Ozbekiston respublikasi oliy va

122

---

4 
2 
3  2 
2 8 —  :  14 — + 6 — ■
 —
5 
5 
2  3
16 
4
Javobi: 
9 -   .
9 
1 
2
■тН-Н
V
l l T 2 - e \ U
6
.
7.
(0 ,0 1 2   +  0T04104 Л  456Q _  42  1
I  5 
5’4  J 
3
f  85-^- - 8 3  — ^
[
 
30 
18 
J
3
0,04
Javobi:  — . 
lo
Javobi: 
5 — . 
14
Javobi:  18-.
f l 4 0 ~ - 1 3 8 “
* 18 —
[ 3 0  
12
 
J
6
0,002
Javobi: 
50.
9.
95 —  ~ 93 ~  1- 2 i  + 0,373 
30 
18  J 
4
0,2
Javobi:  23,865.
10
.
l 2r
4
-
5? ) 13’ 5 + 0 ’ u l  
0,02
Javobi: 
599,3.
1
L
12
.
13.
68
^ -
66
^  
30 
18
: 6 9 + U
+ 32
•4,5
0 ,0 4
( 2 ,1 - 1 ,9 6 5 ) :  (1,2  0,045) 
1  ;  0,25
0 ,0 0 3 2 5 :0 ,0 1 3  
1 
. . .   1 0 V . , 2   2
1,6  0,625
17 — — 8,25 • —- 
2
 
11
.  11—  :  — + 3,5 
1 
3  9
Javobi: 
38
15
64
Javobi: 
6
. 
Javobi: 
560.
123

---

И.  ^  -  0,375 J : | -  i   (0,358 -  0 ,108) 
Jambi.
 
1 1
15.  (10,5  2,04 -  0,1)  (6,25  0,2 + 0,8 : 0,64). 
Javobi: 
53,3.
16.
2 - ~  
- - 2
 —
7 
3 
14
зтг4’375) 9!
Javobi:  2
17
21
0,134 + 0,05
17.  1 8 --1  — -  —  2 -  
6
 
14 
15 
7
Javobi: 
0,0115.
18.
58—- -56 —  
15 
24
: 0,8 + 2 — 0,225
У
3  3 
4 5
Javobi:
157
280 '
19.
6
 -  4 ^  1: 0,03
3 -^ -2 ,6 5  
20
3 
4 
0 ,3 - - ^  
20
4 +
1,88
 + 
2
  —)   — 
25 
80
2
 —  .
20 
Javobi:  10.
20
.
0,216 
2  .  4 
0,15  + 3  15
196 
7,7
225 “ 
24
1 
4
+ 0,695:  1,39.
Javobi:  5.
1,5291- 
1<4-53662
  0,305 
3 -  0,095
: 
0,12
Javobi:  10.
'б,2  :0,31 
- 7
  0,9  1-0,2 + 0,15
22
.
: 
0,02
/ 
4 
A 
1
2
 + 
1
—
0
,
2 2
:
0,1
I I
Javobi:  1320.
33

---

V I I  bob
.
M AKTAB  DA A Y N IY  S H A K L  A L M A S H T IR IS H L A R N I 
0 ‘ R G A TIS H   M E T O D IK A S I
l- § .  Ayniy  shakl  almashtirishlar
Algebraik  ifodalaming  ayniy  almashtirishlari  maktab  matematika 
kursida muhim o'rin egallaydi va V I—X I sinflaming dastur materiallarini 
o'rganish  jarayonida  qo'llaniladi.  Maktab  matematika  kursida  sonlar 
va  harflar  bilan  belgilangan  algebraik  ifodalarni  qo'shish,  ayirish, 
ko‘ paytirish  va  bo'lish,  darajaga  ko‘tarish,  ildiz  chiqarish  va  logarifm- 
lash  kabi  amallar  bajariladi.  Bu  amallarni  bajarish jarayonida  ana  shu 
algebraik  ifodalaming  miqdoriy  qiymatlarini  saqlab,  ularni  turli  ko‘ ri- 
nishlarda  yozishga  to‘g‘ ri  keladi.
T a ’rif.  Algebraik  ifodaning  miqdoriy  qiymatini  о ‘zgarmasdan  bir 
\hakldan  ikkinchi  bir  shaklga  о ‘zgartirib  yozish  ayniy  almashtirish 
deyiladi.
Maktab  matematika  kursida  ayniyat  degan  tushuncha  o ‘ rganiladi, 
M>lngra  ayniy almashtirish  degan  tushuncha  kiritiladi.
Ta’ rif.  Tarkibidagi  hatflarning  har qanday  qiymatlarida  ham  to'g'ri 
bo ‘laveradigan  ikki  algebraik  ifodaning  tengligi  ayniyat  deyiladi.
jc
3
 
- 1
Masalan,  -------= x2 + x  + l 
tenglik  ayniyatdir,  chunki  tenglikda
x
- 1
qatnashayotgan noma’lum x ning ixtiyoriy qiymatlarida tenglikning chap 
minoni  uning  o ‘ ng  tom oniga  har  doim   teng  chiqadi. 
6
-sinfda 
o'rganiladigan  qisqa  ko‘paytirish  formulalari  ham  ayniy  tengliklardir:
1)  ( a ± b f   = a2 ± 2 ab + b2\ 
2)  ( a ± b f   -  a3  ± 3a2b  f  3ab2  ± b3;
3)  j
3
 ± b 3  = {a ± b )(a 2+ab + b2)\ 
4)  a2 -  b2  = (a -  b)(a + b).
Yuqoridagi  ta’ rif  va  misollardan  ko'rinadiki,  ayniyat  arifmetik 
amallar  qonuni arming  harfiy  ifodalangan  shakli  ekan.  Ayniy  shakl  al- 
mashtirishlarda  algebraik  ifodalarni  taqqoslash,  ular  ustida  amallar 
bajarish  uchun  ifodalardagi  birhad  va  ko'phadlarning  shaklini  o ‘ zgar- 
(ii ish kabi ishlami bajarish ko‘zda tutiladi.  Maktab matematika kursidagi 
.ivniy shakl  almashtirishlarni  shartli  ravishda  quyidagicha  ketma-ketlik 
asosida  ifodalash  mumkin:
125

---

1. Butun ifodalarni ayniy almashtirish.
2.  Kasr ifodalarni  ayniy almashtirish.
3.  Irratsional ifodalarni ayniy almashtirish.
4. Trigonometrik ifodalarni ayniy almashtirish.
Har  qaysi  almashtirishni  ko'rib  chiqamiz.
1. Butun ifodalarni ayniy almashtirish. Ayniyat va ayniy almashtirish 
tushunchalari  V I  sinfdan  boshlab  kiritiladi,  lekin  I  sinf  matematika 
darslaridayoq ayniy almashtirishlar bajariladi. Masalan, 3+2=5 ifodaning 
yig‘indisini hisoblash 3 + ( l + l) = ( 3 + l) + l = 4 + l= 5  kabi ayniy almashtirish 
yordamida bajariladi.  IV —V  sinflarda  sonlar ustida  murakkabroq ayniy 
almashtirishlar  bajariladi.  Masalan;  52=5-10+2=5-5-2+2=25-2+2; 
3 5 = 3*1 0 +5 = 3-5 ,2 +5=6*5 +  5.  Bu  m isollarda  bajarilgan  ishlar 
o'quvchilariga ayniy almashtirish deb o'rgatilmasada lekin aslida sonlar 
ustida  ayniy  almashtirish  bajariladi.
M a’lumki,  ratsional  algebraik  ifodalar arifmetik to‘rt amal hamda 
darajaga koiarish amallari asosida tuziladi. Agar algebraik ifoda qo‘shish, 
ayirish,  ko'paytirish  va  darajaga  koiarish  amallari  asosida  tuzilgan 
boisa,  u  holda  bunday  ifodalar  butun  ifodalar  deyiladi.
Masalan,
I)  5y2  (  2x2  -   3y); 
2)  (x  +   y)  (y  -   x)\
3)  (2x  +  5)  (7  -   3x); 
4)  (C+5XC2  -   3c +   5).
Butun  ifodalarni  ayniy  almashtirishdagi  asosiy  vazifa  berilgan 
matematik  ifodani  ko'phadlarni  imkoniyati  boricha  algebraik  amallar 
yordamida  standart  shaklidagi  birhadlar  ko'rinishiga  keltirib  sodda- 
lashtirishdan  iboratdir.  Shu  yerda 
0
‘ qituvchi  o'quvchilarga  o ‘xshash 
hadlar,  birhad  va  ko'phad  tuslumchalarini  tushuntirish  hamda  ularga 
misollar  ko‘ rsatishi  lozim.
Har qanday algebraik  ifoda  birhad va  ko‘ phadlardan iborat bo‘ladi.
Ta’rif. Ко ‘paytirish va darajaga ко ‘tarish amallari yordamida  tuzilgan 
ifodalarni  birhad  deyiladi.
4
Masalan:  Sybc, 
~xy a 2;...
Birhadlami  ham  standart  shakllarga  keltirish  misollar  yordamida 
tushuntiriladi.  Masalan; 6x-4y  birhad sodda holga keltirilsin. Bu misolga 
ko'paytirish,  o ‘ rin  almashtirish  va  guruhlash  qonunlarini  qo'llasak, 
6x*4y=24xy  boiadi.
T a’ rif.  Bir  necha  birhadlarning  yig‘indisidan  iborat  bo'lgan  ifoda 
ko'phad  deyiladi.
126

---

Masalan:  1)  5x2y + ^.y2x; 
2)  \3a2b + j  с2 a + 1 a2b.
Yuqorida  ta’ rif  va  misollardan  ko‘ rinadiki,  birhad  ko‘phadning 
xususiy holi ekan.
Ta’ rif.  Ko'phadning  o'zaro  koeffitsiyentlari  bilangina farq  qilad igan 
yoki  butun  koeffitsiyentli  bo'lgan  hadlari  o'xshash  hadlar  deyiladi. 
O'xshash  hadlami  arifmetik  amallar  yordamida  birhad  ko'rinishida 
ifodalashni  ixchamlash  deyiladi.
Masalan:
1)  20y2x + 4 #-1 2> '2X “ 3# = (20y7x -\ 2 y 2 x ) + (4 z t-3 z t) =
= 8 y2x + zt;
2)  2,4a2b2  + 3,2cd -\ ,4 a 2b2 -2 ,5 cd = (2,4a2b2  -  \,4a2b2) + 
+(3,2cd -  2,5cd) = a2b2 + 0,7cd.
Butun  ifodalarni  ayniy  almashtirishda  belgilangan  ko‘ phadlar 
birhadlarga,  birhadlar  esa  standart  shaklga  keltiriladi.  Bu  ishlarni 
bajarishda o'qituvchi o‘ quvchilarni bir xil hadlardan iborat ko‘phadlarni 
standart shaklga keltirishdan  boshlashi kerak.
3)  Ifodalarni  soddalashtiring:
1)  x  +  x  +  x  =  *   •  3  =   3x;
2)  x + x + x + x  +x~ (x + x )+ (x +x + x )= 2x+ 3x= 5x;
3)  (l,2 x2)- (- 5 x )+ (- 7 x )- (- 2 x )(3 x 2)= - 6 x 3-7 x+ 6 x3= -7 x ;
4) (Sx2^— 14x3—8хУ)+(Зх3—7x2y+9xy1) —5x2y - M x 3—8хУ+Зх3— 
~7х^+9.гк2“ -2 х 2у— 1 lx 3+ x y 2.
Shundan keyin qisqa ko‘paytirish formulalari yordamida soddalash- 
tiriladigan misollarni ko‘ rsatish lozim.
1
)  (2х+3>02+(4>>-5х)2= 4 х2+12х>М-9)>2+ 1 б У - 4 ()х г |-25х2=29х2-
28ХУ+25У2
.
— (xy+4_y)3—(2xy- 3y) 3= (x y )3+3 (xy)2 ■ 4 y+ 3xy(4y)2+ (4y) 3—
-   [(2хуу-3(2ху)13у+3-2ху(3у)7-0 у у \ =
= х 3У + 12xlyi+4&xyi+()4yi—8x3y3+  36x2y — 54ху3+27}>3=  
= —7x3y3+48x2y3-6xy3-6x^+9 ly 3.
127

---

4)  Ifoda  soddalashtirilsin:  ( a -b +c+ d )2+ (a + b -c+ d ) 2.
1-usul:  (a-b+c+d)2+(a+b-c+d)'2= [(a + d )-(b -c)]2+ [(a + d )+  
+ (b -c)]2=(a+d)2-2(a+d)(b-c)+(b-c)2+(a+d)2+2(a+d)(b-c)+
+(b-c)2=2[(a+d)2  +(b~c)2].
2-usul:  (a-b+c+d)2=A  deb  (a+b-c+d)2=B  deb  belgilasak,  A2+£P  hosil 
bo'ladi.  A2+B*ni  ayniy  almashtirish  orqali  quyidagicha  yozish  mumkin: 
A2+B1=(A +B )2-2AB>  bularga  asosan
(a-b+c+d)2+(a+b-c+d )2=(a-b+c+d+a+b-c+d)2-2(a-
-b+c+d)'(a+b-c+d)—(2a+2d)2-2(a-b+c+d)  ( a+b-c+d)=
=4(a+d)2-2[(a+d)2-(b -c)2]=2[(a+d)2+ (b -c)2}.
2-§.  Kasr  ifodalarni  ayniy  almashtirish
V II 
sinf  algebra  kursidan  boshlab  kasr  ratsional  ifodalarni  ayniy 
almashtirish bajariladi.
Ta’ rif.  Agar  algebraik  ifoda  qo \shish,  ayrish,  ко \paytirish  va  bo ‘lish 
amal lari yordamida sonlar va  о ‘zgaruvchilardan  tuzilgan  bo ‘Isa,  и  holda 
bunday  ifodani  kasr  ratsional  ifoda  deyiladi.
w  
, 
У2  ~ 1 
x2 - 3 x - 4  
x
 + ^  .
Masalan:  ------ <  ----------; 
"
у 
jc + 4 
х \х ~ г )
Kasr  ratsional  ifodalarni  ayniy  almashtirish  jarayonida  ana  shu 
ifoda qatnashayotgan noma’lum sonlarning qabul qiladigan qiymatlarini 
aniqlash lozim.
Ta’rif. 
Kasr  ratsional  ifodadagi  о ‘zgaruvchilarning  та ’noga  ega 
bo*ladigan  qiymatlari  o ‘zgaruvchilarning  qabul  qiladigan  qiymatlari 
deyiladi.
2 x - y  
11.У-2Х
Masalan, 
—   kasr  ratsional  ifodadagi x va у  laming
qabul  qiladigan  qiymatlari  x=0,  va  y=0  dan  boshqa  barcha  son 
qiymatlardan iboratdir. Agar x va у о‘zgaruvchilardan biri nol qiymatini 
qabul  qilsa,  kasrning  maxraji  nol  bo‘ lib,  o'zining ma’nosini yo‘ qotadi, 
chunki  har  qanday  sonni  nolga  bo‘lish  mumkin  emas.
Kasr ratsional ifodalarni ayniy almashtirishdagi asosiy vazifa berilgan 
ifodaning surat va maxrajlarida turgan ko'phadlami ayniy almashtirishlar 
bilan  bir  hadlar  ko'rinishiga  keltirishdan  iboratdir.
128

---

Kasr  ratsional  ifodalarni  ayniy  almashtirishdan  oldin 
0
‘ qituvchi 
kasr  va  ular  ustida  bajariladigan  to ‘ rt  amalga  doir  sonli  misollar dan 
namunalar  k oisatib,  so‘ ngra  esa  harfiy  ifodalar  qatnashgan  kasrlar 
ustida  bajariladigan  ayniy  almashtirishlarni  k o ‘ rsatishi  maqsadga 
muvofiqdir.
, 
4
  2 
1 
2  5 
1  3 
10 + 3 
13
1
.  a)  -  + -  = ---- ■
 + ---- = --------= — ;
’
  3 
5 
3-5 
5-3 
15 
15