|
2.2. Ikkinchi turdagi sirt integralining qo`sh integral orqali ifodalanishi.
Ō sirt tenglama bilan berilgan bo'lsin , bu erda funktsiya 2-misol, 1.2-bo'limda tuzilgan shartlarni qondiradi, ya'ni. OXY tekisligining chegaralangan D domenida aniqlangan, unda uzluksiz va birinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega. Yuqoridagidek, Ō sirtning T qismini aniqlaymiz va Ōk qismlarining OXY tekisligiga proyeksiyalarini Dk bilan belgilaymiz. Sirtda aniqlangan f(M) funksiyaning ikkinchi turdagi sirt integrali uchun integral yig’indini yozamiz. Sirtning yuqori tomoni uchun integral yig'indi quyidagi shaklga ega:
Mk nuqta sirtda yotishini hisobga olsak, ya'ni. , tenglik (8) quyidagicha qayta yozilishi mumkin:
qo'sh integral uchun integral yig'indisi:
ning chegarasiga o'tib , biz quyidagilarni olamiz:
Sirtning pastki tomoni uchun formula (2') bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:
Xuddi shunday formulalarni integrallar uchun ham yozish mumkin
Stokes formulasi Grin formulasini fazoviy egri chiziq holatiga umumlashtiradi. U Ō sirt ustidagi sirt integrali bilan uning chegarasidagi ikkinchi turdagi egri chiziqli integrali o'rtasida bog'lanishni o'rnatadi.
1.2-bo'limdagi (3) munosabatlari (u, v) o'zgaruvchilar tekisligida ∆ chegaralangan sohada parametrik ravishda Ō sirt berilsin:
.. _
bundan tashqari, bu funksiyalar silliqlik shartlarini qondiradi
Sirtning ma'lum bir tomonini tanlaymiz Ō, masalan, Ō sirtning G(Ō) chegarasini chetlab o'tishning musbat yo'nalishi o'zgaruvchilar tekisligida G( Ō) chegaraning musbat chetiga mos keladigan tomon. ∆) domenning ∆ (ya'ni, nuqta Ō sirt chegarasi bo'ylab musbat yo'nalishda harakat qilganda, uning mintaqa chegarasiga proyeksiyasi ∆ soat miliga teskari yo'nalishda harakat qiladi ) .
Ō sirtida (uning ba'zi qo'shnilari bilan birga) funktsiya aniqlangan, uzluksiz va uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin.
Egri chiziq bo'ylab ushbu funktsiyaning ikkinchi turdagi egri chiziqli integralini ko'rib chiqing . Munosabatlardan foydalanish (3) 1.2-bet. va kompleks funktsiyaning differentsial formulasini olamiz:
Egri chiziq va u bilan chegaralangan ∆ mintaqa tekislikda yotadi , shuning uchun Grin formulasini (1) integrallarga qo'llash mumkin:
Funksiyalarga yuklangan shartlarda tenglik to'g'ri bo'ladi: . Keyin (2) dan olamiz
qayerda ,
Endi 1.3-bo'limdagi (10) va (7) formulalarga muvofiq. nihoyat olamiz
Tenglamalarni shunga o'xshash tarzda olish mumkin :
( (3) - (5) tengliklarda cosa, cosb, cosy kattaliklar normal vektorning sirtga yo'nalishi kosinuslaridir ).
(3) - (5) munosabatlarni qo'shib, biz Stokes formulasini olamiz:
Stokes formulasini birinchi turdagi sirt integralida ham yozish mumkin:
Izoh 1. Vektor rotor yoki vektor funksiyaning girdobi deb ataladi Rotorning komponentlarini determinant yordamida ifodalash qulay:
Rotor tushunchasidan foydalanib, Stokes formulasi qisqaroq yoziladi:
va vektorning sirkulyatsiyasini uning rotorining sirt integrali bilan ifodalaydi.
(Kalinin V.V., Petrova I.V. K 18 Neft va gaz ta’limida matematika asosida. Nazariya va vazifalar: Darslik. - M .: Gubkin nomidagi Rossiya davlat neft va gaz universiteti, 2005 yil. 3-son 2-qism: Koʻplik, egri chiziqli va sirt integrallari - 161-165c)
Faraz qilaylik, mintaqada ( V ) qandaydir R ( x , y , z ) funksiya aniqlangan bo'lib, u butun mintaqada ( V ) hosilasi bilan birga uzluksiz bo'lib, uning chegarasi ham mavjud. Keyin formula o'zini tutadi
,
bu yerda ( S ) - jismni chegaralovchi sirt va o'ngdagi integral uning tashqi tomoniga cho'zilgan.
Haqiqatan ham,
Agar sirt integrallarini hisobga oladigan bo'lsak, formulalar yordamida
bu erda o'ngdagi integrallarning birinchisi sirtning yuqori tomoniga , ikkinchisi esa sirtning pastki tomoniga cho'zilgan . Agar uning o'ng tomoniga integral qo'shsak, tenglik buzilmaydi
sirtning tashqi tomoniga cho'zilgan, chunki bu integral nolga teng. Barcha uchta sirt integralini birlashtirib, biz Ostrogradskiy formulasiga erishamiz.
Formula (1) o'rganilayotgan turdagi qismlarga parchalanishi mumkin bo'lgan kengroq sinf jismlari uchun to'g'ri ekanligini tushunish oson. Bundan tashqari, formula (1) ixtiyoriy bo'lak-bo'lak silliq yuzalar bilan chegaralangan jismlar uchun umuman amal qilishini isbotlash mumkin.
Formula (1)ga o'xshab, formulalar ham sodir bo'ladi:
P va Q funksiyalar hosilalari bilan birga ( V ) sohada uzluksiz bo lsa va .
Barcha uchta formulani (1), (2), (3) qo'shib, biz umumiy Ostrogradskiy formulasiga kelamiz:
U yopiq sirtning tashqi tomoniga cho'zilgan ikkinchi turdagi umumiy sirt integralini, bu sirt bilan chegaralangan jism ustidan olingan uch karrali integral orqali ifodalaydi.
Agar biz birinchi turdagi sirt integrallarini hisobga olsak, biz Ostrogradskiy formulasining boshqa, juda keng tarqalgan va oson esda qoladigan shaklini olamiz:
Bu yerda , , koordinata o'qlari bilan sirtga normal tashqi ( S ) tomonidan hosil qilingan burchaklar.
Fixtengolts G. M. Differensial va integral hisoblash kursi asosida . V.2. Sankt-Peterburg: Lan, 1997 - 340 - 342s)
Do'stlaringiz bilan baham: |
