O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligiajiniyoz nomidagi nukus davlat pedagogika instituti ellikqal’a pedagogika fakulteti

3-§. Parametrli logarifmik va ko`rsatkichli tenglamalarni

yechish

Parametrli logarifmik va ko'rsatkichli tenglamalani yechish parametrsiz shunday tenglamalardan ana shu parametni qanoatlantiruvchi tenglama yechimini uning yo’l qo'yiladigan qiymatlari ichidan izlash bilan farq qiladi.

1-m i s о 1.

Log_a(a+ ) = tenglama yechilsin.

Yechish.

Bu tenglamani yechish uchun avvalo uning parametrini qanoatlantiruvchi yo‘l qo'yiladigan qiymatlar sohasini topamiz:

x>0, x≠1, a0, a≠1. Log_a(a+ )=log_ax²

Potensirlash qoidasiga ko'ra a+=x² =x²-a, bu yerda x²>a tenglikning har ikki tomonini kvadratga ko'tarsak,

a+x=x⁴-2ax²+a²,a²-(2x²+ 1)a+(x⁴- x)=0 bu tenglamani yechsak,

a_1,2= hosil bo’ladi: a₁=x²+x+l vaa²=x²-x tenglamani yechamiz:

x²-x-a=0 tenglamaning yechimi yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotmaydi, x²-a> 0, x>0 bo'Igani uchun a = x² -x tenglamani yechamiz: x²-x-a=0, bundan

x_1,2===

Bulardan: x₁= x₂=

Bu yechimlardan x₁= tenglamaning yo'l qo'yiladigan qiymatlar sohasida yotadi, shuning uchun u yechim bo'ladi. Bu berilgan tenglamaning logarifm xossalari va potensirlashga ko'ra a = = x² ko'rinishda yozib olamiz. Bu tenglamaningа+х+=x²=xagar=bdesak, b² + b = x²+ xhosil bo’ladi. Bundan

(a² –b²)+(x -b) =0,

(x - b)(x+ b)+ (x- b)= 0,

(x - b)(x + b +1) = 0;

x+b+1≠0 bo’lgani uchun x-b=0 bo’ladi, b ning o‘rniga ni qo‘ysak, x-=0 yoki x²-x -a = 0 bo’ladi. Biz bu tenglamani yechishni yuqorida ko‘rib o‘tdik.

2-misol.

tenglama yechilsin.

Yechish.

Bu tenglamadagi o`zgaruvchining yo’l qo`yiladigan

qiymati x≠0

a) ab> 0 bo’lsin, u holda tenglamaning ikkala tomonidagi ifodalarni ga bo’lamiz.

+=m (m) Agar =t desak, t + = m, bundan t² -t m + 1=0 bo’ladi.

Bu tenglamani yechamiz:

t_1,2=, , (1)

Bu yerda m≥2bo’ladi.

a) m>2 boisin, bu holda ( 1 ) ning har ikki tomonini 10 asosga ko'ra logarifmlaymiz: lg = lg(m± - lg2, x= a≠b

b) m=2 bo’lsin, u holda (1) quyidagi ko‘rinishni oladi:bundan: = 1, = ; a=b≠0 bo’lishi kerak.

2) ab =0 bo’lsin.

a) a = b - 0 bo’lsa, berilgan tenglamaning yechimi bo’lgan barcha sonlar.

b) a = 0, b≠0 yoki a≠0, b=0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas.

J: 1) Agar m> 2, a ≠0, b ≠0 , a ≠b bo’lsa,

x=

2) Agar a) m= 2, a = b≠0 boisa, x - ixtiyoriy son.

b) a=b=0, x≠0 - ixtiyoriy son

3-misol.

lgx=1+ a≠0 tenglama yechilsin.

Yechish.

lg²x=lgx+a;lg² x-lgx-a=0

lgx=y 2y²-ay-a²=0,

y_1,2==

y₁=a y₂=-

lgx=a, x=10; lgx= -