|
7-teorema. Biror soni operatorning karrali xos qiymati bo‘lishi uchun u funksiyaning karrali noli bo‘lishi zarur va yetarli.
O‘n birinchi paragrafda integral tenglamalarga doir misollar yechib ko‘rsatilgan.
I-bob. Asosiy tushunchalar
Biz qisman differensial tenglamalarni yechishning analitik usullari bilan tanishdik. Biroq, yechimning ketma-ket yoki integral sifatida aniq ifodalanishi har doim ham mumkin emas.
Masalan, issiqlik tenglamasini ko'rib chiqing
(1)
O'zgaruvchilarni ajratish usuli faqat holatda qo'llaniladi. Biroq, ko'pincha issiqlik sig'imi va issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlarini ushbu shaklda ifodalash mumkin bo'lmaganda yoki hatto haroratga bog'liq bo'lmaganda (kvazi-chiziqli issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi) muammolar mavjud. Nochiziqli tenglamalar yechimlarini analitik shaklda ifodalash istisno hollarda mumkin.
Matematik fizikaning keng sinf tenglamalariga qo'llaniladigan differentsial tenglamalarni taxminiy hal qilishning universal usullari raqamli usullar bo'lib, ular orasida biz chekli farqlar usulini (yoki panjara usulini) ajratib ko'rsatamiz.
Chekli farq usuli quyidagicha. Argumentlarning uzluksiz o'zgarishi mintaqasi (masalan, x vit) to'r deb ataladigan chekli (diskret) nuqtalar (tugunlar) to'plami bilan almashtiriladi; uzluksiz argument funktsiyalari o'rniga biz to'rning tugunlarida aniqlangan va grid funktsiyalari deb ataladigan diskret argumentning funktsiyalarini ko'rib chiqamiz. Differensial tenglamaga kiritilgan hosilalar mos keladigan ayirma munosabatlari yordamida almashtiriladi (taxminlanadi); differensial tenglama algebraik tenglamalar tizimi (farq tenglamalari) bilan almashtiriladi.
Boshlang'ich va chegaraviy shartlar, shuningdek, panjara funktsiyasi uchun farqli boshlang'ich va chegara shartlari bilan almashtiriladi.
Shu yo‘l bilan olingan ayirma chegaraviy masala yechilishi va uning yechimi to‘r tugunlarining N soni ortib borishi bilan differensial tenglama uchun dastlabki masala yechimiga yaqinlashish (yaqinlashishi)ni talab qilish tabiiy. Quyida yaqinlik, yaqinlik, aniqlik va barqarorlik tushunchalari eng oddiy misollar yordamida tasvirlangan.
Tur va tur fuksiyalari. Oddiy differinsial operatorlarni approksimatsiyalash.
Argument x diapazoni segmenti bo'lsin. Bu segmentni nuqtalarga teng N ga ajratamiz. h uzunligining qismlari, har biri. nuqtalar to'plami oraliqdagi farqlar to'plami deb ataladi va bilan belgilanadi. va h soni, —h toʻr nuqtalari (tugunlari) orasidagi masofa — toʻr qadami deyiladi.
[0,l] segmentni ixtiyoriy nuqtalar . qadamlari bilan ,nuqtalarni kiritish orqali N qismga bo'lish mumkin, bu x tugunning i soniga bog'liq. Agar hech bo'lmaganda bitta % soni uchun salom ph bo'lsa, u holda to'r iz, = W, bir xil bo'lmagan deb ataladi. Agar barcha uchun
bo'lsa, u holda yuqorida tuzilgan yagona to'rni olamiz.
Diskret argumentining funksiyasi yoqilgan to'rida aniqlangan to'r funksiyasi deyiladi.
Har qanday uzluksiz funktsiyani mos ravishda qo'yish mumkin grid funksiyasi
masalan, . Biroq, ba'zi hollarda bu yozishmalarni boshqalar bilan o'rnatish qulayroqdir yo'llari.
Argumentlar diapazoni (x, t) to'rtburchak bo'lsin segm entida shi = panjarasini quramiz qadam bilan va segmentida panjara qadam bilan . Kopgina koordinatalari ) va bo'lgan tugunlar mogon va ni elgilaymiz.
Ushbu panjara har bir o'zgaruvchida bir xil x va t. Agar to'rlardan kamida bittasi yoki yoki bir xil bo'lmasa, u holda to'plam hr bir xil bo'lmagan deb ataladi. U grid dan iboratligi aniq chiziqlarning kesishish nuqtalari va to'g'ri chiziqlar t = tj, .
y-da aniqlangan funksiyasi bo'lsin. Belgilaymiz - to‘rning tugunidagi y to‘r funksiyasining qiymati.
Uzluksiz funksiya , bu yerda (x, t) dan nuqta, biz bo'lamiz panjara funksiyasiga mos keling.
Bunday yozishmalarning boshqa usullari ham bo'lishi mumkin, bunda biz biz bu erda to'xtamaymiz.
Eng oddiy differensial operalarning yaqinlashishi tori.
To‘r funksiyasini y ni tarmoq funksiyasiga aylantiruvchi operatori
funksiyasi grid yoki farq operatori deb ataladi. Funktsiyalar sinfida aniqlangan L differensial operator uzluksizdir uzluksiz argument, taxminan almashtirilishi mumkin (taxminan aniqlangan) tarmoq funksiyalarida aniqlangan farq operatori tomonidan. Buning uchun hosilalarning har biri ayirma munosabati bilan almashtiriladi qiymatlarni o'z ichiga olgan ovqat (shuning uchun "farq operatori" nomi). bir nechta grid tugunlarida grid funktsiyasi. Keling, bu qanday ketayotganini ko'rib chiqaylik bir o‘zgaruvchili funksiyaning birinchi va ikkinchi hosilalari uchun berilgan.
oraliqda h pog'onali to'r bo'lsin. v(x) funksiyaning birinchi hosilasini ko'rib chiqaylik. Uni almashtiring farq ifodasi cheksiz ko'p usullarda ishlatilishi mumkin. Eng oddiylari almashtirishlardir
chap farq hosilasi yoki chap farq nisbati,
markaziy farq hosilasi. Bu yerda , belgisi ~ ozna choylarning yozishmalari yoki yaqinlashishi. o'zgarishi ostida farqlarxato operatorining ayirma bilan yaqinlashish xatosi deyiladi operator . Buni h istagi kabi talab qilish tabiiy nol, bu xato nolga intiladi. h ni hisoblash uchun oldindan kerak silliq funksiya deb faraz qilaylik. Biz uchun deb aytamiz funksiyalar sinfiga (fazoga) kiradi, oralig'ida berilgan, agar m uzluksiz yoqilgan bo'lsa segment hosilalari. m = 0 uchun biz sinfini olamiz funksiyalar uchun uzluksiz.
bo‘lsin, bu yerda . Teylor qatorida ni kengaytiramiz. nuqtaga yaqin joyda:
va hisoblang
Aytishimiz mumkinki, farq operatori 1) taxminan to'rda L differentsial operatorini belgilaydi va agar ifoda bo'lsa (bu yerda yetarlicha silliq funksiya) sifatida nolga intiladi; 2) tartib bilan L ga yaqinlashadi
Do'stlaringiz bilan baham: |
