O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi ajiniyoz nomidagi nukus davlat pedagogika instituti ellikqal’a pedagogika fakulteti

Mavzuning o’rganish jarayoni .

Logarifmik va ko’rsatkichli tenglamalarningBunda avvalo nazariy qismi berildi. So’ngra misollar va ularni yechilishlari berilgan.

Ishning maqsad va vazifalari.

Nazariy bilimlarni amaliyotga tadbiqi va undan foydalanishni ko’rsatish.

Ob’yekti va predmeti.

Mavzuni ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar haqida ma’lumotlar va ularni hisoblashning ayrim usullari tashkil etadi. Predmeti o’quv adabiyotlari, darsliklardagi ma’lumotlar tashkil etadi.

Amaliy ahamiyati.

Kurs ishi mavzusi talabalarga uslubiy qo’llanma sifatida foydalanish mumkin.

Ishning tuzilishi.

Kurs ishiga kirish, 5 ta paragraf, xulosa va adabiyotlar ro’yxati berilgan.

1-§. Ko’rsatkichli tenglama

Ko‘rsatkichli tenglama tushunchasini tushuntirishdan oldin

o‘qituvchi o‘quvchilarga daraja, ko‘rsatkichli funksiya va ulaming xossalari haqidagi ma’ lumotlarni takrorlash, so‘ngra ko`rsatkichli funksiyaning ta’rifini berish lozim.

Ta`rif. Daraja ko‘rsatkichida noma ’lum miqdor qatnashgan tenglamalar ko‘rsatkichli tenglamalar deyiladi. Masalan, 3<sup>x</sup> = 2<sup>x-1</sup> , =0,7<sup>x-2</sup>- va hokazo. a<sup>x</sup> = b tenglama maktab matematika kursidagi eng sodda ko‘rsatkichli tenglamadir. Bu yerda a va b berilgan musbat sonlar bo`lib, а≠1 a> 0 bo`lishi kerak. x esa noma’ lum miqdordir. a^x=btenglama bitta yechimga egadir. Har qanday ko‘rsatkichlitenglama ayniy almashtirishlarni bajarish orqali algeb­

raik yoki a^x=b ko‘rinishdagi sodda holga keltirib yechimlari topiladi.

Ko’rsatkichli tenglamalarni yechish darajasi quyidagi xossalarga asoslanadi.

1. Agar o‘zaro ikkita teng darajaning asoslari teng bo’lsa, ularning daraja ko‘rsatkichlari ham o‘zaro teng bo’ladi.

Masalan, agar a^m =aⁿ bo’lsa, m=n bo’ladi, albatta bu yerda а≠0 va а≠ 1, a>0 bo’lishi kerak.

2. Agar o‘zaro teng darajaning ko‘rsatkichlari teng bo’lsa, u holda ularning asoslari ham teng bo’ladi, ya’ni a^m=b^m bo`lsa, u holda a= b bo’ladi. Maktab matematika kursidagi ko‘rsatkichli tenglamalar asoslarini tenglash, kvadrat tenglamaga keltirish, logarifmlash, yangi o ‘zgaruvchini kiritish va gruppalash usullari bilan yechiladi. Bu usullarni quyidagi misollar orqali ko‘rib chiqaylik.

1-misol.

36^x=tenglamani yeching.

Yechish.

Bu tenglama asoslarini tenglash yo’li orqali yechiladi:(36^x = 216^-1), (6^2x = 6^-3) = >(2x= -3) => (x = - )

Ushbu tenglamani logarifmlash usuli bilan ham yechish mumkin. Logarifm ta’rifiga ko‘ra:x=log₃₆() bundan x=log₃₆(216^-1)=-log₆(216)=- chunki log₆(216)=3 ga teng.

2-misol.

5^2x-5^x-600=0 tenglama yechilsin.

Yechish.

Bu tenglama yangi o‘zgaruvchikiritish usuli orqali kvadrat tenglamaga keltirib yechiladi. Agar y=5^x desak, berilgan tenglama y²-y-600=0

ko‘rinishni oladi.

Y_1,2 =₁=25 y₂=24

5^x=y yoki 5^x=25, 5^x=5², x=2

Javob: x = 2

3 - misol.

3^x2+1 + 3^x2-1 = 270 tenglamani yeching.

Yechish.

3^x3 + 3^x2 = 270, 3^x2 = у desak, 3y+y=270

yoki =270, bundan у =81, 3^x2 =81 yoki 3^x2 = 3⁴ bundan x²=4 va x₁=2 x₂=-

4 - misol.

5^2x-7^x-5^2x 35+7^x35=0 tenglamani yeching.

Yechish.

Tenglama guruppalash yo’li bilan yechiladi.

5^2x(1-35)=7^2x(1-35), 5^2x=7^x, x=0

5-misol.

^x+)^x=10tenglamani yeching.

Yechish.

Bu tenglamani yechishda()^x =1

ekanligidan foydalanamiz. Agar ( )^x= у desak, u holda

()^x= bo‘ladi, bu belgilashlarga ko‘ra tenglama quyidagicha ko‘rinishni oladi. у +=10 , bundan y²-10y+1=0 yoki y₁=5—2va y₂=5+2 ga ega bo‘lamiz.

a)-2 bo’lsin, u holda

=^-1 ,bundan =-1,x₁=-2

b)bo’lsin,u holda bundan ,x₁=2

Javob: x= -2 va x = 2

6 - misol.

100^x= 300 tenglama yechilsin.

Yechish.

Tenglikning ikkala tomonini 10 asosga ko‘ra logarifmlaymiz. xlgl00=lg300.

Bizga ma’ lumki, lgl00=2. Bu yerda lg300=lg(1003)= lgl00+lg3=2+lg3 kabi ayniy almashtirishlar bajaramiz. Bu almashtirishlarga ko‘ra berilgan tenglama x2=2+lg3 ko‘rinishni oladi. Bundan:

x= kelib chiqadi.

7 - m i s о I.

(2^3x- )-6(2^x - )=1

Yechish. Bu tenglamani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

(2^3x-)-6(2^x)-1=0

2^x- =y deb belgilasak, u holda

2^3x-

bo’ladi.

Bu almashtirishlarga ko'ra berilgan tenglama o`zgaruvchi y

ga nisbatan quyidagi ko'rinishni oladi: y (y²+ 6 )-6y-l =0 yoki y³=1,

y=1, -bundan

2^2x-2^x-2=0 bo’ladi. Agar 2^x=t desak, u holda tenglama t² -t -2 = 0 ko‘rinishni oladi. Uning yechimlari t₁=2,t₂=-1 bo’ladi. U holda 2^x=2 yoki x=1, 2^x=-1 tenglama yechimga ega emas.

Javob: x=l