O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti

17-misol. paraboloidning tashqi tomoniga yo‘nalgan birlik normal vektorni toping.

Yechish: bo‘lgani uchun, yo‘naltiruvchi kosinuslari esa

paraboloidga o‘tkazilgan tashqi normal o‘qi bilan o‘tmas burchak tashkil qilgani uchun “-” ishorasini olamiz. Shunday qilib, paraboloidga o‘tkazilgan birlik normal vektor

ko‘rinishida bo‘ladi.

Xulosa

Biz avvalo maydon nazariyasini tushunishimiz uchun uni ikkita qismga bo‘ldik, ya’ni skalyar va vektor maydonlar. Keyin esa bu maydonlarning asosiy tushunchalari bilan tanishdik. Bunda berilgan maydon skalyar bo‘lishi uchun uning qanday shartlarni bajarishi kerakligi yoki vektor maydon bo‘lishi uchun uning qanday shartlarni bajarishi bilan tanishib o‘tdik. Bu maydonlar ustida masalalar yechishda biz skalyar maydon sath chiziqlari va vektor maydon vektor chiziqlari va ularni qanday topish mumkinligi bilan tanishib o‘tdik. Ko‘pgina masalalarni shu maydonlarga tatbiq qilib yechdik. Shunday qilib, maydonlar nazariyasi fizik, mexanik va boshqa sohalarda uchraydigan ko‘pgina murakkab masalalarni yechishda bizga yaqindan ko‘mak berar ekan.

Xullas, biz maydon tushunchasi va gradient to‘grisida anchagina narsalarni o‘rgandik. Masalan, skalyar maydon tushunchasini keltirish davomida biz nostatsionar skalyar maydonlar, statsionar skalyar maydonlar, yassi maydon, o‘qli maydon, markaziy maydon kabi tushunchalar bilan to‘qnash keldik.

Skalyar maydonni aniqlovchi funksiya uning fizik ma’nosidan qat’iy nazar potensial deb yuritiladi. Shunday ekan bu tenglama aniqlaydigan sirtlar ekvipotensial sirtlar deyiladi. Biz ekvipotensial sirtlar qanday shartlarni bajarishi kerakligini ko‘rib o‘tdik. Bunga ko‘ra bizga berilgan skalyar maydon aniqlaydigan sirtda maydonni aniqlovchi fizik kattaliklar o‘zgarmas bo‘lishi ko‘zda tutildi.

Skalyar maydon gradienti tushunchasini kiritar ekanmiz, biz bunda berilgan skalyar maydon gradienti ta’rifini keltirdik. Unga ko‘ra qisqacha qilib aytganda skalyar maydon gradienti bu vektor kattalikdir. Biz skalyar maydon gradientini hosil qilishda berilgan skalyar maydon tenglamasining barcha o‘zgaruvchilari bo‘yicha hosilalarini qaradik. Keyin ulardan vektor tuzdik. Bu ifodani biz skalyar maydon gradient deb atadik.

Biz skalyar maydon gradienti to‘grisida misollar yechishda masalan berilgan skalyar maydonning ko‘rsatilgan nuqtadagi gradientini topishda skalyar maydon gradienti ta’rifidan bevosita foydalandik. Yoki bo‘lmasa berilgan skalayar maydon tenglamasining ko‘rsatilgan ikkita nuqtasining gradientlari orasidagi burchakni topishda ham bizga ta’rif bevosita yordamga keldi. Biz yana o‘sha gradient tenglamasidan foydalanib berilgan maydonning ko‘rsatilgan nuqtalaridan o‘tuvchi gradient vektorlarini topdik. Biz topgan gradient tenglamalari vektor kattalik ekanini bilamiz. Bu esa bizga ular orasidagi burchakni hisoblashda qo‘l keladi, chunki biz gradient tenglamalari orasidagi burchakni topishda ikki vektor orasidagi burchakni topish qoidasidan osongina bu burchakni topa olamiz.

Skalyar maydon gradientining xossalarini olaylik. Albatta biz ko‘rgan gradient xossalari bizga tanish bo‘lgan o‘sha hosilaga ega bo‘lgan ikki funksiyaning yig‘indisi (ayirmasi), ko‘paytmasi va nisbatining hosilalarini topishga o‘xshab ketishi ma’lum bo‘ldi. Albatta biz bu xossalarni isbotlash jarayonida ham hosilaga ega bo‘lgan ikki funksiyaning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topish qoidalariga o‘xshatib isbotladik.