О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim vazirligi navoiy davlat konchilik instituti

Optimallash masalalarini echish usullari. Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli

1. 
   Optimallashtirishning variatsion hisoblash usuli.
   
2. 
   Chegaraviy munosabatlar va funksionallar.
   
3. 
   Eyler sharti.
   

Yuqorida ko’rilgan masalalarning barchasida maqsadli va chegaraviy munosabatlar aniqlanishi kerak bo’lgan parametrga nisbatan funksiyalar sifatida berilgan edi.

TS ni loyihalashda, ba’zi hollarda maqsadli munosabatlar va chegaraviy munosabatlar funksiyalar emas funksionallar sifatida ifodalanadi. Bunday masalalarning optimal echimlarini aniqlash uchun variatsion hisoblash usulidan foydalangan maqsadga muvofiq.
Aytaylik, x, u dy/dx o’zgaruvchilarga ega bo’lgan ikki marta differensiallanuvchi Ғ funksiya va uning x₁ x₂ orasidagi aniq integrali


(25)

berilgan bo’lsin va shu integralni optimallashtiruvchi y=u(x) funksiyani topish kerak bo’lsin.

Variatsion hisoblashda izlanayotgan funksiya quyidagi Eyler shartiga mos bo’lishi kerak


bunda (26)

Chegara qo’yilishi keyinroq ko’riladi. Eyler shartini qo’llanilishini yaxshi tushunib olish uchun avvalo quyidagi osonroq masalani ko’raylik (16-rasm)

16-rasm. Variatsion hisoblash usulini tushunishga doir

A va B nuqalarni tutashtiruvchi y=y(x) shunday funksiya aniqlansinki, shu funksiya grafigi bo’yicha harakatlangan AB chizig’i uzunligi minimal bo’lsin. Konkretroq bo’lishi uchun A nuqta koordinatalari (x=0; y=0), B nuqta koordinatalari (x=1; y=1) bo’lsin. Rasmga asosan minimallashtirish kerak bo’lgan integral quyidagicha ifodalanadi

Demak, F funksiya quyidagicha bo’ladi.

Bundan

Aniqlanganlarni Eyler shartiga qo’yamiz.

Differensiali nolga teng bo’lgan funksiya o’zgarmas miqdor bo’ladi, va bu miqdorni S bilan belgilasak

ni hosil qilamiz. Bu tenglamani y¹ ga nisbatan echsak

va oxirgini integrallab echsak

kelib chiqadi.

Bu izlanayotgan to’g’ri chiziq tenglamasi A va B nuqtalarning berilgan koordinatalarini hisobga olsak K=0; _{ }²=1 kelib chiqadi. Demak echim: Optimal funksiya y=x bo’ladi.
Agar chegaraviy munosabatlar ham qo’yilgan bo’lsa Eyler sharti boshqacharoq bo’ladi. Aytaylik quyidagi berilgan integralni minimallashtiruvchi


(27)

chegaraviy munosabatlarni qanoatlantiruvchi y=y(x) funksiya aniqlanishi kerak bo’lsin. Bunda K - o’zgarmas son. Bu holda

integralni minimalashtirish uchun Eyler sharti quyidagicha bo’ladi

(28)

Misol tariqasida quyidagini ko’raylik (17rasm)

17-rasm. Variatsion hisoblash usuli misoliga doir

A, B nuqtalarni tutashtiruvchi uzunligi minimal va grafigi ostidagi yuza S= /R. ga teng bo’lgan y=y(x) funksiya aniqlansin. Nuqtalar koordinatalari rasmda keltirilgan oldingi misolda aniqlanganidek

Demak bu misol uchun,


va G=y

Eyler shartiga asosan

Oxirgi differensial tenglamani echsak

da

va hosil bo’lgan tenglamaning ikkala tomonini ham kvadratga ko’tarib, quyidagi radiusi 1 ga teng va markazi (1;0) nuqtada bo’lgan aylana tenglamasini olamiz

va izlangan egri chiziq shu bo’ladi.

Shunday qilib optimal loyihalash jarayonlarida keng qo’llanilishi mumkin bo’lgan differensiallash, Lagranj ko’paytuvchilari, sonli, chiziqli programmalashtirish va variatsion hisoblash usullari qisqacha ko’rib chiqildi.
Ko’rilgan usullar bo’yicha masalalarni echish amaliy va tajribaviy darslarning mazmunini tashkil qiladi.