Ozbekiston respublikasi oliy va

112

---

M a sa la n ,  3  =   3 ,0 0 0 0 0 ..
_ 3 ,00000000...  J4___________
_28___  
10,214285714...
20
14
_ 60
56
_4°
28
_
12
°
112 
_80 
70 
_  
100 
9 8 ,
_  
20 
14 
60
Shunday qilib,  3/14 =  0,214285714  ...
Bo'lish  davomida  chiqqan  barcha  qoldiqlarni  ketma-ket  yozib 
chiqamiz:  2,  6,  4,  12,  8,  10,  2,  6  ...  Bu  qoldiqlarning  barchasi 
bo‘luvchidan, ya’ni  14 sonidan  kichik.  Bu bo‘ lishning qaysidir qismida 
ilgari uchragan qoldiq yana albatta uchrashi  kerakligini bildiradi.  Bizda 
yettinchi  qadamda  2  qoldiq  hosil  bo'lib,  u  birinchi  qadamda  paydo 
bo£lgan  edi.  Bundan  tashqari,  ilgari  uchragan  qoldiq  paydo  bo'lgan 
zaxotiyoq  undan  keyingi  qoldiqlar  ular  awal  qanday  tartibda  bo'lsa, 
shunday  tartibda takrorlanadi.  Bizning misolimizda  2  qoldiqdan  so'ng
6  qoldiq,  undan  keyin  4,  undan  keyin  12  keladi  va  hokazo,  ya’ ni  biz 
qoldiqlarning  quyidagi  ketma-ketligini  hosil  qilamiz:  2,  6,  4,  12,  8, 
10,  2,  6,  4,  12,  8,  10,  ...  .  Davriy takrorlanuvchi  qoldiqlar guruhi  mos 
ravishda  sonning  o'n li  yozuvidagi  davriy  takrorlanuvchi  raqamlar 
guruhiga  olib  keladi,  ya’ ni  3/14—0t2 142857142857142857...  .  Sonning 
o'nli yozuvida verguldan keyingi ketma-kct takrorlanib keluvchi bunday 
raqamlar  guruhi  davr  deb  ataladi,  o'z  yozuvida  ana  shunday  davrga 
ega bo'lgan chekli o'nli kasr davriy kasr deyiladi.  Qisqalik uchun davmi 
bir  marta  qavs  ichiga  olib  yozish  qabul  qilingan:
0,214285714285714285714...=0,2(142857). Agar davr verguldan keyin 
boshlansa,  bunday  kasr  s of davriy  kasr  deyiladi,  agar  vergul  va  davr
8 — S.  Alixonov
113

---

orasida  boshqa  o‘ nli  xonalar  boisa,  kasr  aralash  davriy  kasr  deyiladi. 
Masalan,  2,(23)=2,2323232323...  —  sof  davriy  kasr,  0,2(142857)  — 
aralash davriy kasr,  2,73=2,73000000... =  2,73(0) aralash davriy kasrdir.
15-§.  Cheksiz  davriy  o‘ nli  kasrni  oddiy  kasrga  aylantirish
Cheksiz  o ‘ nli  kasrni  10,  100,  1000  va  hokazo  ko'paytirish  uchun 
chekli  o'nli  kasr  holatidagi  kabi  vergulni  bir,  ikki,  uch  va  hokazo 
xona o'ngga surish kifoya. Masalan, 0,1 (23)'100= 0,123232323... •  100=12, 
32323232...= 12,(32).  Davriy  o'nli  kasrni  oddiy  kasrga  aylantirishni 
quyidagi  misollar orqali  ko'rib  chiqaylik.
1. 
Sonni  oddiy  kasrga aylantiring:  a)  0,(13),;  b)  2,(273);  d)  0,2(54); 
e)  3,254(9).
Y e c h i s h :   a)  x= 0 ,13=0,131313...  boisin.  Sof  davriy  kasr  x  ni 
shunday songa ko'paytiramizki,  natijada vergul kasr davri  qadar o'ngga 
suriiadi.  Davrda  ikkita  raqam  boigani  uchun  vergulni  o'ng  tomonga 
ikki  xona  surish  kerak,  buning  uchun  esa  x sonni  100  ga  ko'paytirish 
yetarli,  u  holda  1 0 0 *= 0 ,131313...1,00=13,13131313...=  13,(13);
1 0 0x-x=I3 ,(1 3 )-0 ,(I3 ).  Demak,  99x= 13, bundan
b)  x=2,(273)  bo'lsin.  Bu  sof davriy  kasrning  davrida  uchta  raqam 
bor. xn i  1000 ga kokpaytirib,  1000x=2273,(273)  ni hosil qilamiz. Xuddi 
yuqoridagiga  o'xshash  Lopumiz:
2271
1000*  -*= 2 2 7 3 ,(2 7 3 )—2,(273),  999* =   2271,  bundan  *  = 
=
УУУ
=  757  = 
91 
333 
333
d) x=0,2(54) boisin.  Bu aralash davriy kasrda vergulni o'ng tomonga 
shunday suramizki, natijada sof davriy kasr hosil boisin.  Buning uchun 
x ni  10  ga  ko'paytirib  qo'yish  kifoya.  10x=2,(54)  ni  hosil  qilamiz.
y=2,(54) bo'lsin va yuqoridagilarga  o'xshash bu sof davriy kasrni oddiy 
kasrga aylantiramiz. >^2,(54) bundan 100^254(54),  lOOy—j=254(54)-2,54,
qq 
w  
252 
28  J 
i 
28 
v 
^ 
28 
11
99^=252, 
demak,  10jt= — ’  bundan  ^ =
e)  x = 3 ,254(9)  deb  1000x=3254(9)ni  hosil  qilamiz.  >>=1000x 
belgilashni  kiritamiz,  u  holda y=3254,(9),  bundan  10у->я=32549(9)-
114

---

3255 
51
3254(9);  у=3255,  1000*=3255,  х = —
 = 3 —
.
Endi  quyidagiga  e ’tibor  beramiz.  —
= 3,255 = 3,255(0)  chckli
o'nli  kasr yoki  davrida  nol  bo‘lgan  cheksiz kasrni  hosil  qilamiz.
Demak,  3,254(9)=3,255(0).  Bu hoi davrida to‘ qqiz bo‘lgan istalgan 
kasr  ko‘ rinishida  yozish  mumkin.  Buning  uchun  davr  oldidagi  o ‘ nli 
raqamni bir birlikka orttirish kifoya. Masalan, 0,45(9)=0,46(0);  14,(9)=
-  15,(0).
16-§.  Irratsional  son  tushunchasini  kiritish 
metodikasi
0 ‘quvchilar V I I   sinfda  birinchi  marta  irratsional  son  tushunchasi 
bilan  tanishadilar.  0 ‘ qituvchi  bu  mavzuni  tushuntirishdan  oldin 
o'quvchilarga  kvadrat  ildiz va  arifmetik  ildiz  tushunchalarini  tushun- 
tirishi, so‘ngra irratsional son tushunchasini quyidagi masalani yechish 
orqali kiritishi lozim.
Masala.  Katetlari  bir  birlikka  teng  bo'lgan  to'g'ri  burchakli  uchbur­
chakning  gipotenuzasi  topilsin  (20-chizma).
Be r i l g a n:   ДABC,  Z C   =  90%  CB=AC= 1.
Top ish   kerak:   AB  —  ?
Y e c h i s h .   Pifagor  teoremasiga  ko'ra:  AB2 — 
A 
=A C2+ СВ2,  AB2=  \ 2+ 17=2.
Masalaning  yechimini  quyidagicha  o'qish 
mumkin. Shunday AB soni topilsinki, uni kvadratga 
ko'tarilganda  2  soni  hosil  bo'lsin.  Bunday  AB son 
ratsional  sonlar  to ‘ plamida  mavjud  emas.  A 
nuqtadan  AB  ga  perpendikular  A A =  1  katetni 
o ‘ tkazib,  uning  A x  nuqtasini  В  nuqta  bilan 
birlashtirib,  A yB  ning  qiymatini  hisoblaymiz:
А1В1=АВг+\2-  A XW = 2+1=3;  А{В*=Ъ  soni  ham
ratsional  sonlar  maydonida  mavjud  emas.  Yuqoridagilardan  ko'rinadiki, 
ratsional sonlar to'plamida mavjud bo'lmagan  yana qandaydir sonlar to'plami 
ham  mavjud  ekan,  ya’ni  AB2=2‘,  А{Вг=Ъ,...
Yuqoridagi  mulohazalarga  ko‘ra  AB1- 2,  /4^=3,...  ko'rinishdagi  sonlarni
ratsional  bo'lmagan  yoki  irratsional  sonlar  deb  ataldi  va  ularni  A B =4 2  , 
ЛЯ=\/3,  ...  kabi  belgilash  qabul  qilingan.
115

---

р
Ta’rif.  ~   kasr ko'rinishida tasvirlab bo‘lmaydigan sonlar irratsional
sonlar  deyiladi.  (jp,  q)  e  N.
Bu  yerda  o'quvchilarga  yana  shu  narsani  tushuntirish  kerakki,  har 
qanday  ratsional  sonni  cheksiz  davriy  o ‘nIi  kasr  £o‘rimshda  ifodalash 
mumkin, irratsional sonni cheksiz davriy o ‘ nli kasr ko‘ rinishida ifodalab 
boimaydi,  bunga  quyidagi  misollarni  ko‘rsatish  mumkin.
1.  \/5  = 2,360679... bundagi  41 irratsional  son  cheksiz  davriy  b o i- 
magan  o ‘ nli  kasr  ko‘ rinishida  ifodalanayapti.
2.  yj2  =  1,41— bundagi  V2  irratsional son ta’rifini yana quyidagicha 
keltirish  mumkin.
Ta’ rif.  Cheksiz  davriy  o'nli  kasr ko'rinishida  ifodalab  bo'lmaydigan 
sonlarni  irratsional  sonlar  deb  ataladi.
Т е  о re m a .  Kvadrati  2 ga teng bo‘ lgan ratsional son mavjud emas.
Bu  teoremaning  isbotini  teskarisidan  faraz  qilish  y o ii  bilan  isbot- 
laymiz,  chunki  \2<2<22  butun  sonlar  to‘p!amida  u  kvadrati  2  ga  teng 
bo‘ lgan  son  mavjud  emas.
p
Isboti.  Faraz  qilaylik,  ~   ko‘ rinishidagi  qisqarmas  kasr mavjud boisin, 
r va  q  —  natural  sonlar.  Faraz  qilaylik,  kvadrati  2  ga  teng  boigan  ratsional
son  mavjud  boisin,  ya’ ni:
V '2
2,  bunda 
pl~ 2 q 2, 
bunda 
r 
ning  ham
ikkiga  boiinishi  kelib  chiqadi.  Agar  r  ~ 
In  
boisa,  4
n 
=  2q2  2n  =  q2 
boiadi,  bundan  q  ning  ham  jul't  son  ekanligi  kelib  chiqadi.  Farazimizga
P 
P
ko‘ ra,  ~   kasrni  qisqarmas  kasr  degan  edik,  isbotning  natijasida  esa  ~
kasr  qisqaruvchi  kasr  b o iib   chiqmoqda,  bunday  qarama-qarshilik 
farazimizning  noto‘g‘ ri  ekanligini  tasdiqlab,  teorema  to‘g‘ ri  ekanligini 
ko'rsatadi.
Yuqoridagi  ta’rif va  isbot  qilingan  teoremalardan  ko‘rinadiki,  kvadrati
2,  3,  5,  7,  10,  11  iarga  teng  boiadigan  ratsional  son  mavjud  emas  ekan, 
biz  ta’rifga  ko‘ra  bularni  irratsional  sonlar  deb  atadik.  Bunday  irratsional
sonlarni  f2 ,  л/3, VI,  ~   kabi  belgilash  qabul  qilingan.  Ularga  qarama-qarshi 
boigan 
sonlar 
ham  irratsional  sonlar  boiib,  ular  -y/2,  ->/3, -V5,  ~
116

---