O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi farg‘ona davlat universiteti matematika informatika fakulteti

2.2.Ratsional sonlar nazariyasini aksiomatik asoslash.

Kesmalar uzunliklarini o’lchash haqidagi masaladan, ya’ni geometrik mulohazalardan kelib chiqqan holda biz ratsional sonlar va ular ustida amallarni ta’rifladik. Biroq ratsional sonlar faqat uzunliklarni o’lchash uchungina emas,balki, massa,yuza,hajm va boshqalarni o’lchash uchun ham kerakdir.Shuning uchun geometrik tushunchalarga asoslanmasdan bunday sonlar nazariyasini asoslash maqsadga muvofiq. Buning uchun bu sonlar qanoatlantiradigan aksiomalar sistemasini ko’rsatish yetarlidir.

Q to’plamda qo’shish amallari xossalarini hamda (n marta ) qo’shishga keltiradigan natural songa ko’paytirish amallari xossalarini aksiomalar sistemasi yordamida ta’riflaymiz. Aksiomalar sistemasi quyidagicha:
1)Q to’plam N natural sonlar to’plamini o’z ichiga oladi;
2) Q da Q dan olingan istalgan ikki a va b songa o’sha to’plamdan olingan va sonlarning yig’indisi deb ataluvchi sonni mos keltiruvchi qo’shish amali ta’riflanadi. N qism to’plamda qo’shish amali N dagi qo’shish amali bilan bir xil;
3)Q da qo’shish amali kommutativ, assotsiativ va qisqaruvchan ;
4)Har qanday Q uchun shunday va natural sonlar topiladiki, ular uchun bo’ladi;
bo’lsa, bo’ladi .
Bu aksiomalar sistemasi ziddiyatsiz hamda Q to’plamni va unda qo’shish amalini bir qiymatli qilib aniqlashini isbotlash mumkin.
Buning 4) aksiomadan foydalanib, har bir Q ga bo’ladigan qilib natural sonlarning barcha juftini , ya’ni kasarni mos keltiramiz va shu bilan birga Q songa ekvivalent kasrlar majmuasi mos kelishini ko’rsatamiz. Shundan keyin Q da qo’shish amali kasrlarni qo’shishning oddiy usuliga keltirilishini isbotlaymiz. Bu esa berilgan aksiomalar sistemasi Q ni ta’riflashini va Q da qo’shish amali bir qiymatli ekanini bildiradi. 1) , 5) aksiomalar sistemasining ziddiyatsiz ekanligi model yasash yo’li bilan isbotlanadi, bu modelda sonlar ekvivalent kasrlar majmuasi sifatida izohlanadi.
Ba’zan aksiomalar sistemasini bermasdan ratsional sonlarni ekvivalent kasrlar majmuasi sifatida ta’riflanadi , shu bilan mos ravishda sonlar ustidagi amallar ta’riflanadi.

XULOSA
Mulohazalar algebrasi va mulohazalar hisobida formulaning tavtalogiya bo’lishi yoki bo‘lmasligini aniqlashning samarali usullaridan biri chinlik jadvalidir. Ammo predikatlar mantiqida bu holat batamom o‘zgaradi. Predikatlar m antiqida ixtiyoriy formulaning umumqiymatli yoki umumqiymatli emasligi haqidagi masalani yechadigan samarali usul mavjud emas. Shuning uchun ham predikat va u bilan bog‘liq kvantor tushunchalaridan foydalanadigan matematik nazariyalarda aksiom atik usullardan foydalanish zarur bo‘lib qoladi.
Mulohazalar algebrasi va mulohazalar hisobida formulaning tavtalogiya bo'lishi yoki bo’lmasligini aniqlashning samarali usullaridan biri chinlik jadvalidir. Ammo predikatlar m antiqida bu holat batamom o‘zgaradi. Predikatlar m antiqida ixtiyoriy formulaning umumqiymatli yoki umum qiymatli emasligi haqidagi masalani yechadigan samarali usul mavjud emas. Shuning uchun ham predikat va u bilan bog‘liq kvantor tushunchalaridan foydalanadigan matematik nazariyalarda aksiom atik usullardan foydalanish zarur bo‘lib qoladi. Matematik mantiqning boshlang‘ich tushunchalaridan biri mulohaza tushunchasidir. “Mulohaza” deganda biz rost yoki yolg‘onligi haqida fikr yuritishi mumkin bo‘lgan darak gapni tushunamiz. Har qanday mulohaza yo rost yoki yolg‘on bo‘ladi. Hech bir mulohaza bir vaqtning o‘zida ham rost ham yolg‘on bo‘la olmaydi. Insonlar kundalik hayotda o’zaro muloqot qilish uchun turli mulohazalardan foydalanishadi.