O`zbekiston respublikasi aloqa, axborotlashtirish va telekommunikatsiya texnologiyalari davlat ko`mitasi toshkent axborot texnologiyalari universiteti nukus

2.5. Sonli differensiallash va differensial hisoblash uchun dasturlar tuzish

Eyler usulining ishchi algoritmi ishlab shiqish
Bizga quyidagi birinchi tartibli differensial tenglama(Koshi masalasi)ni
y’f(x,y) (2)
[a,b] oraliqdagi y₀y(x₀), x₀a boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bolsin.
Koshi masalasini Eyler usuli yordamida yechish uchun, dastlab differensial tenglamaning yechimi qidiriladigan [a,b] kesmani x₁,x₂,...x_n tugun nuqtalar bilan bolaklarga bolamiz. Tugun nuqtalarning koordinatalari x_i1a(i1)h (i0..n-1) formula orqali aniqlanadi. Har bir tugunda y(x_i) yechimning qiymatlarini chekli ayirmalar yordamida taqribiy y_i qiymatlar bilan almashtiriladi.
(2) differensial tenglamani x_i nuqta uchun yozib y^’(x_i) f(x_i, y(x_i)) olib,

y^' (x_i ) _ y(x^i1) ^{y(xi )} chekli ayirmali formuladan foydalanamiz va natijada quyidagi h
Eyler formulasiga ega bo’lamiz:
y(x_i1)  y(x_i )  h f (x_i, y(x_i ))

_x_i1  x_i  h, i  0,1, 2,.......n

Ma’lumki, yf(x) funksiyaning xx₀ nuqta atrofidagi Teylor qatoriga yoyilmasini quyidagicha yozish mumkin:
Ushbu cheksiz qatorning boshidagi ikkita qad bilan chegaralanib, birinchi tartibli hosila qatnashgan hadni aniqlash natijasida quyidagi chekli ayirmali formulani hosil qilamiz:
y'(xi )  y(xi1)  y(xi ) (3) h
Ushbu almashtirishning geometrik ma’nosi quyidagicha:
Hosilaning geometrik ma’nosiga ko’ra

y'(x_i )  tg_ ^ED _ ^ED
AD h

(3) dan y'(xi )  yi1 yi  BD  ED BE  y'(xi )  BE Demak, chekli ayirmalar h h h h h
formulasi hosilaning asl qiymatidan BE / h ga farq qiladi, ya’ni BE qancha kichik bo’lsa, chekli ayirma y’ hosilaga shuncha yaqin bo’ladi. Rasmdan h0da BE 0 ekanini ko’rish mumkin. (2) va (3) dan y'_i  f (x_i, y_i ) ekanini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:
y'_i1  y_i1 h f (x_i, y_i) (4)
Hosil qilingan (4) formula Eyler usulining asosiy ishchi formulasi bo’lib, uning yordamida tugun nuqtalarga mos bo’lgan differensial tenglamaning y_i xususiy yechimlarini topish mumkin. Yuqoridagi formuladan ko’rinib turibdiki, y_i1 yechimni topish uchun y_i yechimnigina bilish kifoya. Demak, Eyler usuli bir qadamli usullar jumlasiga kiradi.
Eyler usulining geometrik ma’nosi quyidagicha:
A nuqta xx

nuqtadan integral chiziqqa o’tkazilgan urinma x_i1
nuqtada boshqa integral chizig’ida y_i1 yechimni
● _● aniqlaydi.