O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va Kommunikatsiyalarini rivojlantirish Vazirligi Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti. Ehtimollar nazariyasi va statistika Mustaqil ish 2

O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va
Kommunikatsiyalarini rivojlantirish Vazirligi
Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi
Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti.

Ehtimollar nazariyasi va statistika


Mustaqil ish 2

Bajardi:Ganiboyev Dilshod

Tashkent 2022


KO'P O'LCHOVLI REGRESSIYA
Ko'p o'lchovli chiziqli regressiya vazifasida kuzatilgan moddiy miqdorning (noma'lum maqsadli funktsiyaning qiymati bo'lgan) y ning, moddiy xususiyatlarining to'plamidan noma'lum qaramligini tiklash talab etiladi

Odatda, har bir alohida kuzatish uchun xususiyat qiymatlari va maqsadli funktsiya qayd etiladi. Keyin barcha kuzatishlar uchun belgilar qiymatlaridan X belgisi matritsasini va maqsadli funktsiyaning qiymatlaridan — y qiymatlarining vektorini yaratishingiz mumkin:

Bu erda xi - ba'zi maxsus kuzatish. Shunday qilib, bizning matritsamizning satrlari kuzatishlarga mos keladi va ustunlar belgilar va umumiy kuzatuv soni va shuning uchun matritsadagi qatorlar n hisoblanadi.
Misol uchun, maqsad funktsiyasi ma'lum bir kunda harorat qiymati bo'lishi mumkin. Belgilari-geografik qo'shni nuqtalarda oldingi kunlarda harorat qiymatlari. Yana bir misol-yana bir omil sifatida oddiy holda, valyuta kursi yoki ulushi narxi bashorat qilish, o'tmishda bir xil qiymatini harakat qilishi mumkin. Ko'p kuzatishlar maqsadli qiymatlarni va turli vaqtlarda tegishli belgilarni hisoblash orqali hosil bo'ladi.
Muammoni hal qilish uchun ning hal qiluvchi xususiyatini yaratish kerak. Endi biz lineer regressiya vazifasi haqida gapiramiz, shuning uchun hal qiluvchi funktsiyani lineer deb hisoblaymiz. Aslida, bu hal qiluvchi funktsiya faqat tarozi vektoriga ishora vektorining skalar asaridir:

Shuning uchun, bizning vazifamizning echimi -

Ko'p o'lchovli chiziqli qaramlikni tasvirlash uchun grafik jihatdan juda qiyin (boshlash uchun, belgilarning 100 o'lchamli maydonini tasavvur qiling...) biroq, bir o'lchovli ish uchun tasvirlar nima sodir bo'lishini tushunish uchun etarli. Ushbu misolni Vikipediyadan olamiz:

Mashinani o'rganish vazifasini shakllantirishni tugatish uchun, faqat ma'lum bir hal qiluvchi funktsiyaning maqsadli funktsiyaning qiymatlarini qanday bashorat qilishini savolga javob beradigan yo'qotish funksiyasini ko'rsatish kerak. Endi biz regression tahlil qilish uchun an'anaviy o'rtacha kvadrat funktsional yo'qotishlardan foydalanamiz:

Shunday qilib, ko'p o'lchovli chiziqli regressiya vazifasi w og'irliklari to'plamini topishdir, shuning uchun yo'qotish funktsiyasining qiymati uning minimal darajasiga etadi.
Tahlil qilish uchun, odatda, radikal va yo'qotish funktsiyalarida o'rtacha qiymatdan voz kechish qulay:

Keyinchalik taqdim etish uchun tegishli omillar to'plamlari bilan kuzatishlarni aniqlash qulay bo'ladi:

Zararning funksionalligi endi skalar kvadratiga o'xshab yoziladi: bashorat vektori Xw deb yozilishi mumkin va to'g'ri javoblardan og'ish vektori Xw — y kabi. Keyin:

Fiktiv o’zgaruvchilari son bilan o’lchanmaydigan o’zgaruvchilarni modelga qo’shishning o’ziga xos xususiyatlari.Tasodifiy miqdorlar
Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari

Ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.

Ta’rif. Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo’lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi.
Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari (yoki grek alifbosining kichik harflari (ksi), (eta), (dzeta),…) bilan, qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar bilan belgilanadi.
Amaliyotda asosan 2 xildagi tasodifiy miqdorlar bilan ish ko’riladi:Dikret va uzluksiz.
Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) ta o’q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) asbobning beto’xtov ishlash vaqti; 4) kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) bir kunda tug’iladigan chaqaloqlar soni va h.k.
Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlar qabul qilsa, bunday tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi.
Ta’rif. Chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan miqdorga uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi.
Endi tasodifiy miqdorni qat’iy ta’rifini keltiramiz .
Ta’rif. elementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli funktsiya tasodifiy miqdor deyiladi, agar har bir elementar hodisaga conni mos qo’ysa, ya’ni .
Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo’lsin. Elementar hodisalar fazosi bo’ladi. gerb chiqishlari soni bo’lsin, u holda tasodifiy miqdor qabul qiladigan qiymatlari:

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunlari

diskret tasodifiy miqdor bo’lsin. tasodifiy miqdor qiymatlarni mos ehtimollar bilan qabul qilsin:

…
…

…
…
Yuqoridagi jadval diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunini ko’rinishda ham yozish mumkin.
hodisalar birgalikda bo’lmaganligi uchun ular to’la guruhni tashkil etadi va ularning ehtimollari yig’indisi birga teng bo’ladi, ya’ni

Ta’rif. tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi, agar chekli yoki sanoqli to’plam bo’lib, va tenglik o’rinli bo’lsa.

Ta’rif. va diskret tasodifiy miqdorlar bog’liqsiz deyiladi, agar va hodisalar va da bog’liqsiz bo’lsa, ya’ni
1-misol. 10 ta lotereya biletida 2 tasi yutuqli bo’lsa, tavakkaliga olingan 3 ta lotereya biletlari ichida yutuqlilari soni tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.
Yechish. tasodifiy miqdorni qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlari Bu qiymatlarning mos ehtimollari esa

.
tasodifiy miqdor taqsimot qonunini jadval ko’rinishida yozamiz:

0 1 2
Binomial taqsimot qonuni.

Ta’rif. diskret tasodifiy miqdor binomial qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar u qiymatlarni

ehtimol bilan qabul qilsa, bu yerda

Binomial qonun bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

0 1 2 …
…

…
…
Nyuton binomiga asosan Bunday taqsimotni orqali belgilaymiz.
Uning taqsimot funktsiyasi quyidagicha bo’ladi:

Geometrik taqsimot qonuni.

Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni

ehtimol bilan qabul qilsa, u geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi, bu yerda

Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdorlarga misol sifatida quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o’qlar soni va h.k.
Geometrik qonun bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

0 1 2 …

…
…
,
chunki ehtimollar geometrik progressiyani tashkil etadi: Shuning uchun yuqoridagi taqsimot geometrik taqsimot deyiladi va orqali belgilanadi.
Uning taqsimot funktsiyasi quyidagicha bo’ladi:

Puasson taqsimot qonuni

Ta’rif. Agar tasodifiy miqdor qiymatlarni

ehtimol bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi, bu yerda biror musbat son.

Puasson qonuni bo’yicha taqsimlangan diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishga ega:

0 1 2 …
…

…
…
Teylor yoyilmasiga asosan, Bu taqsimotni orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funktsiyasi quyidagicha bo’ladi:
Diskret tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari

Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va xossalari.

diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilgan bo’lsin:

Ta’rif. tasodifiy miqdorning matematik kutilishi deb, qator yig’indisiga aytiladi va orqali belgilanadi.

Demak,
Matematik kutilishning ma’nosi shuki, u tasodifiy miqdor o’rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda

Matematik kutilishning xossalari:

1. O’zgarmas sonning matematik kutilishi shu sonning o’ziga teng, ya’ni

2. O’zgarmas ko’paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni

3. Yig’indining matematik kutilishi matematik kutilishlar yig’indisiga teng, ya’ni

4. Agar bo’lsa, u holda

2-misol. diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilgan bo’lsa, tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.

500 50 10 1 0

0,01 0,05 0,1 0,15 0,69

Yechish.

Diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi va xossalari.
Ta’rif. tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb, ifodaga aytiladi.
Dispersiya belgilanadi. Demak,
Agar dickret tasodifiy miqdor bo’lsa,

Tasodifiy miqdorning dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir:

Dispersiyaning xossalari:
1. O’zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng, ya’ni
2. O’zgarmas ko’paytuvchini kvadratga ko’tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, ya’ni
3. Agar bo’lsa,

-1 0 1 2

0,2 0,1 0,3 0,4
3-misol. diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
va larni hisoblang.
Yechish.

O’rtacha kvadratik chetlanish.

Ta’rif. tasodifiy miqdorning o’rtacha kvadratik tarqoqligi (standart chetlashishi) deb dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi:

Dispersiyaning xossalaridan o’rtacha kvadratik tarqoqlikning xossalari kelib chiqadi:

1.
2.
Binomial taqsimotning sonli xarakteristikalari:

Geometrik taqsimotning sonli xarakteristikalari:

Puasson taqsimotining sonli xarakteristikalari:

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Аbdushukurov А.А. Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi, O‗zMU, 2006.
2. Аbdushukurov А.А., Azlarov T.A., Djamirzayev A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan misol va masalalar to‗plami. Toshkent «Universitet», 2003.
3. Azlarov T.A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan Inglizcha-ruscha-o‗zbekcha lug‗at. Toshkent: «Universitet», 2005.
4. Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi. Ma‘ruzalar matni. Toshkent: «Universitet», 2000.
5. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. - 2-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
6. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах М.: 2003.
7. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. М.: Высшая школа, 1984.