O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

12-misol. Agarda c soni o‘zgarmas son bo‘lsa, va skalyar maydon bo‘lsa, quyidagi fo‘rmulani isbotlang.



Isbot: Biz yuqorida bizga berilgan ikkita funksiyaning gradientlari haqidagi xossani ko‘rgan va isbotlagan edik. Berilgan misol esa o‘sha xossaning xususiy holati deyish mumkin, yani bitta funksiya o‘zgarmas sondan iborat bo‘lgan holat deb qarasak bo‘ladi. Bu holatda esa sonning hosilasi no‘lga tengligidan foydalanib bu o‘zgarmas sonning gradienti no‘lga tengligini aniqlaymiz, bundan esa masalada bizga berilgan tenglikning isboti hosil bo‘ladi. Ya’ni,

bu formuladagi ning qiymatini o‘zgarmas songa yani biror bir c=const ga teng deb qarasak,

bo‘ladi. Bundan esa ning gradienti no‘lga tengligini aniqlaymiz yani bundan esa o‘sha birinchi xossaning o‘ng tomonidagi ifoda quyidagiga tengligi hosil bo‘ladi:

Ya’ni birinchi xossaning fo‘rmulasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

bunga sabab esa deb faraz qilganimizdir. Demak,

.