O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi qo’qon davlat pedagogika instituti fizika – matematika fakulteti Matematika kafedrasi Matematika o’qitish metodikasi ta’lim yo’nalishi

Jadval tuzamiz:

x	0  x  2	2	x  2
f ^(x)	-	0	+
f (x)		4

Funksiyaning yana ikkita nuqtadagi qiymatini topamiz:

6-jadval

f (1)  5, f (4)  5

Tekshirish natijalaridan foydalanib,

yasaymiz.

y  x  ⁴
x

funksiyaning

x  0 dagi grafigini

y _y

4
 2 ₂
0 ^x
2
2
1 ^{0 x}

 4
18-rasm
 7
19-rasm

f (x)  1 2x²  x⁴ funksiyaning grafigini 1;2 kesmada yasang.

Hosilani topamiz:
f ^(x)  4x  4x³  4x(1  x)(1  x)
21

x	1	1  x  0	0	0  x  1	1	1  x  2	2
f ^(x)	0	-	0	+	0	-	-24
f (x)	2		1		2		-7

7-JADVAL

Bu jadvaldan foydalanib, yasaymiz.
y  1 2x²  x⁴
funksiyaning grafigini 1;2
kesmada

Hosila funksiyani tekshirishda, yahni funksiyalarning turli hossalarini o’rganishda
qo’llaniladi. Masalan, hosila yordamida funksiyaning o’sish va kamayishi, uning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish mumkin.
Hosilaning funksiyaning o’sish va kamayishi oraliqlarini topishda qo’llanilishini ko’ramiz.

Biror oraliqda
y  f (x)
funksiya hosilasining qiymatlari musbat, yahni
f ^(x)  0

bo’lsin. U holda bu funksiyaga berilgan oraliqning har bir nuqtasida o’tkazilgan urinmaning

tg  f ^(x)
burchak koeffitsenti musbat bo’ladi; bu funksiyaga o’tkazilgan urinma yuqoriga

yo’nalganligini va shuning uchun funksiya grafigi urinma yuqoriga yo’nalganligi funksiyani o’sishini anglatadi. (20-rasm)
f (x)

22

Agar biror oraliqda
f ^(x)  0
bo’lsa, u hola
y  f (x)
funksiya grafigiga o’tkazilgan

urinmaning
tg  f ^(x)
burchak koeffitsenti manfiy bo’ladi. Bu funksiya grafigiga o’tkazilgan

urinmaning pastga yo’nalganligini va shuning uchun funksiya grafigiga qaraganimizda bu

oraliqda “tushinishini” yahni
f (x)
funksiya kamayishini anglatadi. (2-rasm)

SHundan qilib, agar oraliqda
f ^(x)  0
bo’lsa, u holda
f (x)
funksiya shu oraliqda

kamayadi. SHu bilimlarga asoslanib isbotlaymiz. Hosilani topamiz f‘(x)= 1- = yani x bo’ladi va shuning uchun x da o’sadi.

Funksiya hosilasini bilish funksiya haqida xulosa chiqarishni imkoniyatini beradi.

1-Teorema. Agar
f ^(x₀ )  0
bo’lsa, shunday   0 son topiladiki, (x₀ ; x₀   )

oralig’idagi barcha x lar uchun
f (x)  f (x₀ )
bo’ladi va (x₀   ; x₀ ) oraliqdagi barcha x lar

uchun
f (x)  f (x₀ ) bo’ladi va (x₀   ;x₀ ) oraliqdagi barcha x lar uchun
f (x)  f (x₀ )
bo’ladi.

Boshqacha aytganda, agar
f ^(x₀ )  0
bo’lsa,
f (x)
funksiya x₀
nuqtada o’sadi.

Isbot.
f ^(x₀


)  lim
xx₀
f (x)  f (x₀ ) _{ 0}
x  x

0

Bo’ladigan limitning tarifiga ko’ra
E  f ^(x₀ )  0 soni uchun shunday   0 son

mavjudki, ( x₀   ; x₀   ) oraliqqa tegishli barcha x  x₀ lar uchun

 f ^(x₀


^ f (x)  f (x₀ )

)  f ^(x₀


) tengsizlik bajariladi. B



0


0
f (x)  f (x₀ ) _{ f (x} x  x₀
)   f ^(x₀ )
yoki
f (x)  f (x₀ ) _{ 0}
x  x₀

1. 
   

ekani kelib chiqadi. (x₀ ; x₀   )
oraliqdagi barcha x lar uchun
x  x₀  0
bo’lgani uchun

(1)
tengsizlikdan
f (x)  f (x₀ )
bo’lgani sababli
(1)
tengsizlikdan
f (x)  f (x₀ )
bo’lishi kelib

chiqadi. SHu bilan teorema isbot bo’ladi.

23

2. 
   Teorema. Agar
   

f ^(x₀ )  0 bo’lsa, shunday   0
son topiladiki, (x₀ ; x₀   )
oraliqdagi

barcha x lar uchun bo’ladi.
f (x)  f (x₀ )
va (x₀   ; x₀ )
oraliqdagi barcha x laruchun
f (x)  f (x₀ )

Boshqacha aytganda, agar
kamayadi.
f ^(x₀ )  0
bo’lsa, u holda
f (x)
funksiya x₀
nuqtada

Isbot.
p(x)   f (x)
funksiyani qaraymiz. Teoremani sharoitiga ko’ra

p^(x₀ )   f ^(x₀ )  0 bo’lgani uchun 1-teoremaga asosan
p(x)
funksiya x₀
nuqtada o’sadi.

Demak, shunday

  0
son topiladiki,
(x_0; x₀   )
oraliqdagi barcha x lar uchun

p(x) p(x₀ ),
ya’ni
 f (x)   f (x₀ )
yoki
f (x)  f (x₀ ) . SHu bilan 2-teorema isbot bo’ladi.

Demak,
f ^(x₀ )  0 bo’lsa, u holda
f (x)
funksiya x₀
nuqtada kamayadi.

2. 
   Teorema. Agar
   

f (x) funksiya
(x)
oraliqning xar bir nuqtasida musbat (manfiy)

hosilaga ega bo’lsa, u holada
f (x)
funksiya shu (x) oraliqda o’sadi (kamayadi).

Bu teoremaning isbotsiz (qabul) qilamiz.

1. 
   misol.
   

_{y  x}2n1 _,
  N
funksiyaning hosilasi
y^  (2n 1)x²ⁿ
bo’lib, bu hosila

koordinata boshidan
(x  0)
tashqari hamma joyda musbatdir. SHuning uchun
_{y  x}2n1

funksiya hamma joyda o’suvchi bo’ladi.

2. 
   misol.
   

y  x²ⁿ ,
n  N
funksiyaning hosilasi
y^  2nx^2n1
bo’lib,
x  0 da
y^  0 va

x  0 da
y^  0 . SHuning uchun
y  x²ⁿ
funksiya koordinata boshidan chapda kamayuvchi,

koordinata boshidan o’ngda esa o’suvchi bo’ladi.
Funksiya biror oraliqda o’suvchi bo’lib, boshqa bir intervalda esa kamayuvchi bo’lishi mumkin. Funksiya o’suvchi yoki kamayuvchi bo’lgan intervallarni funksiyaning monoton o’zgarish intervallari deyiladi.

Masalan,
f (x)  ¹ x³  2x²  3x 1 funksiyaning moton o’zgarish intervallari topilsin.
3

Yechish. Berilgan funksiyaning hosilasini topamiz.
f ^(x)  x²  4x  3
Bu hosila x ning hamma qiymatlarida uzluksiz. Hosila nolga aylanuvchi nuqtalarni topamiz. Buning uchun tenglamani yechamiz:
24
x²  4x  3  0
x₁  1, x₂  3

Demak,
y^  (x 1)(x  3)


22-rasm


7-jadval

x	 ;1	1;3	3;
y^	+	-	+
y	O’sadi	Kamayadi	O’sadi

Ikkinchi usul. Avval funksiyani o’sish intervallarini topamiz. Buning uchun hosila qaysi oraliqlarda musbat bo’lishini bilish kerak.

y^  x²  4x  3  0
yoki
(x 1)(x  3)  0
Tengsizlikni yechamiz. Natijada hosilaning  ;1 va 3; intervalda musbat bo’lishi
kelib chiqadi. SHu tengsizlikni o’zidan hosila 1;3 intervalda manfiy bo’lishini topamiz. Demak, funksiya bu intervalda kamayadi. Funksiya grafigi 3-chizmada tasvirlangan.
y

2
1
⁰ 1 ²
3 ^x

3. 
   RASM
   

25
3.1-§ Funksiya hosilasini tatbiq etishda kompyuter dasturlaridan foydalanish orqali o’quvchi amaliy faoliyatini rivojlantirish
Faoliyat motiv, maqsad, vosita, natijaga ko‘ra doimiy harakatlanadigan ijtimoiy hodisa, u o‘zining boshlanishi va yakuniga ega. Amaliy faoliyatning boshlanishi o‘quv maqsadlarini belgilash, anglash, ularni amalga oshirish bilan yakunlanishi ta’limdan ko‘zlangan natijaga erishishi bilan tavsiflanadi. Tuzilgan loyihalarda amaliy faoliyat modellashtiriladi. Demak, o‘quvchining o‘qish- o‘rganishi boshlanishida ta’lim loyihasi, yakunlanishida esa ta’lim natijasi yotadi. Amaliy faoliyatni davriy boshqarishning bosh vazifasi mazkur variantlar orasidan eng samaralisini tanlash va uni ilmiy asoslash. Bunday ish o‘qish- o‘rganishning umumiy va alohida xususiyatlarini ajratishni taqozo qiladi. Matematikadan bajariladigan amaliy ishlar mazmuni, o‘quvchining o‘quv maqsadlari, o‘rganish vositalari, ta’lim uslublari o‘qish-o‘rganish umumiyligini ta’minlaydi. Demak, matematikadan amaliy ishlarni bajarishni har bir o‘quvchi o‘z imkoniyati va salohiyati darajasida o‘zlashtiradi. Natija induvidualligi amaliy faoliyatning xususiyati hisoblanadi.
Faoliyat – bu ijtimoiy qimmatli motivlarga ko‘ra aniq bir maqsadga yo‘naltirilgan, o‘ziga oid vositalar asosida ma’lum natija bilan yakunlanadigan harakatlar tizimi. O‘quvchi amaliy faoliyatining harakatlar tizimi. O‘quvchi amaliy faoliyatining o‘zaro daxldor ikki jihati ajratiladi. Bu o‘qish va bilish.
Ma’lumki, funksiyaning hosilasi tushunchasi matematika va fizikaning eng sodda misol va masalalaridan boshlab tabiatning eng muammoli masalalarini yechishda keng qo‘llaniladi. Ushbu ishda hosiladan kelib chiqadigan mazmunga ko‘ra, aniqroq aytganda, hosilaning geometrik mazmunidan kelib chiqib funksiya grafigiga urinma masalasiga hosilaning qo‘llanilishini MATLAB va Dev-C++ dasturiy tizimlardan foydalanib ko‘rsatib o‘tiladi va eng sodda misollar vositasida hosilaning qo‘llanilishini algoritmi keltiriladi.

0
Funksiya hosilasining ma’nosidan kelib chiqib burchak koeffitsiyenti bo‘lgan tug‘ri chiziq tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin
26

y  f ^' (x )x  b (1)

Bundan b ni hisoblash uchun urinmani biror foydalanamiz:
A(x₀ , f (x₀ ))
nuqtadan o‘tishidan

0 0 0
f (x )  f ^' (x )x  b

0 0 0
b  f (x )  f ^' (x )x
(3) tenglamaga ko‘ra (1) dan:
(2)
(3)

0 0 0 0
y  f ^' (x )x  f (x )  f ^' (x )x

0 0 0
y  f ^' (x )(x  x )  f (x ) ⁽⁴⁾

Ushbu (4) tenglama urinma tenglamasi deyiladi.
F(x)
funksiya grafigiga
A(x₀ , f (x₀ ))
nuqtada o‘tkazilgan

Endi (4) tenglama asosida aniq va eng sodda misolda algoritmini
quyidagicha keltiramiz:

1. 
   misol.
   

f (x)  x³  2x² 1 funksiya grafigiga
x₀  2
ga teng bo‘lgan no‘qtada

o‘tkazilgan urinma tenglamasini yozing va grafigini chizing. (1-a va b rasmlar).

Ushbu misolda
x₀  2
bo‘lib uning yechimini algoritmi quyidagicha bo‘ladi:

Misol yechimining ketma-ketligi	Ketma-ketlikning bajarilishi
(4) tenglamaga ko‘ra dastlab f (x0 ) topiladi	2 f(x0)=f(2)=2^3-2*2^2+1
f ^' (x) aniqlanadi	f ^' (x)  ^df^(^x^) (x^3  2x^2 1)^'  3x^2  4x dt
f ^' (x) dan foydalanib f ^' (x ) topiladi 0	f ^' (x )  3* 2^2  4 * 2  4
Nihoyat (4) tenglamadan foydalanib urinma tenglamasini yoziladi	y  1 4(x  2)  4x  7 y  4x  7

27