Ozbekiston respublikasi oliy va

"a2 = a, a = a.
__ ______
____ .___ Л'
5-misol. Vx2 + 4jc + 4 + 
4 x 2 -
lOx + 25 = 10 
irratsional tenglamani 
yeching.
Y e c h i s h . Bu tenglamani 
yJ(x + 2)2 + y j ( x -
5)2 =10 yoki |x+2|+
\x—
5|=10 ko'rinishga keltirib, so'ngra yechiladi.
a) agar 
x < - 2
bo‘lsa, 
—x —
2—x+5=10, bundan —2x=7 yoki 
x=—
3,5;
b) agar —2yechimga ega emas;
d) 
agar 
x>5
bo‘lsa, x+2+;r-5=10, bundan 2x=13 yoki 
x=6,5.
x=—3,5 
va 
x=6,5.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1. 1 + 
yl2x
- 2 = jc.
Javobi:
3.
2.
V4 -
x
+ >/5 + 
x
= 3.
■ Javobi:
X[ =4; x2 = “ 5.
3.
yl2x
+1 = 
2-Jx - \ J x -
3.
Javobi:
x = 4 .
4.
yjl + x \ j x 2
+24 = jt + 1.
Javobi:
x, =0; x2 = 5.
5.
Va + 
x
+ 
y j a - x
= 
y/2x.
Javobi:
x, = 
-a ; x2
= 
a.
6.
Vx —
3 + Vx + 18 
— x.
Javobi:
x
= 7.
7.
■Jx
+ 4 + л/20 + 
x
= 8.
Javobi:
x = 5.
8.
л/Зл: + 4 + Vx - 4 = 2л/хГ
Javobi:
x = 4.
9.
Vx + Vx + l l + - \ / x - V x + l l =4.
Javobi:
x = 5.
10.
V l 5 - x + л / 3 - х = 6.
Javobi:
x = -1.
184

---

И- 1 + Vl + W x
2
 -2 4 = x.
12. л/Зх + 7 -
у/х
+ 1 = 2.
13. ^/l + Vx + л/l - Vx =
2
.
14- Vx + 
6
 - %/х 
+1
= 
1
.
9 -§ . Parametrli irratsional tenglamalarni yechish
1
- misol. ^/х 
- 1
= x - a tenglamani yeching.
Ye c h i s h . Berilgan tenglama quyidagicha yozib olinadi:
x 
- 1
 - Vx 
- 1
 + l - o = 
0
- 
(
1
)
Agar bu tenglamada Vx 
- 1
= у desak, x -
1
= y2 bo'ladi, u holda
tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
y 2 - j + l - a = 0, 
y
u2 = i ± ^ I - ( l
- a ) =
1
^ / 1 - 4 + 4a _ 
1
x V4a- 3 .
~~ 2 
v 
4 
2 “ 
2 
’
l + V 4 a - 3 .
l - V 4 a - 3
Л -
2 
> 
^2 
2
3
(
1
) tenglama faqat a 
2
 - boigandagina, yechimga ega bo'ladi, ya’ni
I---- г 
1
 - V4a - 3
V x -
1
= -------------, 
(
2
)
I---- г 
1
 + V4o - 3
V x -
1
= ------- ----- , 
(3)
(
2
) tenglama i _ V
4
o -
3
 
£ 0
bo'lganida yechimga ega bo'ladi. (
2
) va
3
(
3
) yechilsa, - tengsizlik hosil bo'ladi, u holda tenglama quyidagi
ko'rinishdagi ikkita haqiqiy har xil yechimga ega bo'ladi:
Javobi:
Xj = —1; x2 = 3.
Javobi: 
x
= 0.
Javobi: 
x —
3.
Javobi:
 
x = 7.
185

---

2а
 +1 +■ V4a - 3 
2й +1 — 
-J4a
- 3
Х | = ---------- 2---------- ; 
---------- 2----------•
Agar 
а>
1 bo‘lsa, tenglama xlj2 = -2а + 1 т У 4ол 1 yechimga ega bo‘ladi,
3
agar 
a< —
bo'lsa, tenglama yechimga ega bo'lmaydi.
2-misoI. 
y / 3 x - 2
+ Vx + 2 = a tenglamani yeching.
Y e c h i s h . Bu tenglamaning aniqlariish sohasi
3x - 2 > 0, 
x + 2
£ 0
■
2
x 2: -2
J
2л/б
bo'ladi, u holda berilgan tenglama aj > —
bo'lgandagina yechimga ega
2л/б
bo'ladi, agar 
a< 
—— bo‘lsa, yechimga ega emas:
. \/ 3x- 2
- a - - J x + 2
(1)
3x - 2 
= a 2 - 2
aVx + 2 + x + 2, 
2л:- 4 = a2 -
2 a J x + 2,
2x
+ 4 + 
2a-Jx + 2 - a 2 -
8 = 0, 
2 (x + 2) + 2aVx + 2 - a2 - 8 = 0.
agar 
yjx + 2 = у
desak, 
2>-2 + 2ay - a2 - 8 = 0 
yoki 
2y2 + 2 a y -
- ( o 2 + 8) = 0, bundan
~a±>Ja2 + 
2a2
+16 
- a ± ^ 3 a 2
+16
tt.2 - -----------
2
----------- = ---------
2
-------- ’
^ T 2 = i£ .-
^
16 . 
(3)
(4)
186

---

а
£ —
da (3) tenglama yechimga ega emas, (4) tenglama esa
2а2 + 4 - а у 1 з а 2 +16 
, (1 ,.
x
= ------------ ------------- yechimga ega bo ladi.
2л/б
bo‘lsa
3-misol. 
,/x 2 
- a x + 2
= 
x
- 1 tenglamani yeching.
j x - l > 0 ,
J x S l ,
Y e c h i s h :
^ 2
_ a t + 2 = (jc_ 1)
2
0 | („ _ 2) x = |.
Agar 
a
= 2 bo' lsa, sistem a yechimga ega emas, agar 
a * 2
*2:1
v _ 
* hosil bo'ladi, u holda ----- - ^ 1 yoki 
2
bo'ladi.
я ~
o - 2
a - 2
1
Javobi.
Agar 
2
bo'lsa, x = - —- , agar 
a<
2, bo'lsa, 
a>
3 tenglama 
yechimga ega emas.
4-misol. 
y j a - J a + x
= 
x
tenglamani yeching.
x £ 0,
x 5 0,
x S 0,
Y e c h i s h .
a + x > 0, 
=> • х г - в ,
=> <
=> •
a - ' J a + x t
0
a £ Va + x
a2 > a + x
x
£ 0, 
x
£ 
- a ,
x < , a 2 - a.
Tenglamaning aniqlanish sohasi, agar 
a z l
bo'lsa, 
q 
й х й а 2 ~ а
bo'ladi. 
a
-
4 a
+ x = 
x 2
У°М 
J a + x
® 
a
-
x 2,
b u a - x 2 &0 tenglama 
bo'lgandagina yechimga ega, shuning uchun 
a + x *> a 2 - l a x 2
+ x4 Y°ki
a
2 - ( 2 x 2 + 1 )a + (x4 - x ) = 0.
al,2 ~
2x2 +1 ± yj(2x2 + l f -  4x2 + 4x
Oj = 
x
- x tenglama 
a - x
> 0 shart uchun x =
; 
ax
* x2 - x; e2 e * 2 + * + 1» 
-1 ± >/4fl~3
187

---

MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
Quyidagi tenglamalarni yeching.
1- V x - 3
= x
-
a,
Javobi:
agar 2,75x =
^ { l a
+1 ± V 4 f l - l l j agar 
a
>3 bo‘lsa, 
л: = ^(2й + 1 + л/4д-11).
i
2- 
4 х - а - b -х . Javobi:
agar 
b>a
bo'lsa, r = - x (
2b
+1 -
-J4b
- 4a +1 j; 
agar Z)3. 
Ы -ак+3а=2-х. Javobi:
agar —4a<—
4, a> 4 bo'lsa, 
yechimga ega emas.
«V
4- V 2 x - 4 + 
yjx + 7 = a. Javobi:
agar a>3 bo'lsa, x=3a2+ l l- 2 a ; agar 
a<3 bo'lsa, yechimga ega emas.
5- V 2x- 1 + 
4
x
- 2
= a. 
Javobi:
agar 0,5л/б < a < V3 bo'lsa,
x = 3a2
- \ ± ^ 2 а ъ
- 3 agara>73 bo'lsa, 
x = Ъаг - \ + 2а^2аъ
agar 
a<0,5 ^6 
bo'lsa, yechimga ega emas.
6- 
^ 2 x 2 - 2 a x + \
= x - 2 .
Javobi:
agar a > | bo'lsa,
x = a - 2 + Vo2 - 4 a + 7; agar a< — 
bo'lsa, yechimga ega emas.
7- V 3 x - a
= a - 2 x .
Javo b i:
agar 
bo'lsa,
* = g(4o + 3 - V8a + 9j; ; agar 
a<0
bo'lsa yechimga ega emas.
8- 
yjx —
1 + V3 - x = a. 
Javobi :
agar ^2 < a < 2 bo'lsa, 
x = (2 ± v4a2 - e4 1: 2; agar a < л/2, д > 2 bo'lsa, yechimga ega emas.
188

---

9. 
х
+ л/l —
х = a. 
Javobi:
agar x12 =
1 - 2o ± л/5- 4 a
r- 
--------- z--------- . а > v 2
bo'lsa, yechimga ega emas.
10-§. Irratsional tenglamalar sistemasini yechish
1-misol. 
Tenglamalar sistemasini yeching:
x + 
у =
13.
Y e c h i s h . Sistemadagi л/х 
+ yfy = \ yfxy
tenlamaning har ikki tomo-
o
nini kvadrat ko‘tarib, ayniy almashtirishlarni bajarish orqali ratsional 
tenglamalar sistemasi hosil qilinadi:
-468=0. Agar 
j x y =1
desak, 25?2-72/’-468=0 bo'ladi, bundan /,=6 va
t = - —
ildizlar hosil qilinadi. 
j x y
=6 bo‘lsa, 
xy
= 36 bo'ladi:
x + y = 13 
xy =
36
bu sistema yechiladi: 
x
= 
I3~y,
(13->')y=36; 
y2-3y=36;
2- misol.
tenglamani yeching.
x y =
15
189

---

I x2 + y 2
 
12
a) x>
0
, y>
0
, 
x>y
u holda 
x + y -
J
x _ y y ~ 
~
0
yoki 
x 2 - y 2 
- y j x 2
- y 1
- 1 2 = 0. 
Endi 
^ x 2 - y 2 = t
desak, 
. ■ - , - 1 2
= 
0
;
/, = 4, 
t2
= - 3 , shuning uchun 
yjx2
-
y 2
 
= 4 , bundan 
x2—y 2=
 
16 
bo'ladi. Shuning uchun 
|
\ x 2 - y 2 =
16,
j
лу = 15
ratsional tenglama sistemasi hosil bo'ladi. Bu tenglamani yechilsa, x=±5, 
y = ±
3 yechimlar hosil qilamiz.
b) x<
0
, y
<0
va 
x
 
bo'lsa, tenglama quyidagi ko'rinishda yoziladi:
----------
%
I 
2
2
V-t
2
- y
2
= r, 
, 2
+ r
- 1 2
= 
0
, 
(i
,2
“ _
2 ± ^ 4
+ ^ “ “
2
*
2
’ 
*2
— **'
^/x2 
-
y 2 =
3 
yoki 
x
2
-
У
2
= 
9.
Natijada
j x 2 - y 2 = 9 ,
[xy = 15
sistema hosil bo'ladi. Bu sistemani yechilsa,
, л/981 + 9 
^ I
n
/9 81 -9
^ ’2
= У 
2
' 
^
2
= ± V—
2
~
yechimlar hosil bo'ladi.
3-misol. Tenglamalar sistemasini yeching:
jVx2 + y 2 + 
yjlxy
= 8л/2,
[л/х + Т
у
= 4.
190

---

Y e c h i s h . Sistemadagi ikkinchi tenglam aning har ikkala tom oni 
kvadratga ko'tariladi: x + 
у 
+
2 
J xy 
=
16 (1) hosil bo'ladi. Sistemadagi 
birinchi tenglamaning har ikki tomoni 
^ 2
Sa ko‘paytiriladi:
p ( x 2 + y 2) + 2 jx y =16
(2)
(
2
) dan (
1
) ni ayiramiz:
^
2
(x
2
+ }>2) - ( x + j>) = 
0
,
^2(x2 + y 2) = x + y,
2(x2 + y 2) = x 2 + 2 xy + y 2,
x 2 - 2xy
+ 
y 2
= 
0
, (x -
y )2
= 
0
, 
x = y.
Sistemadagi ikkinchi tenglamadagi 
x
o'rniga 
у
ni qo‘yilsa, 2
J y
=4, 
yfy
=2, bundan 
y=
4 bo'ladi. 
Javobi: x
=
у
= 4.
MUSTAQIL YECHISH UCHUN MISOLLAR
1. Sistemani yeching:
x 2 
+ 
x^jxy2
= 208, 
y 2 
+ 
yljyx2
= -1053.
Javobi: xl
=
8
, 
yx =
27, 
x2
= -
8
, 
y2
= 27,
x