O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

I BOB. TENZORLAR VA ULARNING XOSSALARI
1..1 Tenzor tushunchasiga olib keladigan fizik masala
Shunday fizik jarayonlar borki ulardagi tekshirilayotgan obyektning xarakteristikalari tenzor tushunchasiga olib keladi. Ravshanki obyektning xarakteristikasi invariantlik xususiyatga ega bo’lishi kerak, ya’ni koordinatalar sistemasini tanlashga bog’liq bo’lmasligi lozim. Fizikadagi skalyar miqdorlar turkumiga kiruvchi massa, zaryad va h.k. lar invariantligi o’z-o’zidan ravshan. Tezlik, tezlanish kabi miqdorlar vektor kattaliklar bo’lib, koordinata sitemasiga nisbatan uchlik son orqali beriladi va bu sonlar koordinatalarni burishda _{ } , _{ } qonuniyatlar bo’yicha o’zgaradi. Bu miqdorlarning invariantligi shu bilan ifodalanadiki vektor koordinatalario’zgargani bilan vektor yo’nalishga ega bo’lgan kesma, o’zgarmas bo’ladi.Fizikada skalyar va vektor miqdorlardan tashqari murakkabroq bo’lgan obyektlar ham uchraydi. Misol sifatida aylanma harakat qilayotgan jismning kinetik energiyasini hisoblashni ko’raylik.
Jism inersiya markaziga mahkamlangan bo’lib, _{ } burchak tezlik bilan aylanayotgan bo’lsin. Agar jismning zichligi _{ } bo’lsa,

_{ }dv (1.1.1)

Hajmiy integral kinetik energiyaga teng bo’ladi. Integral ostidagi vektor ko’paytmani yoyib Eynshteyn simvolikasidan foydalansak,

_{ }bo’ladi.

_{ }simvolni ishlatib

_{   }(_{ }-_{ }) , (1.1.2)

Ko’rinishda yozish mumkin. (1) va (2) ifodalarni kinetik energiya ifodasiga

qo’ysak,
E=_{ }, (1.1.3)

bo’ladi. Quyidagicha belgilash kiritib

_{ } (1.1.4)
(3) ni
E=_{   }, (1.1.5)
ko’rinishida yozish mumkin.
Shunday qilib, kinetik energiya burchak tezlikdan tashqari jismning inertlik xususiyatini aniqlovchi

( _{   } (1.1.6)

Matritsa ko’rinishdagi miqdorlarga ham bog’liq bo’ladi. _{ } miqdorlarning ma’nosini anglash uchun jism radiusi R ga teng bo’lgan shardan iborat va _{ } bo’lganda matritsa
( _{   } M_{ } (1.1.7)
ko’rinishda bo’ladi. Bu yerda M=_{ } shar massasi. (7) ga ko’ra (5) ni
E=_{ }M_{ },
ko’rinishda yoziladi, _{ }=_{ } M_{ } ga sharning inersiya momenti deyiladi, va u sferik ko’rinishdagi bir jinsli sharning aylanma harakatdagi inversion xarakteristikasini ifodalaydi.
Shuni qayd qilish kerakki, kinetik energiyaning ifodasi uning invariantligini ko’rsatadi, chunki bu ifodani tashkil etuvchilari skalyar miqdorlardir.
Umumiy holda _{ }ning ma’nosini anglash uchun yangi sistemaga o’tilganda bu miqdorlar qanday o’zgarishini kuzatish kerak. (_{ }) sistema (x,y,z) ni burishdan hosil qilingan bo’lsin:

_{ }=_{ }dv, (1.1.8)
Eski va yangi sistemalar _{ } qonuniyat bo’yicha bog’langan:
_{ }. (1.1.9

_{ } bo’lgani uchun (9) almashtirishning Yakobiani _{ }=1 bo’lgani uchun

_{ } (1.1.10) _{   } , (1.1.11)

Munosabatga kelamiz

_{   }(_{ })
_{ } ga ko’ra bundan
_{   } (1.1.12)
(12) dan koordinatalar sistemasini burishda energiyaning o’zgarmasligi, ya’ni invariantligini ifodalaydi. Shu bilan birga (11) ifoda jism inersiyasini aniqlovchi _{ } miqdorlarning koordinatalar sistemasini burishda qanday o’zgarishini ko’rsatadi.
_{ } miqdorlar jismning aylanma harakatida uning energiyasini ko’rsatuvchi kattalikdir. _{ }miqdorlarning majmuasi inersiya tenzori deb ataluvchi miqdorning koordinatalaridan biridir.