog‘liq bo‘lgan ushbu
b
I F ( x, u, u',..., u( p) ) dx
a
funksionalning taqribiy qiymatini hisoblang.
Bu misolning aniq yechimi ma’lum, berilgan chegaraviy masalaning o‘q otish usuli bilan hisob sifatini (xatoligini va hisob vaqtini) baholang. Koshi masalasini yechish uchun Feldberg usulidan foydalaning.
Quyidagilarni bajarish talab qilinadi:
o‘q otish usuli algoritmi uchun dastur tuzing; Feldberg usuli bo‘yicha hisob dasturini tuzing yoki standart dasturlardan foydalaning;
berilgan chegaraviy masalaning xi = ih, i=0,1,…,10, h = 0.1 nuqtalardagi yi=y(xi) taqribiy yechimini aniq chegaraviy shartlar bilan yeching; lokal xatolikni = 10-6 deb oling;
ushbu
max u( xi ) yi
i
global xatolikni hisoblang va hisob vaqtini
baholang (masalan, berilgan lokal xatolikni chiqarish uchun berilgan masalaning o‘ng tarafida bajariladigan hisoblashlar soni bilan).
berilgan chegaraviy masalani yechish dasturi yaratilgandan so‘ng I
funksionalning qiymatini hisoblang.
Hisob variantlari
variant.
IV 4x2 1 2 2 2
2 u 3
2
(2x
1)u u''2u'
x2 1,
0 ≤ x ≤1,
x2 1
u(0)
, u'(0) 0 ,
u''(0) 1 ,
u'''(0) 0 .
Aniq yechim: u(x) 2x2 1 .
1
Quyidagi integralni hisoblang:
variant.
I ( uu' u'' 2 ) dx .
0
u''' u'' u' u2ex sin 2 x(sin2 x 15) ex,
0 ≤ x ≤1,
2u(0) 2u'(0) u''(0) 0 ,
u'(1) u(1) 2.2624,
u(0) u'(0) u''(0) 4 .
Aniq yechim: u(x) ex sin 2x .
1
Quyidagi integralni hisoblang:
I ( u' 2 u'' 2 ) dx .
0
Do'stlaringiz bilan baham: |