Ozbekiston respublikasi oliy va

Matematik induksiya metodi. 
Bu metodda biror matematik qonuniyat 
n
=
1
hoi uchun o'rinli bo'lsa, uni 
n
=
к
hoi uchun o ‘rinli deb qabul 
qilib, so‘ngra 
n
=
к
+ 
1
hoi uchun o ‘rinli ekanligini ko‘rsatiladi.
n(n +
1) 
. ,
1-misol. 
^ =
1
+ 2+3
+...+n
= — - — yig mdinmg o ‘rmli ekanligini
matematik induksiya metodi orqali ko‘rsatilsin, bunda 
n e N .
с 
Id +
1
) 
,
1
. Agar 
n -
1 bo‘lsa, 
Sl
= — -— = 1.
с
, л 
, 
k (k +
1
)
2. Agar 
n = к
boisa, 
Sk
=1 + 2 + 3 + 
... + к
------ -— .
3. Agar 
n=k+
1 bo'lsa,
(к
2
'iiJc
-f" 
1
)
Sk+[
= 1 + 2 + 3 + ... + & + (& + 1) = -------—------- ekanligi isbotlanadi.
p 
о 
/, 
. 4
k (k +
1
) 
n
k (k
+
1
) + 
2(k
+
1
)
I s b o ti. 
Sk+l = S k + (k +
1
) = —y -
+ (k +
1) = —------
=
{k
+ 
2)(k
+ 
1
)
n(n +
1)
Demak, 5n=l+2+ 3+...+« = — -— yig‘indisining hisoblash formulasi 
to‘g‘ri ekan.
n(n + \)(2n + l)
дг
2-misol.
5 =1
2
+2
2
+3
2
+...+/j2= -----
i
------- > 
n e N ■
6
1 
• 
(1
+
1 ) ( 2
1
+ 
1
) 
,
1. Agar 
n
= 1 bo'lsa, 
S =
----------^----------= 1-
„ 
k ( k +
1 ) ( 2
к
+
1
)
2. Agar 
n
= 
к
bo‘lsa, 
Sk~
----------^----------•
3. Agar 
n—k+l
boisa, 
>Sl<+
1
= l
2
+2
2
+3
3
+...+(£+l)2=
(k + l)(k + 2)(2k + 3)
, 
,
= ------------>-------- 
bo lishligmi isbotlang.
6
k(k + l)(2k + l) 
..
1ч2 
I s b o ti. 
S = & + ( k + \ y = —
---------
T
----------- - + (A: +
1
Г =
25

---

-
[к(2к
+
1
) + 
6(к
+
1
)] = 
к + Х
• [
2
к 2 + 1к
+ 
6
) =
2(А: + 1)(Л: + 2)
к
+ ■
(к + \){к + 2)(2к + Ъ)
3 - misol. 
5
=
1 3
+
2 3
+
3 3
+...+я3= П--1~-1) , 
пе N
1. Agar 
п
= 1 boisa, 
Sl =
= 1-
т а
, и <, 
с 
к 2(к +
1 ) 2
,
2. Agar 
п = к
boisa, о = —
— — = 1.
к 
4
3. Agar 
п = к+
1 boisa, 
5’k= l
3
+2
3
+3
3
+...^
3
+(yt+l>)3= 
boiishligini isbotlang.
_ ( k + l)2(k + 2)2
I s b o t i .
' .V + 
(k
+ I
) 3
= 
k2 (k + l)2 +( k +
l
) 3 
• к 
4
= ( k +
1) 2
4
+ & + 
1
_ ( k +
I
)2(k2 + 4k + 4) _ (к +
I
)2(k + 2)2
4 
4
T e о r e m a. 
Qabariq n burchak ichki burchaklarining yig'indisi
180° (я—
2
) 
ga teng.
Bu teoremani matematik induksiya metodi bilan isbotlang (1-chizma).
1. 
n
= 3 bo'lganda 5
3
= 180°.
2. 
n
=
к
b o ‘lganda Sk=180°(A:-2) 
boiadi.
Agar 
n
=
к
uchun ^ = 1 8 0 ° 
(k— 2)
bo ‘lca, 
n — к +
1
uchun
S
^+1
= 180° [(&+
1
) —
2
] b o 'lish in i 
isbotlang.
Bu holni isbot qilish uchun 
(k
+ 
1
) 
burchakli qabariq ko‘pburchak olinadi.
A xAk
diagonal berilgan ko‘pburchakni 
к 
1-chizma.
26

---

hiirchakli qabariq /l,/l
2
/ l v ../lk k o 'p b u r c h a k k a va 
A lAkAhn
ui lib u n Imkkii 
airatadi, u holda 
Sk+=Sk+S3
tenglik o ‘rinli b o 'ladi:
Skl
= !8 0 °(^ 2 )+ 1 8 0 °= 1 8 0 o[(£-2)+l]=180°[(A :+l)- 2|.
Dcmak, teorem a har qanday qabariq 
n  
burchak uchun ham o'rinli 
ekan.
4- 
misol. 
Quyidagi tengsizlikni matematik induksiya metodi bilan 
isbotlang:
1 
1 
1 ^ r~
— J S
+ — p г + . . . + — =
> y / n .
4 l
4 2
4 n
I s b o t i .
n =
1, bo‘lganda 1 = 1 tenglik o'rinli.
n
= 2 bo'lganda 1 + -|=
>42
tengsizlik o'rinli.
■a
Endi faraz qilaylik, berilgan tengsizlik 
n — к
uchun o'rinli, ya’ni
1
_ J _
1 
4 l + 4 2 + ~
ko'rsatiladi:
\/T + 
~42
+ 
4 k
bo'lsin, uning 
n=k
+ 1 hoi uchun o'rinli ekani
1
1
1
1
rf— r
—
7=- H
+ ... H—== 4
—
> -
+1
л/г 
72 
4 k
4 k +
I
1
1
1
r
Bu tengsizlikni kuchaytirish uchun 
~4\+^ j 2 +
o'rniga 
ык
qo'yiladi, u holda
4 k
+ 
>4k
+ 1 (j) bo'ladi. Bu tengsizlikni o'rinli
ekani ko'rsatilsa, berilgan tengsizlik isbotlangan bo'ladi.
(1) ning har ikki tomoni kvadratga ko'tarilsa, u holda quyidagi tengsizlik 
hosil bo'ladi:
* + ‘ 
+ H L > k+ l,
2
£ , + . *
k 
+ 1 
4 k
+ 1 
4 k
+ 1 
k 
+ 1
Bu tengsizlikning har ikkala tomonini J
-— -
ga bo'linsa, 2 >,,,
V/t + l 
V& + 
1
tengsizlik 
к
ning 
к
- 1 dan boshqa qiymatlaridan o'rinli, shuning uchun
1
1
1
. 
r-

---

tengsizlik 
n
ning har qanday qiymatida ham o‘rinli.
5- 
misol.
(2
n -
1)! > 
n\
tengsizlikni matematik induksiya metodi bilan 
isbotlang.
I s b o ti. Ma’lumki. (2л-1)! = 1-3-5-...-(2я-1).
1
. и = 
1
boiganda 
1
= 
1
tenglik o‘rinli.
n =
2 bo‘lganda 3 > 2 sonli tengsizlik hosil bo'ladi.
2. Endi berilgan tengsizlik 
n
= 
к
hoi uchun o‘rinli, ya’ni 
(2k-\)\ >k\
deb 
faraz qilaylik, buning 
n
= 
к
+ 
1
hoi uchun o'rinli ekanini ko'rsatamiz:
k\(k+\)<(2k-\)\(k+\)<(2k-\)\(2k+\)=(2k+\)\
ifoda hosil boiadi. Bundan 
esa 
(k+\)\<(2k
+ 1)! Shuning uchun tengsizlik 
n
ning har qanday qiymatlarida 
o'rinli.
Tengsizliklarni isbotlang:
\_
3 5 
2 /1 - 1 ^ 
1
2 - 4
6
2n
Тзй+Т
T a’rif. 
Umumiy m a ’lumotlarga tayanib ayrim yoki xususiy xulosa
chiqarish deduksiya deyiladi.
Misollar 
1. 
x
2
-3 x -4 = 0 tenglamaning diskriminantini hisoblab, uning 
yechimlari borligini ko‘rsating. 
D=
9+16=25. D>0. M a’lumki, kvadrat 
tenglamani yechish haqidagi qoidaga ko'ra uning diskriminanti musbat bo‘lsa, 
u ikkita haqiqiy har xil yechimga ega edi, shuning uchun x
2
-3 x -4 = 0
tenglama ham ikkita x, = 4 va 
x2 =
-1 yechimlarga ega.
2. ^/81 ■
0,09 ifodaning qiymatini hisoblang. Bu ifodaning qiymatini
hisoblash uchun maktab algebra kursidan umumiy qonuniyatni o‘z ichiga 
oluvchi quyidagi teoremadan foydalaniladi.
T e o r e m a .
a > Q va b > 0 bo ‘Iganda ^fab = 4 a -4 b bo ‘ladi.
Shuning uchun quyidagi xulosani hosil qilamiz:
3. 
Maktab geometriya kursida kosinuslar teoremasining analitik ifodasi 
bunday:
{ [ 2
(k
+ 
1
) - 
1
]! > 
(k
+ 
1
)!} -» 
( 2
к
+ 
1
)! > 
(к
+ 
1
)!
(
2
k-\)\>k\
tengsizlikning har ikki tomonini 
k
+ 1
ga ko‘paytiriladi u
holda
л/81 0,09 = V
8
T Д 0 9 = 9 -0 ,3 = 2,7.
A
c2
= 
a2
+ 
b2 — lab ■
 
cos 
с .
(
1
)
28

---

Agar (1) (Ja 
с
90” bo'lsa, 
cos
90°=0, shuning uchun 
c‘ a
‘ t 
h‘
(2) 
bo'ladi. Hi/.ga ma’lumki, (2) Pifagor tcoreinasining ifodasidir.
Xulosa chiqarish metodlaridan yana biri bu analogiyadir.
T a ’rif. 
0 ‘x sh a sh lik k a asoslanib xu lo sa chiqarish analogiya
deyiladi.
Analogiya bo'yicha xulosa chiqarishni sxematik ravishda quyidagicha 
tasvirlash mumkin: / ’figura 
a, b, c, d, ...
xossalarga ega. 
Fx
figura esa 
a, b, c, ...
xossalarga ega b o ‘lsa, u holda 
Fl
figura ham
d
xossaga ega
bo‘lishi mumkin.
Fikrimizning dalili sifatida quyidagi tengsizlikni isbot qilaylik. H ar
qanday tetraedr uchun ^(|Л,В|+|5С1+1
у
4С1)<|5Л|+|6,51+|5С| tengsizlik
o'rinli.
Bizga m a ’lum ki, fazodagi tetraedr 
figurasi tekislikda uchburchak figurasiga 
analogik figuradir, shuning uchun har 
qanday uchburchak uchun o'rinli bo‘lgan 
quyidagi xossadan foydalaniladi.
H ar qanday uchburchakda ikki to ­
m on uzunligining yig'indisi u ch inchi 
tom on uzunligidan kattadir (
2
-chizma):
\АЦ +
|
BC\ > \AC\.
A g ar u c h b u r c h a k u c h u n
o'rinli bo'lgan ana shu xossani 
u n g a analogik b o ig a n figura 
tetraedrga tatbiq qilsak, quyi­
dagi tengsizlik hosil bo'ladi (3- 
chizma):
В
AB
BC
<|&4|+|£В|
<|5'5|+|5,C|

---

TaKrorlash uchun savollar
1. Bilish deb qanday psixologik jarayonga aytiladi?
2. Tafakkur tushunchasining ta ’rifmi aytib bering.
3. Sezgi deb nimaga aytiladi?
4. Idrok va tasavvur tushunchalarini ta ’riflang.
5. Matematik tushunchaga ta ’rif bering.
6. Tushunchaning mazmunini ta ’riflang.
7. Tushunchaning hajmi deganda nimani tushunasiz?
8. Tushunchaning jinsi va uning turi deganda nimani tushunasiz?
9. Ta’rif so'zining lug'aviy m a’nosini aytib bering.
10. Real, klassijikatsion va genetik ta ’riflarini aytib bering.
11. Matematik tushunchalar qanday metodlar yordamida kiritiladi?
12. Matematik hukm tushunchasiga ta ’rif bering.
13. Matematik xulosa deb nimaga aytiladi?
14. Matematik xulosa turlarini aytib bering.
15. Matematik induksiya metodini tushuntiring.
Tayanch iboralar
Bilish, tafakkur, hissiy bilish, mantiqiy bUish, sezgi, idrok, tasavvur,
tushuncha, tushunchaning mazmuni, tushunchaning hajmi, tushunchaning
jinsi, ta ’rif, genetik ta ’r if matematik tushuncha, matematik hukm,
matematik xulosa, induksiya, deduksiya.

---

I l l bob
MAKTAB MATEMATIKA KURSIDA TA’LIM
METODLARI
l- § . Matematik ta’lim metodlari
Metod so'zi grekcha so‘z b o ‘lib, «yo‘l ko‘rsatish» demakdir. «Ta’lim 
inetodi» tushunchasi esa hozirgi zam on metodika va didaktika fanlaridagi 
asosiy tushunchalardan biridir, am m o bu tushuncha yaqin vaqtlarga 
qadar har xilmetodik adabiyotlarda turli m azm unda qo‘llanib kelinar 
cdi. XIX asrga qadar bo'lgan metodik adabiyotlarda «metod» tushunchasi 
matematika kursining asosiy mazmunini bayon qiluvchi mavzuning tavsifi 
sifatida ishlatiladi. M asalan, «Sonlarni o'rganish metodi», «Geometrik 
figuralarni o'rganish metodi» va hokazo.
Hozirgi zam on didaktikasida, jum ladan, m atem atika o'qitish m eto­
dikasi fanida ta’lim m etodining m uammolari umumiy holda hal qilingan 
bo'lib, u o'zining quyidagi ikki tom oni bilan xarakterlanadi:
a) o'qitish (o'qituvchining faoliyati);
b) o'rganish (o'quvchilarning ongli bilish faoliyati).
T a’lim jarayoni o'qitish va o'rganishdan iborat bo'ladigan bo'lsa, 
u holda o'qitish (o'quvchilarning bilish faoliyatlarini boshqarish va 
tekshirishga doir axborot turlari, usul va vositalari), o'rganish (o'quv 
materialini o'quvchilar tom onidan o'zlashtirishning turlari, usul va 
vositalari) o'zining quyidagi m etodlari orqali amalga oshiriladi. O'qitish 
va o'rganish metodlari o'zaro bir-biri bilan uzviy aloqadorlikda bo'lib, 
m aktabda o'qitish jarayonini amalga oshiradi. M aktab m atem atika 
kursida ta ’lim metodlarini quyidagicha klassiflkatsiyalash mumkin.
1. Ilmiy izlanish m etodlari (kuzatish, tajriba, taqqoslash, analiz va 
sintez, umumlashtirish, abstraksiyalash va klassiflkatsiyalash).
2. O 'qitish metodlari (evristik m etod, programmalashtirilgan ta ’lim 
m etodi, muammoli ta ’lim m etodi, m a’ruza va suhbat metodlari).
3. Xulosa chiqarish m etodlari (induksiya, deduksiya va analogiya).