O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

2.1. Butun sonlar bo’linishi.
Butun sonlar halqasi, bo‘linish munosabati, maydon, ratsional sonlar maydoni, haqiqiy sonlar sistemasi.
Agar shunday q butun son mavjud bo’lib, a = bq tenglik o’rinli bo’lsa, a butun son b butun songa (b0) bo’linadi yoki b son a sonni bo’ladi deyiladi. Bu yerda q bo’linma, b bo’luvchi, a bo’linuvchi deb ataladi. a sonning b songa bo’linishini b|a shaklda belgilanadi, agar a son b songa bo’linmasa, uni ba bilan belgilaymiz. Bo’linish xossalari:
a) bo’linish refleksiv, ya’ni a|a;
b) bo’linish tranzitiv, ya’ni agar b|a va c|b bo’lsa, u holda c|a;
c) c|a dan ixtiyoriy butun b son uchun c|ab o’rinli;
d) c|a va c|b dan ixtiyoriy butun x va y sonlar uchun c|ax+by o’rinli (masalan,
c|a±b). Bu xossa ikkidan ko’p sonlar uchun ham o’rinli;
e) b|a va a|b bo’lsa, a = ±b;
f) b|a, a > 0, b > 0 dan b £ a kelib chiqadi.
Qoldiqli bo’lish haqidagi teorema: a – butun son, b – butun musbat son bo’lsin.
a son hamma vaqt b songa bo’linmaydi, lekin hamma vaqt a son b songa qoldiqli
bo’linadi, ya’ni shunday yagona butun q va r sonlar topiladiki, ular uchun

tenglik o’rinli bo’ladi, bu yerda q - to’liqmas bo’linma, r - soni a ni b ga bo’lgandagi
qoldiq deyiladi.
1-m i s o l. a sonni 13 ga bo’lganda to’liqmas bo’linma 17 ga teng bo’lsa, a
ning eng katta qiymatini toping.
Yechish. Masala shartiga ko’ra, a = 13×17+r, 0 £ r < 13. Demak, r = 12
bo’lganda a eng katta qiymatga erishadi, ya’ni 13×17 + 12 = 233. G
2-m i s o l. Bo’linuvchi 371, to’liqmas bo’linma 14 ga teng bo’lsa, bo’luvchi va
unga mos qoldiqlarni toping.
Yechish. Masala shartiga ko’ra, 371 = b×14 + r, 0 £ r < b , bundan 14b < 371,
b £ 26. Boshqa tomondan 15b > 371, bundan b > 24. Demak, b=25; 26 va r = 21; 7
bo’ladi.
3-m i s o l. a sonni b songa bo’lganda bo’linma q va nolmas qoldiq r ga teng.
a ni qanday natural n songa ko’paytirganda bo’linma n marta ortadi?

4-m i s o l. Uchta ketma-ket natural sonlardan bittasi 3 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Natural sonni 3k, 3k + 1, 3k + 2 sonlarning bittasi shaklida ifodalash mumkin. Agar n = 3k bo’lsa, u holda 3|n; agar n = 3k + 1 bo’lsa, u holda 3|n + 2;
agar n = 3k + 2 bo’lsa, u holda 3|n+1.
5-m i s o l. Agar besh xonali son 41 ga bo’linsa, shu sonni tashkil qilgan raqamlarni aylanma almashtirish yordamida hosil bo’lgan har qanday sonning 41 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Besh xonali son N=104a+103b+102s+10d+e bo’lsin va u 41 ga bo’linsin. Raqamlarni aylanma almashtirishdan (chapga bir raqamga) quyidagi sonni
hosil qilamiz:

6-m i s o l. 2 1 ( 2,3,...) 2 n nko’rinishdagi barcha sonlar 7 raqam bilan tugashini
Isbotlang

7-m i s o l. 7×11×13=1001 ni bilgan holda 7, 11, 13 ga umumiy bo’linish alomatini
keltirib chiqaring. Bu alomatni 368312 ga qo’llang.
Yechish. N = 1000q + r = 1001q + r – q dan N son 7, 11 va 13 ga bo’linishi
uchun shu sondan uning 1000 ga bo’linganida hosil bo’lgan qoldiqdan ayirmasi 7,
11 yoki 13 ga bo’linishi zarur va yetarligi kelib chiqadi, ya’ni 7 ×11×13 (1− q) . Agar
N = 368312 bo’lsa, yuqorida keltirilgan ayirma 368 – 312 = 56.
56 faqat 7 ga bo’linganligi sababli 368312 7 ga bo’linadi, lekin 11 va 13 ga
bo’linmaydi. g
8-m i s o l. To’rtta ketma-ket joylashgan butun sonlar ko’paytmasiga bir
qo’shilganda to’liq kvadrat hosil bo’lishini isbotlang.
Yechish. n – 1, n, n + 1, n + 2 – to’rtta ketma-ket keladigan butun sonlar
bo’lsin. U holda

9-m i s o l. 1110 – 1 sonni 100 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Nyuton binomini qo’llaymiz:


har bir qo’shiluvchi 100 ga bo’linadi.
10-m i s o l. Har bir butun n uchun n5 – n son 5 ga bo’linishi isbotlang.
Yechish. n5 – n = n(n2-1)(n2+1). Butun sonni 5 ga bo’lganda qoldiqlar 0, 1, 2, 3, 4 bo’ladi va bundan butun son 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, ko’rinishdan biriga teng bo’lishi kelib chiqadi.
Agar n = 5k bo’lsa, n son 5 ga bo’linadi; agar n = 5k + 2 yoki n = 5k + 3 bo’lsa, (n2 + 1) son 5 ga bo’linadi; agar n = 5k + 1 yoki n = 5k + 4 bo’lsa, (n2-1) 5 ga bo’linadi.
11-m i s o l. Raqamlar yig’indisi bir xil bo’lgan ikki son ayirmasi 9 ga
bo’linishini isbotlang.

12-m i s o l. Ketma-ket kelgan to’rtta raqam birin-ketin yozilgan bo’lib, dastlabki
ikkita raqam o’rni almashtirilgandan so’ng to’la kvadrat bo’lgan to’rt xonali
son hosil qilingan. Shu sonni toping.
Yechish. Masala shartiga ko’ra,

Bundan N = 11k va N to’la kvadrat bo’lganligidan 11k2 = 101x + 93, ya’ni

XULOSA
Algebra va sonlar nazariyasi oliy matematikaning fundamental bo’limlaridan bo’lib, matematika poydevori hisoblanadi.
Algebra va sonlar nazariyasi faninig asosiy vazifasi shu fanning tushuncha va tasdiqlar va boshqa matematik ma’lumotlar majmuasi bilan tanishtirishdangina iborat bo’lmasdan, balki talabalarni mantiqiy fikrlashga, matematik usullarni amaliy masalalarni yechishga qo’llashni o’rgatishni ham o’z ichiga oladi.
Kurs ishi oliy ta’lim tizimining barcha bosqichlarida algebra va sonlar nazariyasi fanini o’qitishda muhim ahamyatga ega bo’lgan tenglamalarni kvadrat radikallarda yechilishi va kvadrat radikallarda yechilmaydigan masalalarni o’rganish, o’rgatish masalasiga bag’ishlangan.
Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar,ularning samarali natijasi va mavzu bo’yicha boshlang’ich ma’lumotlar berildi.
Asosiy qism mavzuni bo’yicha to’liq ma’lumotlar keltirilgan bo’lib yani tenglamalarni radikallarda yechish nazariyasi. Bu soxada ish olib brogan olimlar va ularning bu soxada erishgan yutuqlari kamchiliklari haqida. Uchinchi va to’rtinchi darajali tenglamalar, ularning kvadrat radikallarda yechilishi xaqida. Kvadrat radikallarda yechilmaydigan geometrik masalalar haqidagi to’liq ma’lumotlar keltirildi va mavzuga doir misollar bilan boyitildi.
Xulosa qiladigan bo’lsam algebra va sonlar nazariyasining har bir bo’limiga o’tganimizda unda yangidan yangi qiziqarli ma’lumotlarga duch kelamiz ularni o’quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o’qituvchining mahoratiga bog’liq. Mavzuni hayotga bog’lab tushuntirib berish undagi o’ziga xos xususiyatlarni o’quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O’qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo’lishi lozim va malakasini tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. O’qituvchining zamon bilan ham nafas bo’lishi ham bugungi kun talabi.
Shunday ekan biz bo’lajak pedagoglar o’qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma’suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda vaqtimiz imkonimiz borida o’qib o’rganib olishimiz kerak.
Yurtboshimizning bizga yaratib berayotgan cheksiz imkoniyatlaridan unumli foydalanib, bularga javoban-yetuk mutaxassis kadr bo’lib yetishishimiz va vatanimiz ravnaqiga o’z hissamizni qo’shishimiz kerak.
Barkamol shaxs tarbiyasida yuqori kasbiy tayyorgarlikka ega bo’lgan mutaxasislarning ishlashi hamda yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llangan darslarning tashkil qilinishi ko’zlangan maqsadga erishish garovi sifatida qaraladi.
Barkamol avlod tarbiyasini amalgam oshirishda pedagogic va psixologik ta’limotlar muhum ahamiyat kasb etadi. Jumladan O’zbekiston respublikasida ta’limni takomillashtirish va samaradorligini oshirishda jarayonni zamon talablari darajasida tashkil etishning pedagogic aspektlari va psixologik tamoyillarida unumli foydalanish natijasi ko’zlangan maqsadga erishish yo’llari ravonlashadi. Ta’lim jarayonida o’qitishning zamonaviy usullarini qo’llash va yangi axborot texnologiyalaridan foydalanish orqali ta’lim samaradorligini oshirish muhim vazifadir. Ushbu vazifalarni amalgam oshirish natijasida yaxshi samaralarga erishish imkoni tug’iladi. Ta’lim jarayonida qo’llanilgan turli xil o’qitish strategiyalari asosida tashkil qilingan dars o’quvchini barkamol va komil shaxs sifatida shakillanishi imkonini kengaytirib, unda aqliy kamollik va mustaqil fikrlash xususiyatlarini tarbiyalash imkonini yaratadi.
“Xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim tarbiya olishiga bog’liq.
Buning uchun har qaysi ota-ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida avvalo shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda, farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobilyatiga ega bo’lgan, ongli yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim; deb qabul qilishimiz lozim.