O’zbekiston respublikasi oliy va o’zbekiston respublikasi

син, Сўралган айлана 175- чиз-
мадаги айлана деб фараз қи-
лайлик. ва у берилган ва
нуқталардан ўтиб, берилган
тўғри чизиққа уринсин. Берилган
нуқталардан биттасини, масалан,
нуқтани инверсия маркази деб
қабул қилиб, бу марказдан ихтиёрий радиус билан инверсия дйланаси ни чизиб қўямиз. айланага нисбатан фигураларни инверсион акслантириб, уларга мос бўлган тўғри чизйқ, нуқта ва айланани ҳосид қиламиз. Фаразимизга қўра, айлана нуқтадан ўтиб тўғри чизиққа урингани учун, тўғри чизиқ xам нуқтадан ўтиб айланага уринади. Демак, тўғри чизиқни топиш мумкин экан бунинг учун нуқтадан айланага ва уринмаларни ўтказамиз. Топилган уринмаларни инверсион акслантириб, суралган ва айланаларни ҳосил қиламиз (анализ чизмасида бу айланалардан биттаси кўрсатилган).
Топшириқлар

1. 
   Инверсия маркази сифатида нуқтани олиб, масалани ечинг.
   
2. 
   Масаланинг шартларини мукаммал текширинг, бунда берилган нуқ-
   

талардан бирининг тўғри чизиқда ётган ҳолига ва ҳамда
ҳолларга айрим тўхтанг.
104- масала.Берилган айланага уриниб, берилган тўғри чизиқца берилган нуцтада уринувчи айлана чизинг.
Анализ. Сўралган айлана 176-чизмада берилган айланага ва тўғри чизиққа унинг нуқтасида уринувчи айланадан иборат деб фараз қилайлик.
Берилган нуқтани инверсия маркази деб ва маркази да бўлган айланани инверсия айланаси деб қабул қилиб, унга нисбатан тўғри чизиқни, ва айланаларни инверсион акслантирсак, тартиб билан уларга инверсион мос тўғри чизиқнинг ўзи, айлана ва тўғри чизиқ ҳосил қилади.
Бу инверсион аксланган фигуралар орасидаги муносабатни ўрганиш шуни кўрсатади: ясалишига кўра, айлана билан тўғри чизиқ инверсия марказида ўзаро урингани учун айланага инверсион мос тўғри чизиқ тўғри чизиққа параллел бўлади. ва айланалар ўзаро урингани учун уларга инверсион мос тўғри чизиқ билан айлана ҳам ўзаро уринади. тўғри чизиқнинг айланага уриниб тўғри чизиққа параллел бўлишидан уни аниқлаш мумкин. Уни „берилган айланага уринувчи ва берилган тўғри чизиққа параллел бўлган тўғри чизиқ ўтказинг“ деган ёрдамчи масалани ечиб топамиз.
Берилган масалага нисбатан анча осон бўлган бу масалани ечиб топилган уринмани инверсион акслантириб изланувчи айланани ҳосил қиламиз.
Я с а ш. 1. Берилган нуқтани марказ қилиб ихтиёрий радиус билан чизилган айланани инверсия айланаси деб қабул қилиб, унга нисбатан тўғри чизиқ ва айланани акслантирамиз, бундан тўғри чизиқнинг ўзи ва айлана ҳосил бў- лади.

2. 
   тўғри чизиққа параллел қилиб, айланага ва уринмалар ўтказамиз.
   
3. 
   Чизилган уринмаларни инверсион акслантирсак, изланувчи ва айланалар ҳосил бўлади.
   

105. 
     масала. Берилган айланага маълум нуқтада ва берилган тўғри чизиққа уринувчи айлана чизинг.
     

Анализ. Сўралган айлана 177- чизмадаги айлана деб фараз қилайлик. У берилган айланага йуқтада ва берилган тўғри чизиққа уринсин. марказдан ихтиёрий радиус билан чизилган айланани инверсия айланаси деб қабул қилиб, унга нисбатан айлана, тўғри. чизиқ ва сўралган айланани акслантирамиз; бу акслантиришда уларга мос бўлган ва тўғри чизиқ, айлана ва А_х тўғри чизиқ ҳосил бўлади.
Эндибу образлар орасидаги муносабатларни ўрганайлик: ва айланалар марказда ўзаро урингани учун уларга инверсион мос бўлган ва тўғри чизиқлар ўзаро параллел бўлади.
айлана тўғри чизиққа урингани ўчун уларга инверсион мос бўлган ва образлар ҳам ўзаро уринади. Демак, сўралган айланага инверсион мос бўлган тўғри чизиқ қуйидаги хоссага эгадир: тўғри чизиқ тўғри чизиққа параллел- бўлиб, айланага уринади. Бу икки хосса , тўғри чизиқни аниқлай олади ва бундан сўралган айланага ўтиш ҳам мумкин. Шунинг учун тўғри чизиқ ёрдамчи фигура

1. 
   айланага нисбатан ва айланалар ва тўғри чизиқни инверсион акслантириб, уларга мос бўлган тўғри чизиқ, ва айланаларни ҳосил қиламиз. Фаразимиз бўйича айлана айлана ва тўғри чизиққа урингани учун тўғри чизиқ ва айланаларга умумий уринма бўлади. Демак, сўралган фигурага инверсион мос фигура тўғри чизиқни, берилган икки айланага умумий уринма ўтказинг, деган ёрдамчи масалани ечиш орқали топиш мумкин.
   
2. 
   Икки ва айланага умумий уринмалар ўтқазамиз; бунда умуман, иккита ва ташқи уринмд ва иккита ички уринма ҳосил бўлади.
   
3. 
   Топилган умумий уринмаларни инверсион акслантирсак, сўралган айланалар ҳосил бўлади.
   

Топшириқлар

1. 
   Берилган фигураларнинг вазиятларини турлича олиб масалани ечинг.
   
2. 
   ва айланаларга ўтказилган умумий уринмалардан баъзилари берилган нуқтадан ўтган ҳолда масала нечта ечимга эга бўлади?
   

108-масала.Берилган икки айланага уриниб, берилган нуқтадан ўтувчи айлана чизинг.
Ечиш. . •

1. 
   Сўралганайлана 180- чизмадаги айланабўлиб, уберилган ва айланаларгауриниб, берилган нуқтаданўтсин. Берилган марказдан ихтиёрий радиус билан чизилган и айланани инверсия айланаси деб қабул қиламиз.
   
2. 
   айланаларни айланага нисбатан инверсион акслантириб, уларга мос бўлган айланалар ва тўғри чизиқни ҳосил қиламиз; айлана ва айланаларга урингани учун тўғри чизиқ ҳам ва айланаларга уринади. Шунинг учун тўғри чизиқни кейинги икки айланага умумий уринма сифатида ясаш мумкин.
   
3. 
   ва айланаларга умумий уринмалар ўтказамиз; бизнинг чизмамизда улар ва тўғри чизиқлардан иборат.
   

4. 
   Чизилган умумий уринмаларни инверсион акслантириб, сўралган ва айланаларга эга бўламиз (чизмада умумий уринмалардан га тегишли айланагина кўрсатилган).
   

Топшириқлар

1. 
   Масаланинг талабига жавоб берувчи бошқа айланаларни ҳам чизинг (умуман, тўртта айлана чизилиши керак).
   
2. 
   Берилган нуқта берилган айланаларнинг биттасида ётган ҳол учун, икки айлананинг кесишган нуқтасида бўлган ҳол учун масалани ечинг.
   
3. 
   Берилганларнинг вазиятлари қандай бўлганда масала ечилмайди?
   
4. 
   Берилган икки айланага ва берилган тўғри чизиққа уринувчи ай- лана чизинг.
   

Энди умумий кўринишдаги Аполлоний масаласининг ечилиши билан танишамиз.
109- масала.(Аполлоний масаласи.).Берилган учта айланага уринувчи айлана чизинг.
айлана, айлана ва айлана берилган.
Анализ. Сўралган айлана 181-I, II, III чизмалардаги айлана деб ва берилган айланаларнинг радиуслари






қуйидаги тенгсизликларни қаноатлантиради деб фараз қилайлик:

Уриниш бир хил бўлганда³
берилган учала айлананинг радиусларини энг кичик радиус қадар қисқартирамиз; бунинг натижасида айлана ўзининг маркази нуқтага алмашади; ва айланалар эса мос равишда қуйидаги айлана.ларга аксланади (181-I,II чизма):
ва

Уриниш 181- III чизмадаги каби ҳар хил бўлганда эса айланаўзининг марказига аксланиб, ва айланалар қуйидаги айланаларга аксланади:
ва

С