|
quyidagichadir (28-chizm a).
“+/,=! ;
, s a = w
tg& - P ) =
%Р =
- r - ;
fsa = ctsP-
2
tga
.
_ _ L
bundan
x y ~
/ •
У
X
1
. у =
arcsirw funksiyasining hosilasini toping. Ma’lumki, bu funksiya
К
к
—
1
<х<
1
, - — <><— shu oraliqda
x
va
у
ning qiymatlari joylashgan hamda
y=arcsinjt funksiyaga teskari bo'lgan x=siny funksiyasi mavjud formulaga
,
ko‘ra
x у ~ r
edi.
У
X
(arcsin
x ) ' =
^
^
^
(sin j ) '
cos
у
-^1
— sin
2
у
y j l - x 2
’
2
.
у =
arccos x
y'=
?
x =
cos
y.
(arccos
x
) ' =
^
^
(co sy )’
sin
у
/ Г - cos
2
у
л 1 \- х 2
к
п
3. y=arctgx bo‘lsa, х = tgy —
—
—
,
,
w
1
1
2
COS2
у
1
1
(arctgx)
= --
-------
= ----:
----- = COS
у
= -------
5
-------------
Z—
= ---------
Y~ =
",
------- 2
•
(tgy)
1
cos^y + sin^y
1
+ tg у
l + x
cos
2
у
4.
у
=
arcctgy
bo‘lsa
x = ctgy
bo'ladi.
1
1
sin
2
у
(arcctgy)
=
(ctgy) ’
1
sin
2
у
+ cos
2
у
1
+
ctg2y
l + x 2
sin
2
у
259
QUYIDAGI FUNKSILARNING HOSILALARINI TOPING
.
1
1
1
.
у
= arcsin - .
Javobi:
r
~,— -•
x
хы х1
- 1
1
2. у = arcctgyfx.
Javobi:
^ + x y
1
3 -
у
= In
“rctgjx-
Javobi: y
2-Jx
(1 +
x )a r c tg ^ c
'
i
4.
у
= arccos
-s/х .
Javobi: ~ j J x - J T ^ x '
MUSTAQIL ISHLASH UCHUN MISOLLAR
1. Ta’rifdan foydalanib quyidagi funksiyaning hosilalarini toping.
y=5x2—3x,
y=
>
y —sM x.
2. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini ta’rif asosida toping.
y=cos
2
x,
y=tglx,
y=x3.
3-
у =
Vx
3
- 1
funksiyasining hosilasini toping.
4.
у =
2
x
2
-
3
jc
funksiyasini hosilasini ta’rifga ko‘ra toping.
4-§ . Hosilani hisoblash qoidalari
Elementar funksiyalaming hisoblash o ‘rganildi. Endigi asosiy maqsad
chekli sondagi arifmetik amallar va superpozitsiyalar vositasida elem en
tar fimksiyalardan tuzilgan ixtiyoriy funksiyaning hosilasini hisoblash
im konini beruvchi qoidalar ko‘rib chiqiladi.
1.
Agar
и = u(x)
funksiyasi
x = x 0
nuqtada hosilaga ega bo'lsa, u holda
у
=
cu(x)
funksiyasi ham hosilaga ega bo‘lib,
[c u (x)\ = c U(x)
bo'ladi.
I s b o t i : у
= cu(x)
desak, bu funksiyani orttirmasi
y+Ay=c-u(x+Ax)
bo‘ladi. Bundan
Ay=c-u(x+Ax)-c-u(x) \:Ax
Ay
u(x +
Ax) -
u(x)
Ay
A
и
— =
с
--------------------
yoki
— =
с
-----.
Ax
Ax
Ax
Ax
260
2.
Agar
U(x)
va
V(x)
funksiyalari
x=xg
nuqtada hosilaga ega bo'lsa,
U(x)±V(x)
funksiya ham shu nuq tad a hosilaga ega b o 'lib ,
[U(x)±V{x)Y=U(x)±V{x).
I s b o t i :
y= U(x)±V(x)
funksiyaning orttirmasi
4iy=[6r(x+/lx)-t/(x)]±[V(x+Ax)-K(x)],
Ay=A\J±AV\: Ax
Ay _ AU
A V
Ax
Ax
A x '
M isol:
u =
3-x3;
w'=(3xJ)'= 3(x3),=3-3x2= 9 x 2.
Hosila ta’rifiga ko‘ra / =
U± V.
3.
Agar
U(x)
va
V(x)
funksiyalari
x=x0
nuqtada hosilaga ega bo'lsa,
ularning o'zaro ko'paytmasining hosilasi [f/(x)-K(x:)]'=U'(x)-F(jc)+F(x)x
xU(x
) bo'ladi.
I s b o t i :
y=U(x)-V(x)
bo'lsa,
Ay=U(x+AxyV(x+Ax)-U(x) V(x)
bo‘ladi.
Ay= U(x+Ax)-V(x+Ax)-U(x)-
K(x)+
U(x+Ax)- V(x)- U(x+Ax)-U(x)
Ay= U(x+Ax)-[V(x+Ax)-
K(x)] +
V(x)[ U(x+Ax)- U(x)]
Ay=AV-U+VAU
| :
Ax
Ay
AU
„
A V
~r~ - ~ .
—
V + U ■
—— bo‘ladi, Ax->0 limit olinsa
Hosila ta’rifiga ko‘ra / =
U- V+ V- U.
Agar
U(x)
va
V(x)
funksiyalari x=x
0
nuqtada hosilaga ega bo'lsa ularning
4x-»0 limitga o‘tsak
Ay
..
AU jr
..
A V TT
lim — = l i m ------
V +
li m ------
U.
Ax
-*0
Лх
Дх
->0
Ax
Дх
->0
Дх
o‘zaro nisbatlari ham hosilaga ega bo‘lib
U \x )V (.x )-V '(x )U {x \
V \ x )
bo‘ladi.
2
1
-
у = Ух.
2
.
у
= arcsin
2
x.
Javobi:
2
arcsin x
V l - x 2
'
Javobi:
5x4 (l -
x
2) -
2 x
(l - x 5)
4.
У
=
In (x +V x
2
+ 4 j.
Javobi:
\/x
2
+ 4
2 cos 2x - 3 sin 3x
5. у =
>/sin 2x + cos3x.
Javobi.
2Vsin2x + cos 3x
£ у = xs/ix.
Javobi:
shx + xchx.
MUSTAQIL ISH1ASH UCHUN MISOLLAR
1 .Hosilaning qoida va formulalaridan foydalanib quyidagi funksiyalaming
hosilalarini toping:
2. Quyidagi funksiyalaming hosilalarini toping.
_y=5siar-cosx, y=tgx— ctgx,
y=x
ctgx, y=x
7
—e\
y=e*
cos*
3. Quyidagi funksiyalaming hosilalarini toping.
у —jf , y =X!inx,
y=ln|x|.
5-§. Integral va uning tatbiqlarini o ‘rgatish metodikasi
1.
Biz hozirgacha biror
y=J[x
) funksiyasi berilgan bo‘lsa, bu funk-
siyaning hosilasini yoki differensialini hisoblashni o ‘rgandik. Endi hosila
olish amaliga teskari bo'lgan amal tushunchasini kiritishga harakat
qilamiz. Agar bizga hosilasi olingan funksiya berilgan bo‘lsa, ana shu
funksiyani hosilasi olingunga qadar, ya’ni uning boshlang'ich ko‘rinishi
qanday bo'lgan edi degan savolga javob beramiz.
Ta’rif.
Agar
y=F(x)
funksiyasining hosilasi
f{x)
ga teng bo'lsa,
y a’ni
F (x)= f[x)
tenglik o 'rin li bo'lsa, u holda
F(x)
funksiyasi
f[x)
funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi.
x
3
1- misol. Agar
f{x)=x2
bo‘lsa, uning boshlang‘ich funksiyasi
F(x)=
—
2- misol. Agar _/i»=smx bo'lsa, uning boshlang'ich funksiyasi
F(x)=-
cosx bo‘ladi, chunki,
F(x)=(—
cosx)/=sinx=y(x).
1
3- misol. Agar
f[x)= ^
----
j
bo'lsa, uning boshlang'ich funksiyasi
/ ’(x)=arcsinx bo'ladi.
Yuqoridagi misollardan ko'rinadiki, agar
J[x)
funksiyasi uchun
F(x)
funksiyasi boshlang'ich funksiya bo'ladigan bo'lsa, u holda
F(x)+С
funksiyasi
ham boshlang'ich funksiya bo'ladi, chunki
[F(x)+C\'=J{x), С -
o'zgarmas
son. Bundan ko'rinadiki, agar
f x )
funksiyasining boshlang'ich funksiyasi
mavjud bo'lsa bunday boshlang'ich funksiyalar cheksiz ko'p bo'lib, ular
x
3
o'zgarmas son С ga farq qilar ekan. 1-misolda — + C, 2-misolda (-cosx+C),
3-misolda esa (arcsinx+C) boshlang'ich funksiyalar bo‘ladi.
Ta’rif.
J{x)
funksiyasining boshlang'ich funksiyasining umumiy ko'rinishi
F(x)+C ga
shu
f x )
funksiyasining aniqmas integrali deyiladi va u quyidagicha
yoziladi:
lf[x)dx=F(x)+C.
Bunda J — integral belgisi,
fx ) d x —
integral ostidagi ifoda deb yuritiladi.
T a ’rif.
f x )
funksiyasining boshlan g'ich funksiyasining um um iy
ko'rinishi
F(x)+C
ni topish amaliga integrallash am ali deyiladi. Bu
ta ’rifdan k o 'rin ad ik i,
f( x ) —
funksiyaning integrallash am ali shu
funksiyaning hosila olish yoki differensiallash amaliga nisbatan teskari
bo'lgan amal ekan. Integrallash am ali quyidagi m uhim xossalarga ega:
1-xossa.
Agar differensiallash belgisi integrallash belgisidan oldin kelsa,
ular o'zaro teskari amallar bo'lgani uchun bir-birini yo'qotadi:
djfx)dx==fx)dx.
2-xossa.
Differensial belgisi integral belgisidan keyinda kelsa, bu belgilar
bir-birini yo'qotgandan so'ng
F(x)
ga o'zgarmas
С
soni qo'shiladi:
ldfx)dx=F(x)+C.
I s b о t i . fd^x)=fF(x)d!x={/(x)dx=
F\x)+ C.
3-xossa.
O'zgarmas sonni integral ishorasi tashqarisiga chiqarib yozish
mumkin:
\kfx)dx=k-\f{x)dx.
4-xossa.
Algebrik yig'indi (ayirma)ning integrali qo'shiluvchi (ayri-
luvchi)lar integrallarining algebrik yig'indisiga (ayirmasiga) teng:
1
[Дх) ±
g(x)]dx=[fx)dx ± \g(x)dx.
263
I s b o t i . d \[/(x)±g(x) ] dx= d{[f{x) dx±jg(x) dx}=
=d[f{x) dx±d\g{x) dx=J{x) dx±g(x) dx.
INTEGRAL JADVALI
1
.
\dxF=xJrQ.
8
. [ ----
3
—
= tgx + C.
*
r>r\o*
V
COS X
y
^+ 1
f
d x
2
. [
x ndx =
------+ C.
9. j — 5~ =
~ctgx + C-
J
n + 1
i sin X
3. J
~ = ln\x\ + C.
10
.
J ^ Г
= <,га™ Г С'
. г
r ,
„
с
ax
i
^ x
^
4. f
axdx
= -— + C.
1 1
.
----- r- = —
arctg — + C.
J
In a
J a + x
2
я
a
5
. [
exdx = ex +C.
1 2
. J
~r=
у
=
ln i
х
+ л/х
2
+ а
2
| +C.
J
yjx +a
6
. f sinxefcc = - c o s x + C.
13. f -
5
——у =
In | ——- |+ C .
J
J
x - aL
2a
x
+
a
7. J cosx*£t = sin x + C.
ANIQMAS INTEGRALDA 0 ‘ZGARUVCHINI
ALMASHTIRISH
Faraz qilaylik,
I={f[x)dx
integralni hisoblash kerak b o ‘lsin. Integral
ostida shunday
J{x)
funksiyalar mavjud bo‘ladiki, bu funksiyalaming
integralini hisoblash uchun yangi o ‘zgaruvchi kiritishga to ‘g‘ri keladi.
Faraz qilaylik,
I=lf[x)dx
integralda x=
u holda
dx= y'(x)dt
bo'ladi. Ularni integral ostidagi ifodaga qo‘ysak,
lf(x)dx=l/[(p(t)](p'(f)dt
bo‘ladi. Bu formula aniqmas integralda o ‘zgaruvchi
almashtirish formulasi deyiladi.
г
dx
l-misol.
1
= J - —— ni hisoblang.
Do'stlaringiz bilan baham: |
