Ozbekiston respublikasi oliy va

18-§. Trigonometrik tenglamalar sistemasini yechish
Tarkibida trigonom etrik funksiyalar qatnashgan bir n ech a tenglam a 
trigonom etrik tenglam alar sistemasini hosil qiladi. Trigonom etrik tengla­
m alar sistem asini yechish tenglam adagi n o 'm alu m larning shu ten gla­
m alar sistem asini qanoatlantiradigan qiym atlarini topish dem akdir. Ikki 
n o m a’lumli ikkita tenglam a sistemasining yechim i deb, n o m a ’lum larning 
ikkala tenglam ani h am qanoatlantiradigan ju ft qiym atlariga aytiladi.
1
- misol.
n
X + у =
4 
tenglamalar sistemasini yeching. 
tgx + tgy =
1
222

---

Y e c h is h . 
У = ~ ~ х ,
tgx + tg
£ - ; c W .^ t e r D
.Q ;
4 
I 
1 + 
tgx
a) tgx
= 
1
, 
x = ~ + кл, у = - к л , к e Z;
b) tgx = 0, х = кл, у -
—
кл, к e Z.
4
Javobi:
I 
71
x, = 
nk
+ —,
x2
= 
лк,
у , 
= 
- л к,
cos(x + 
у)
1
у> = ----
лк, к е Z.
2 
4
2-misol.
cos(x 
- у )
9
sin 
х ■
sin у = -
3
1 
tenglamalar sistemasini yeching.
cosx cos 
у
- s in x sin 
у _
1
cos x cos 
у +
sin 
x
sin 
у
9
Y e c h i s h .
cos 
x
cos 
у
8
 
10 
5
— cos 
x
cos у = — cos 
X
cos V = — ,
9 
27 
12
1
= —i—
3 
9L
1
cos x cos у + -
cos x cos у + -
3
COS x
cos 
у -
1
3J
1 
1
 
1
cos 
X
cos у = - + — + — cos 
X
cos y,
3 
27 
9
cosxcosy = — 
12
sinx sin у =
1
cos x cos у - sin x sin у =
12
cos x cos у + sin x sin y = — 
4
cos(x + y) = ---
12
cos(x - y) = —
x + у = 
2
^л- ± arccos —
u. 
3
x - у = 
± arccos —
223

---

х = ж(ку
+ 
к}) ± —
1 
3
arccos — + arccos —
12 
4
,
4 , i
з
- y f r n i
n(k{ 
+ kq,)
± - arccos — ——
y = n(kl ~ k 2) ± ^
1 
3'
arccos----- arccos-
12 
4,
П 
1
4 ,1
З+л/ЙЮТ 
= 
л(к { - k
2
) ± -
arccos— ——
3-misol.
Y e c h is h .
sm 
x +
sin 
у = a
x + у = 2b
tenglamalar sistemasini yeching.
. 
x + y 
x - y
2
s m ----- - c o s ------ = 
a
[x + y = 2b
x - У
_ 
2
cos
x - y
2
sin 
b
x - y = 2 k n - 2 ±
arccos
2
sinZ>
b 
a 
,
3 
b 
a 
, 
,
„
v = — arccos------ + 
kn, 
x =
— + arccos 
+ 
кл, k e Z.
2 
sin 
b 
2
sin 
b
1
) agar 
b
=
0
, 
a *
0
bo'lsa, sistema yechimga ega emas. 
a
2 
sin 
b
3) agar b=0, 
a—
0 bo'lsa, sistema cheksiz ko‘p yechimga ega.
2
) agar 
b Ф
0
,
^ 
1
bo'lsa, sistema yechimga ega.
M USTAQIL YECHISH UCHUN M ISOLLAR
Tenglamalar sistemasini yeching.
V 3 -1
1
.
sin 
x
sin 
у =
cosx cos у
4 
’ 
V3 + 
1
Javobi: j
: 
x
= 45°, 
у
= 15°.
2
.
I sin 
x :
sin 
у
I cos 
x :
cos 
у
= л/
0
Д
Javobi: x -
60°, 
у
= 45°.
224

---

{
sin 
x
= V
2
sin у,
V c . f i Igy. 
Javobi: x = 45'- У ~ ж
4.
5.
6
.
7.
1
s m x + co sv = -
2
. 
2
2
1 
Javobi: x =
0°, 
у
= 60°
sin 
x
+ cos 
у =
- .
Х + У = 1 '
j
 
A- 
* 
*
Javobi:
x = 
7
, 
У = ~-
s in x + c o sy = l. 
6
 
j
n
x ~ y ~~6’ 
J 
1
 • 
Л
Javobi: x =
—, у = —.
sin x co sy = 0,75. 
3 
0
2
x + y = -яг,
r 
t
я
1 
Javobi: x = — ,
y = —. 
s m x s in y = - .
12 
4
2
19-§. Masalalarni tenglama tuzish bilan
yechish metodikasi
M asala — bu kundalik hayotim izda uchraydigan vaziyatlarning tabiiy 
tildagi ifodasidir. M arala asosan u ch qism dan iborat b o ‘ladi.
1. M asalaning shaiti — o'rganilayotgan vaziyatni xarakterlovchi m a ’- 
lum va n o ‘m alum m iqdoriy qiym atlar h a m d a u lar orasidagi m iqdoriy 
m u n o sabatlar haqidagi m a’lum ot dem akdir.
2. M asalaning talabi — m asala shartidagi m iqdoriy m unosabatlarga 
nim an i to p ish kerakligini ifodalash dem akdir.
3. M asalaning operatori — m asala talab ini bajarish u c h u n shartdagi 
m iqdoriy m unosabatlarga n isbatan bajariladigan am allar yig‘indisi.
T englam a tuzish orqali m asala yechish, m asala talabida so 'ralg an
m iq d orni im koniyati boricha b iro r h a rf bilan belgilash, m asala shartida 
qatnashayotgan boshqa m iqdorlarni belgilangan h a rf orqali ifodalash, 
m asala sh a rtid a k o ‘rsatilgan m iq d o riy m u n o sa b a tla rn i, am allarn in g
I S - S. Alixonov
225

---

m an tiq an t o ‘g‘ri ketm a-ketligi orqali ifodalaydigan tenglam a tuzish va 
u n i yechish orqali m asalaning talabini bajarish dem akdir.
M asalalam i tenglam a tuzish orqali yechishni quyidagi ketm a-ketlik 
asosida olib borish m aqsadga muvoflqdir.
1. M asala talabida so ‘ralgan m iq d om i, y a’ni n o m a ’lum m iqdorni 
h a rf bilan belgilash.
2. Bu h a rf yordam ida boshqa n o ‘m alu m lam i ifodalash.
3. M asala shartini qanoatlantiruvchi tenglam a tuzish.
4. Tenglam ani yechish.
5. Tenglam a yechim ini m asala sharti b o ‘yicha tekshirish.
M aktab m atem atika kursida tenglam a tuzish orqali yechiladigan
m asalalar k o 'p in ch a u ch ta h a r xil m iqdorlarni o 'z a ro bog‘liqlik m u n o - 
sabatlari asosida beriladi. C hunonchi:
1
) tezlik, vaqt va masofa;
2
) narsaning qiym ati, soni va jam i bahosi;
3) m ehnat unum dorligi, vaqt va ishning hajm i;
4) y o nilg 'in ing sarf qilish m e ’yori, tjsansportning h a ra k a t vaqti 
yoki m asofasi va yonilg‘ining m iqdori;
5) jism ning m ustahkam ligi, hajm i va u n in g og‘irligi;
6
) ekin m aydoni, hosildorlik va yig‘ilgan hosildorlik m iqdori;
7) quvurni o ‘tkazish im koniyati, vaqti va q u v urdan o 'ta y o tg a n
m oddalarning aralashm a m iqdori;
8
) b ir m ashinaning yuk ko‘tarishi, m ashinalar soni va keltirilgan 
yuklam ing og'irligi;
9
) suyuqlikning zichligi, chiqarish chuqurligi va bosimi;
10
) tokning kuchi, uchastka zanjirining qarshiligi va uchastkadagi 
kuchlanishning pasayishi;
11
) kuch, m asofa va ish;
12
) q u w a t, vaqt va ish;
13) kuch, yelkaning uzunligi va q u w a t m om enti.
M asalalam i tenglam a tuzib yechishda n o ‘m alum m iqdorlarni turlicha
belgilash, y a ’n i asosiy m iq d o r qilib n o m a ’lu m lard a n istalgan birini 
olish m um kin. Asosiy qilib olinadigan va h a rf b ilan belgilanadigan 
n o m a ’lum ni tanlash ixtiyoriy bo'lishi m um kin.
N o m a ’lum m iqdo m i tanlashga qarab tuziladigan tenglam a h a r xil 
b o 'lad i, am m o m asalaning yechim i b ir xil b o 'lad i. Fikrim izning dalili 
sifatida quyidagi m asalani tu rlich a usul bilan yechib ko'raylik.
1- 
masala. Ikki idishga 1480 litr suv sig'adi. Birinchi idishga ikkinchi idishga 
qaraganda 760 litr suv ko'p sig'sa, har qaysi idishga necha litr suv sig'adi?
226

---

Y echish. 
I usul.
1. B e l g i l a s h :
xt
— ikkinchi idishdagi suv bo'lsin, u holda (x + 760)
— birinchi idishdagi suv bo'ladi.
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar: I va II idishdagi suvlaming miqdori x va 
(x+760),.
3. Tenglama tuzish: 
x
+ 
x
+ 760 = 1480.
4. Tenglam ani yechish. 2x+ 760=1480, 
2x=1480-760, 
2x=720. 
*=720:2=360 litr. Bu ikkinchi idishdagi suv x=360+760=1120 litr, birinchi 
idishdagi suv.
5. T e k s h i r i s h . 360 + 360 + 760 = 1480. 
1480 = 1480.
I I
 
usul.
Belgilash. x, — birinchi idishdagi suv bo'lsa, u holda 
(x —
760), 
ikkinchi idishdagi suv bo'ladi.
2. Taqqoslanuvchi miqdorlar. I va II idishdagi suvlaming miqdori.
3. Tenglama tuzish. 
x
+ 
x —
760=1480.
4. Tenglamani yechish. 2x—760=1480, 
2x=
1480+760=2240.
x=2240:2=1120 litr, birinchi idishdagi suv, x = l 120-760 =360 litr,
bu ikkinchi idishdagi suv.
5. Tenglamani tekshirish.
x+;r-760=1480, 
1120+360=1480, 
1480=1480.
II I
 
usul.
1. B e l g i l a s h . Faraz qilaylik, birinchi idishga 
x
1 suv sig'sin, 
ikkinchi idishga esa 
у
1
suv sig'sin.
2. Taqqoslanadigan miqdorlar. Birinchi va ikkinchi idishlardagi suv 
miqdorlari va ularning o'zaro farqi.
fx + у =
1480,
3. Tenglama tuzish. j 
x
_ 
_
x + y =
1480,
4. Sistemani yechish. 
neLri
=>
3 
x
- 760 = 
y.
Ix + x -
760 = 1480, 
J 2x = 1240, 
lx = U 2 0 ,
> { 
x - 7 6 0
= y.
> 
] x - 7 6 0 = y. _ > {
у
= 360.
5. T e k s h i r i s h .
1120 + 360 = 1480, 
1480 = 1480,
1120 - 760 = 360, 
360 = 360.
2-masala. 
Ikki traktor birgalikda ishlab bir maydonni 
6
soatda haydab 
bo'ladi. Agar I traktorchining yolg'iz o'zi ishlasa, bu maydonni II traktorchiga 
nisbatan 5 soat tez haydab bo'ladi. Bu maydonni har qaysi traktorchining 
yolg'iz o'zi necha soatda haydab bo'ladi?
Y e c h i s h .
1. 
Belgilashlar. Agar I-traktorning yerni haydash uchun sarflagan vaqtini 
x soat desak, u holda II-traktorning yerni haydash uchun sarflagan vaqti " 
(x + 5) soat bo'ladi.
227

---

—
II - traktoming 1 soatdagi ishi. 
x + 5
2. Taqqoslanadigan miqdorlar. — va ——г
X
X
^ 3