Ozbekiston respublikasi oliy va

6-§. Umumlashtirish metodi
Umumlashtirish tushunchasi ham m atem atika o'qitishdagi ilmiy 
izlanish metodlaridan biri b o iib hisoblanadi. Umumlashtirish usulining 
ahamiyatini atoqli olim A.N. Kondakov quyidagicha ta ’riflaydi.
«Umumlashtirish shunday mantiqiy usulki, uning vositasi orqali 
birlik fikrlashlardan umumiy fikrlashlarga o'tiladi».
Maktab matematika kursida umumlashtirish tushunchasi quyidagicha 
tatbiq qilinadi:
1
) m atem atik tushunchalarni umumlashtirish;
2
) teoremalarni isbotlashda umumlashtirish;
3) misol va masalalarni yechishda umumlashtirish.
Endi umumlashtirish tatbiqlari alohida-alohida ко‘rib chiqiladi.
1. 
Matematik tushunchalarni umumlashtirish
Ta’rif. Matematik obyektdagi narsalarning asosiy xossalarini aks
ettirmchi tafakkur shakli matematik tushuncha deyiladi.
H ar bir matematik tushuncha 
0
‘zining ikki tom oni bilan xarakter- 
lanadi:
38

---

;i) tusluinchaning mazmuni;
b) tushunchaning hajmi.
T a’rif. Tushunchaning mazmuni deb, ana shu tushunchani ifoda- 
lovchi asosiy xossalarning to ‘plamiga aytiladi.
Masalan, to ‘rtburchak tushunchasini olaylik. To‘rtburchak tushuncha- 
siiiiug m azm uni quyidagi asosiy xossalar to'plam idan iborat:
1) to ‘rtburchakning diagonali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
2
) ichki qaram a-qarshi burchaklarning yig'indisi 180° ga teng.
3) diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqtada ikkita b o ‘lakka 
boMinadi.
T a’rif. Tushunchaning hajmi deb ana shu tushunchaga kirgan barcha 
obyektlar to ‘plamiga aytiladi.
Masalan, to ‘rtburchak tushunchasining hajmi to ‘rtburchak tushun­
chasiga kirgan barcha to ‘rtburchak turlaridan, ya’ni: parallelogramm, 
kvadrat, romb va trapetsiyadan iborat. Bundan ko‘rinadiki, to ‘rtburchak 
tushunchasining hajmini tomonlari uzunliklarining miqdori turlicha bo‘l- 
gan barcha katta va kichik to‘rtburchaklar tashkil qilar ekan. H ajm jihatidan 
keng, mazmun jihatidan esa tor bo‘lgan tushunchani 
jin s tushunchasi
va 
aksincha hajmi tor, mazmuni esa keng bo'lgan tushunchani 
tur tushunchasi
deb yuritiladi. Masalan, akslayntirish tushunchasini olaylik. Bu tushunchadan 
qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish tushunchalari keLib chiqadi.
Bu yerda akslantirish tushunchasi qaytuvchi va qaytmaydigan akslan- 
tirish tushunchalariga nisbatan jins tushunchasi, qaytuvchi ham da 
qaytmaydigan akslantirish tushunchalari akslantirish tushunchasiga 
nisbatan tu r tushunchalari bo'ladi. Yuqoridagi m ulohazalardan ko'rina- 
diki, jins tushunchasi tu r tushunchalariga nisbatan um um iy bo‘lgan 
tushuncha ekan. Shuning uchun ham tushunchani um um lashtirishga 
quyidagicha ta’rif berilgan: 
«Tur tushunchalaridan jins tushunchalariga
o ‘tish tushunchani umumlashtirish deyiladi».
Umumlashtirisli jarayonida 
o ‘rganilayotgan tushunchalar orasida um um iy xarakterli mosliklar o ‘r- 
natilib, um um iy fikrlashlarga o ‘tiladi. Y uqoridagi m ulohazalardan 
ko‘rinib turibdiki, umumlashtirish jarayonida um um lashtirilgan tushun­
chaning hajmi ortib, m azm uni torayar ekan.
Misol. 
Qaytuvchi akslantirish tushunchasining hajmi 
В
bo'lsin, uning 
mazmuni 
a
bo‘lsin. Akslantirish tushunchasining hajmi 
H
uning mazmuni 
esa 
p
bo‘lsin. Tushunchani umumlashtirishga berilgan ta’rifga ko‘ra quyidagi 
munosabat o‘rinli bo‘ladi: 
(B c.H)
=> 
{a
> 
P).
Bunda 
В —
qaytaruvchi 
akslantirishning hajmiga obyektiv akslantirish kiradi. 
H —
akslantirishning 
hajmiga esa barcha akslantirishlar kiradi. Shuning uchun qaytuvchi akslantirish
39

---

tushunchasi akslantirish tushunchasining qismi boimoqda. Boshqacha ayt- 
ganda, akslantirish tushunchasi qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish tu- 
shunchalarining umumlashgan holi ekan.
Endi uning mazmuniga kelsak, bu yerda qaytuvchi akslantirish degan- 
dafaqat shu akslantirishning xossalarinigina o'rganamiz. Demak, o'rganadigan 
tushunchaning mazmuni aniq. Endi akslantirish tushunchasini olsak, bu 
yerda biz o'rganadigan tushunchaning mazmuni noaniqroq, chunki akslan­
tirish tushunchasidan ikkita, ya’ni qaytuvchi va qaytmaydigan akslantirish 
tushunchalari kelib chiqadi. Bulardan ko‘rinib turibdiki, qaytuvchi akslantirish 
tushunchasining mazmuni akslantirish tushunchasining mazmunidan katta 
ekan, ya’ni: 
a> ji.
%
■