O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tоshkеnt dаvlat iqtisodiyot universiteti

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

• Гессе матрицаси бўлса, у ҳолда:
• агар мусбат аниқланган бўлса, у ҳолда - нуқта z функциянинг минимуми;
• агар манфий аниқланган бўлса, у ҳолда - нуқта z функциянинг максимуми;
• агар ишораси аниқланмаган бўлса, у ҳолда z функция нуқтада экстремумга эга бўлмайди.

•  

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

• Сильвестр критерияси. Квадратик форма қуйидаги матрица кўринишида берилган бўлсин
• Бу форма мусбат аниқланган бўлиши учун, унинг барча бош минорларининг мусбат бўлиши зарур ва етарлидир.
• Бу форма манфий аниқланган бўлади, агар унинг барча бош минорларининг ишоралари манфий ишорадан бошлаб, кетма-кет алмашиниб туради.
• .

•  

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

• Мисол. Функциянинг экстремум нуқталарини топинг
• Ечиш. Қуйидаги тенгламалар системасидан стационар нуқталарни топамиз:

•  

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

• Бундан стационар нуқта эканлиги келиб чиқади. Бу нуқтада функциянинг 2-тартибли хусусий ҳосилаларини ҳисоблаб, Гессе матрицаси тузилади .
• ,
• ,
• .

•  

Кўп ўзгарувчили функциянинг экстремумлари

•  .
• Гессе матрицасининг бош минорлари ҳисобланади:
•  
• .
• Улар ишоралари (манфий ишорадан бошлаб) ўзгарувчи кетма-кетликни ҳосил қилади. Бу эса Гессе матрицасининг манфий аниқланганлигини билдиради. Демак,– нуқта функциянинг локаль максимум нуқтаси экан.
• Агар – аниқмас матрица бўлса, яъни у мусбат ҳам, манфий ҳам аниқланмаган бўлса, у ҳолда бу функция экстремумга эришмайди.

•