O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi toshkent kimyo-texnologiya instituti

Juft kuchlarni qo’shish. 
Teorema:
Tekislikda ixtiyoriy joylashgan juftlarni, momenti berilgan 
juftlar momentlarining algebraik yig’indisiga teng bo’lgan bitta 
juft bilan almashtirish mumkin. 
Isbot:
Tekislikda momentlari m1, m2, m3 bo’lgan 3 ta juft 
joylashgan (25-shakl). Juftlarning ta’sir tekisligida ixtiyoriy AB 
kesmani, berilgan juftlar uchun umumiy elka uchun tanlab olamiz 
(26-a shakl) momentlari m1, m2, m3 bo’lgan juftlarni, momentlari 
berilgan juftlarni momentlariga teng bo’lgan (
'
,
F
F
), (
'
,
2
2
F
F
), 
(
'
,
3
3
F
F
) 
juftlar 
bilan 
almashtiramiz, 
ya’ni 
.
,
,
3
3
2
2
1
1
d
F
m
d
F
m
d
F
m






A nuqtaga qo’yilgan kuchlarni bitta kuch 
3
2
1
F
F
F
R



bilan almashtiramiz. B 
nuqtaga qo’yilgan kuchlarni bitta kuch 
23- shakl. 
24- shakl. 
25- shakl. 
1
m
2
m
3
m
R
26-б shakl.
26-
а
shakl.

---

15 
'
F
'
F
'
F
' 
R
3
2
1



bilan almashtiramiz. Boshqacha aytganda (
'
,
R
R
) kuchlar sistemasi 
berilgan juftlarga teng ta’sir etuvchi juftidir (26-
b
shakl). Teng ta’sir etuvchi juftning 
momenti quyidagiga teng bo’ladi 
d)
(-F
d
F
d
F
)d
F
F
(F
d
R
M
3
2
1
3
2
1
1










yoki 
M=m1+m2+m3
, teorema isbotlandi. Xuddi shunday ixtiyoriy sondagi juftlar 
uchun quyidagini yozish mumkin, 



n
1
k
k
m
M
(2.14) 
Juftlarning muvozanat sharti. 
 
Bir tekislikda ixtiyoriy joylashgan juftlar muvozanatda bo’lsin. Hamma 
juftlarni bitta juft bilan almashtirib, muvozanat mavjud bo’lishi uchun yoki 
R=0
yoki 
d=0
bo’lishi kerak degan xulosaga kelamiz. U holda 
R

d=0
, ya’ni juft momenti M=0. 
Bu erdan ko’rinadiki, (2.14) formulaga asosan 
0
m
n
1
k
k



(2.15) 
Demak, bir tekislikda ixtiyoriy joylashgan juftlar sistemasi muvozanatda 
bo’lsa, ular momentlarining algebraik yig’indisi 0 ga teng bo’ladi. Bu xulosaning 
teskarisi ham o’rinlidir. Ya’ni bir tekislikda ixtiyoriy joylashgan juftlar 
momentlarning algebraik yig’indisi nolga teng bo’lsa, bu juftlar sistemasi 
muvozanatda bo’ladi. Haqiqatdan ham agar 
0
m
k


bo’lsa, u holda 
M=R

d=0
. Bu 
erdan 
R=0
yoki 
d=0
bo’lishi mumkin. Har ikkala holda ham sistema muvozanatda 
bo’ladi. Demak (2.15) tenglik juftlar sistemasi muvozanatining zarur va etarli shartini 
ifodalaydi. 
Bir-biri bilan 

burchak tashkil etuvchi ikkita kesishuvchi tekisliklar olamiz. I 
tekislikda yotuvchi juft kuchini 
1
M
va 
II
tekislikda yotuvchi juftni moment 
2
M
bo’lsin: 
M1=F1

AB; M2=F2

AB.
A nuqtaga va B nuqtaga qo’yilgan 
kuchlarni qo’shsak: 
2
1
F
F
R


hamda
2
1
F
F
R





(27-shakl). 
Natijada ikkita kuchlar parallelogrammi 
hosil bo’ladi. Bu parallelogrammlar teng 
bo’lgani uchun ularni dioganallari ham teng. 
Provarida ikkita juftni qo’shishi natijasida bitta 
juft hosil bo’ladi. Bu juftni 
M
momentini 
topamiz. 
M
moment 
M
1 va 
M
2 momentlardan 
qurilgan parallelogramm dioganaliga teng: 
M
=
M
1+
M
2 
yoki
M
=
B
A
R

. 
n dan n+1 ni isbotlash usuli orqali har qanday songa ega bo’lgan 
n
ta juft kuchlarning 
momentini topish mumkin: 







n
k
k
n
M
M
M
M
M
1
2
1
...
 
 
 
 
(2
.16) 
27- shakl. 

---

16 
Agar jism unga ta’sir etuvchi juft kuchlar ta’sirida 
muvozanatda bo’lsa u holda bu juft kuchlarning momentlari 
yig’indisi nolga teng bo’lishi etarli va zarurdir. ya’ni: 




n
k
K
M
M
1
0
(2.17) 
Masala.
Tomonlari 
0,2 m 
ga teng bo’lgan kvadrat 
plastinkani 
A
uchiga 
F=150 N
kuch qo’yilgan. Bu kuchni 
V
nuqtaga nisbatan momentini toping.