Ozbekiston respublikasi oliy va

122

---

4 
2 
3 2 
2 8 — : 14 — + 6 — ■
 —
5 
5 
2 3
16 
4
Javobi: 
9 - .
9 
1 
2
■тН-Н
V
l l T 2 - e \ U
6
.
7.
(0 ,0 1 2 + 0T04104 Л 456Q _ 42 1
I 5 
5’4 J 
3
f 85-^- - 8 3 — ^
[
 
30 
18 
J
3
0,04
Javobi: — . 
lo
Javobi: 
5 — . 
14
Javobi: 18-.
f l 4 0 ~ - 1 3 8 “
* 18 —
[ 3 0
12
J
6
0,002
Javobi: 
50.
9.
95 — ~ 93 ~ 1- 2 i + 0,373 
30 
18 J 
4
0,2
Javobi: 23,865.
10
.
l 2r
4
-
5? ) 13’ 5 + 0 ’ u l
0,02
Javobi: 
599,3.
1
L
12
.
13.
68
^ -
66
^
30 
18
: 6 9 + U
+ 32
•4,5
0 ,0 4
( 2 ,1 - 1 ,9 6 5 ) : (1,2 0,045) 
1 ; 0,25
0 ,0 0 3 2 5 :0 ,0 1 3  
1 
. . . 1 0 V . , 2 2
1,6 0,625
17 — — 8,25 • —- 
2
11
. 11— : — + 3,5 
1 
3 9
Javobi: 
38
15
64
Javobi: 
6
. 
Javobi: 
560.
123

---

И. ^ - 0,375 J : | - i (0,358 - 0 ,108) 
Jambi.
 
1 1
15. (10,5 2,04 - 0,1) (6,25 0,2 + 0,8 : 0,64). 
Javobi: 
53,3.
16.
2 - ~
- - 2
—
7 
3 
14
зтг4’375) 9!
Javobi: 2
17
21
0,134 + 0,05
17. 1 8 --1 — - — 2 -
6
14 
15 
7
Javobi: 
0,0115.
18.
58—- -56 —
15 
24
: 0,8 + 2 — 0,225
У
3 3 
4 5
Javobi:
157
280 '
19.
6
- 4 ^ 1: 0,03
3 -^ -2 ,6 5
20
3 
4 
0 ,3 - - ^
20
4 +
1,88
+ 
2
—) — 
25 
80
2
— .
20 
Javobi: 10.
20
.
0,216 
2 . 4 
0,15 + 3 15
196 
7,7
225 “ 
24
1 
4
+ 0,695: 1,39.
Javobi: 5.
1,5291- 
1<4-53662
0,305 
3 - 0,095
: 
0,12
Javobi: 10.
'б,2  :0,31 
- 7
0,9 1-0,2 + 0,15
22
.
: 
0,02
/ 
4 
A 
1
2
 + 
1
—
0
,
2 2
:
0,1
I I
Javobi: 1320.
33

---

V I I bob
.
M AKTAB DA A Y N IY S H A K L A L M A S H T IR IS H L A R N I 
0 ‘ R G A TIS H M E T O D IK A S I
l- § . Ayniy shakl almashtirishlar
Algebraik ifodalaming ayniy almashtirishlari maktab matematika 
kursida muhim o'rin egallaydi va V I—X I sinflaming dastur materiallarini 
o'rganish jarayonida qo'llaniladi. Maktab matematika kursida sonlar 
va harflar bilan belgilangan algebraik ifodalarni qo'shish, ayirish, 
ko‘ paytirish va bo'lish, darajaga ko‘tarish, ildiz chiqarish va logarifm- 
lash kabi amallar bajariladi. Bu amallarni bajarish jarayonida ana shu 
algebraik ifodalaming miqdoriy qiymatlarini saqlab, ularni turli ko‘ ri- 
nishlarda yozishga to‘g‘ ri keladi.
T a ’rif. Algebraik ifodaning miqdoriy qiymatini о ‘zgarmasdan bir 
\hakldan ikkinchi bir shaklga о ‘zgartirib yozish ayniy almashtirish 
deyiladi.
Maktab matematika kursida ayniyat degan tushuncha o ‘ rganiladi, 
M>lngra ayniy almashtirish degan tushuncha kiritiladi.
Ta’ rif. Tarkibidagi hatflarning har qanday qiymatlarida ham to'g'ri 
bo ‘laveradigan ikki algebraik ifodaning tengligi ayniyat deyiladi.
jc
3
- 1
Masalan, -------= x2 + x + l 
tenglik ayniyatdir, chunki tenglikda
x
- 1
qatnashayotgan noma’lum x ning ixtiyoriy qiymatlarida tenglikning chap 
minoni uning o ‘ ng tom oniga har doim teng chiqadi. 
6
-sinfda 
o'rganiladigan qisqa ko‘paytirish formulalari ham ayniy tengliklardir:
1) ( a ± b f = a2 ± 2 ab + b2\ 
2) ( a ± b f - a3 ± 3a2b f 3ab2 ± b3;
3) j
3
± b 3 = {a ± b )(a 2+ab + b2)\ 
4) a2 - b2 = (a - b)(a + b).
Yuqoridagi ta’ rif va misollardan ko'rinadiki, ayniyat arifmetik 
amallar qonuni arming harfiy ifodalangan shakli ekan. Ayniy shakl al- 
mashtirishlarda algebraik ifodalarni taqqoslash, ular ustida amallar 
bajarish uchun ifodalardagi birhad va ko'phadlarning shaklini o ‘ zgar- 
(ii ish kabi ishlami bajarish ko‘zda tutiladi. Maktab matematika kursidagi 
.ivniy shakl almashtirishlarni shartli ravishda quyidagicha ketma-ketlik 
asosida ifodalash mumkin:
125

---

1. Butun ifodalarni ayniy almashtirish.
2. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish.
3. Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
4. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish.
Har qaysi almashtirishni ko'rib chiqamiz.
1. Butun ifodalarni ayniy almashtirish. Ayniyat va ayniy almashtirish 
tushunchalari V I sinfdan boshlab kiritiladi, lekin I sinf matematika 
darslaridayoq ayniy almashtirishlar bajariladi. Masalan, 3+2=5 ifodaning 
yig‘indisini hisoblash 3 + ( l + l) = ( 3 + l) + l = 4 + l= 5 kabi ayniy almashtirish 
yordamida bajariladi. IV —V sinflarda sonlar ustida murakkabroq ayniy 
almashtirishlar bajariladi. Masalan; 52=5-10+2=5-5-2+2=25-2+2; 
3 5 = 3*1 0 +5 = 3-5 ,2 +5=6*5 + 5. Bu m isollarda bajarilgan ishlar 
o'quvchilariga ayniy almashtirish deb o'rgatilmasada lekin aslida sonlar 
ustida ayniy almashtirish bajariladi.
M a’lumki, ratsional algebraik ifodalar arifmetik to‘rt amal hamda 
darajaga koiarish amallari asosida tuziladi. Agar algebraik ifoda qo‘shish, 
ayirish, ko'paytirish va darajaga koiarish amallari asosida tuzilgan 
boisa, u holda bunday ifodalar butun ifodalar deyiladi.
Masalan,
I) 5y2 ( 2x2 -  3y); 
2) (x + y) (y - x)\
3) (2x + 5) (7 - 3x); 
4) (C+5XC2 - 3c + 5).
Butun ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan 
matematik ifodani ko'phadlarni imkoniyati boricha algebraik amallar 
yordamida standart shaklidagi birhadlar ko'rinishiga keltirib sodda- 
lashtirishdan iboratdir. Shu yerda 
0
‘ qituvchi o'quvchilarga o ‘xshash 
hadlar, birhad va ko'phad tuslumchalarini tushuntirish hamda ularga 
misollar ko‘ rsatishi lozim.
Har qanday algebraik ifoda birhad va ko‘ phadlardan iborat bo‘ladi.
Ta’rif. Ко ‘paytirish va darajaga ко ‘tarish amallari yordamida tuzilgan 
ifodalarni birhad deyiladi.
4
Masalan: Sybc, 
~xy a 2;...
Birhadlami ham standart shakllarga keltirish misollar yordamida 
tushuntiriladi. Masalan; 6x-4y birhad sodda holga keltirilsin. Bu misolga 
ko'paytirish, o ‘ rin almashtirish va guruhlash qonunlarini qo'llasak, 
6x*4y=24xy boiadi.
T a’ rif. Bir necha birhadlarning yig‘indisidan iborat bo'lgan ifoda 
ko'phad deyiladi.
126

---

Masalan: 1) 5x2y + ^.y2x; 
2) \3a2b + j с2 a + 1 a2b.
Yuqorida ta’ rif va misollardan ko‘ rinadiki, birhad ko‘phadning 
xususiy holi ekan.
Ta’ rif. Ko'phadning o'zaro koeffitsiyentlari bilangina farq qilad igan 
yoki butun koeffitsiyentli bo'lgan hadlari o'xshash hadlar deyiladi. 
O'xshash hadlami arifmetik amallar yordamida birhad ko'rinishida 
ifodalashni ixchamlash deyiladi.
Masalan:
1) 20y2x + 4 #-1 2> '2X “ 3# = (20y7x -\ 2 y 2 x ) + (4 z t-3 z t) =
= 8 y2x + zt;
2) 2,4a2b2 + 3,2cd -\ ,4 a 2b2 -2 ,5 cd = (2,4a2b2 - \,4a2b2) + 
+(3,2cd -  2,5cd) = a2b2 + 0,7cd.
Butun ifodalarni ayniy almashtirishda belgilangan ko‘ phadlar 
birhadlarga, birhadlar esa standart shaklga keltiriladi. Bu ishlarni 
bajarishda o'qituvchi o‘ quvchilarni bir xil hadlardan iborat ko‘phadlarni 
standart shaklga keltirishdan boshlashi kerak.
3) Ifodalarni soddalashtiring:
1) x + x + x = * • 3 = 3x;
2) x + x + x + x +x~ (x + x )+ (x +x + x )= 2x+ 3x= 5x;
3) (l,2 x2)- (- 5 x )+ (- 7 x )- (- 2 x )(3 x 2)= - 6 x 3-7 x+ 6 x3= -7 x ;
4) (Sx2^— 14x3—8хУ)+(Зх3—7x2y+9xy1) —5x2y - M x 3—8хУ+Зх3— 
~7х^+9.гк2“ -2 х 2у— 1 lx 3+ x y 2.
Shundan keyin qisqa ko‘paytirish formulalari yordamida soddalash- 
tiriladigan misollarni ko‘ rsatish lozim.
1
) (2х+3>02+(4>>-5х)2= 4 х2+12х>М-9)>2+ 1 б У - 4 ()х г |-25х2=29х2-
28ХУ+25У2
.
— (xy+4_y)3—(2xy- 3y) 3= (x y )3+3 (xy)2 ■ 4 y+ 3xy(4y)2+ (4y) 3—
- [(2хуу-3(2ху)13у+3-2ху(3у)7-0 у у \ =
= х 3У + 12xlyi+4&xyi+()4yi—8x3y3+ 36x2y — 54ху3+27}>3=
= —7x3y3+48x2y3-6xy3-6x^+9 ly 3.
127

---

4) Ifoda soddalashtirilsin: ( a -b +c+ d )2+ (a + b -c+ d ) 2.
1-usul: (a-b+c+d)2+(a+b-c+d)'2= [(a + d )-(b -c)]2+ [(a + d )+  
+ (b -c)]2=(a+d)2-2(a+d)(b-c)+(b-c)2+(a+d)2+2(a+d)(b-c)+
+(b-c)2=2[(a+d)2 +(b~c)2].
2-usul: (a-b+c+d)2=A deb (a+b-c+d)2=B deb belgilasak, A2+£P hosil 
bo'ladi. A2+B*ni ayniy almashtirish orqali quyidagicha yozish mumkin: 
A2+B1=(A +B )2-2AB> bularga asosan
(a-b+c+d)2+(a+b-c+d )2=(a-b+c+d+a+b-c+d)2-2(a-
-b+c+d)'(a+b-c+d)—(2a+2d)2-2(a-b+c+d) ( a+b-c+d)=
=4(a+d)2-2[(a+d)2-(b -c)2]=2[(a+d)2+ (b -c)2}.
2-§. Kasr ifodalarni ayniy almashtirish
V II 
sinf algebra kursidan boshlab kasr ratsional ifodalarni ayniy 
almashtirish bajariladi.
Ta’ rif. Agar algebraik ifoda qo \shish, ayrish, ко \paytirish va bo ‘lish 
amal lari yordamida sonlar va о ‘zgaruvchilardan tuzilgan bo ‘Isa, и holda 
bunday ifodani kasr ratsional ifoda deyiladi.
w
, 
У2 ~ 1 
x2 - 3 x - 4
x
+ ^ .
Masalan: ------ < ----------; 
"
у 
jc + 4 
х \х ~ г )
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirish jarayonida ana shu 
ifoda qatnashayotgan noma’lum sonlarning qabul qiladigan qiymatlarini 
aniqlash lozim.