O’zbekiston aloqa va axborotlashtirish agentligi toshkent axborot texnologiyalari universiteti samarqand filiali

7. Tenglamalar sistemasini yeching: 
 


































i
z
z
i
i
z
i
z
i
z
i
z
i
z
z
i
i
z
i
iz
i
z
i
iz
2
1
5
)
2
4
(
)
2
(
2
   
c)
;
 
3
)
3
3
(
2
3
)
1
(
 
b)
  
;
    
3
5
)
2
3
(
2
2
2
)
1
(
    
a)
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
 
8. Hisoblang: 
a) i 
4
+i 
14
+i 
24
+i 
34
+i 
44
;  b) i+i 
2
+i 
3
+…i 
n
, n > 4;  c) i

i 
2

i 
3

i 
4
…i 
50
. 
9. 
2
3
2
1
i




 bo’lganda quyidagilarni hisoblang: 
a) 
)
)(
(
2
2




c
b
a
c
b
a




; b) 
)
)(
)(
(
2


b
a
b
a
b
a



;  
c)
3
2
3
2
)
(
)
(




c
b
a
c
b
a





.  
10. Tenglamani yeching: 
i
i
iz
i
z
i
7
1
)
4
3
)(
1
(
)
2
1
)(
(







;   b) 
0
2

 z
z
;  
c) 
i
iz
z
i




2
3
)
1
(
;                       d) 
i
z
z
z
z
3
4
)
(
3




; 

 
48 
e) 
7
)
(
3



z
z
z
z
;                          f) 
i
z
z
z
z
3
)
(
3



. 
11. Hisoblang: 
 
i
2
;  b) 
i
8

;  c) 
i
4
3 
; d) 
i
8
15 

; e) 
i
60
11

;  
f) 
i
6
8 

;  q) 
i
3
2 
; h) 
3
1 i

; i) 
4
12
2
i

; j) 
4
1
 . 
12. Tenglamani yeching: 
0
)
7
1
(
)
2
(
2






i
x
i
x
;          b) 
0
)
5
5
(
)
2
3
(
2





i
x
i
x
; 
с) 
0
)
2
2
(
)
5
(
)
2
(
2






i
x
i
x
i
;   d) 
0
25
6
2
4


 x
x
;   
e) 
0
289
34
2
4



x
x
;                       f) 
0
5
1
)
3
4
(
2





i
x
i
x
;    
g) 
0
9
5
2


 x
x
;                               h) 
0
1
2




i
x
x
. 
 
13. Quyidagi kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalarni yasang:  
1; 1; i; - i; 1 + i;  2  3i;   6 + 3i;  cos 30  i sin30;  cos 150 + i sin150. 
 
14. Kompleks tekislikda berilgan   z
1
, z
2
, z
3  
 nuqtalar parallelogramning ketma-
ket uchlaridan iborat. Bu parallelogramning to’rtinchi uchini toping. 
 
15. Kompleks tekislikda   z
1 
= 6 + 8i, z
2 
= 4  3i  nuqtalar berilgan. 
 z
1
  va  z
2
  vektorlar  hosil  qilgan  burchak  bissektrisasining  nuqtalariga  mos  keluvchi 
kompleks sonlarni toping. 
 
16. Tenglamani yeching:   
  
a) 
i
z
i
z
2
1 


;                b) 
0
3
2

 z
z
;                   c) 
0
2
2

 z
z
. 
 
17. Tenglamalar sistemasini yeching: 
i
z
z
i
i
z







2
3
1
. 
 
18. Tenglamalar sistemasini yeching: 









.
10
5
9
3
      
2
1
i
z
z
z
z
 
 
19. Quyidagi nuqtalarga mos kompleks sonlarni toping:  
a)  markazi  koordinatalar  boshida,  tomonlari  koordinata  o’qlariga  parallel  va 
tomonlarining uzunligi 1 ga teng bo’lgan kvadratning uchlariga; 
b)  markazi  koordinatalar  boshida,  bir  tomoni  ordinata  o’qiga  parallel,  bitta  uchi 
manfiy  haqiqiy  yarim  o’qda  joylashgan  va  tashqi  chizilgan  aylana  radiusi  1  ga  teng 
bo’lgan muntazam uchburchakning uchlariga; 

 
49 
c) markazi 
3
2
i

 nuqtaga joylashgan, tomonlaridan biri abssissa o’qiga parallel va 
tashqi  chizilgan  aylana  radiusi  2  ga  teng  bo’lgan  muntazam  oltiburchakning 
uchlariga. 
 
20.  Tekislikda  quyidagi  shartlarni  qanoatlanturvchi  z  kompleks  sonlarga  mos 
keladigan nuqtalar to’plamini tasvirlang: 
1

z
; b) 
3


z
g
ar
; c) 
2

z
; d) 
1
1



i
z
; e) 
5
4
3



i
z
;  
f) 
5
3

 z
; g)
2
2
1



i
z
; h) 
6


z
g
ar
; i) 
1
Re

z
;  
j) 
0
1



iz
e
R
; k) 
1
Im

z
;  l) 
1


z
m
I
z
e
R
; m) 
3
1
1




z
z
;  
n) 
3
2
2




z
z
; o) 
2
2



z
e
R
z
 ; p) 
.
1
1
z
z



 
 
21. 
1
1



i
z
  shartni  qanoatlantiruvchi    z    kompleks  sonlar  ichidan  eng 
kichik musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping. 
 
22. 
3
5 
 i
z
 shartni qanoatlantiruvchi  z  kompleks sonlar ichidan eng kichik 
musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping. 
 
23. Oxy tekislikdagi qanday 
M(x,y)  nuqtalar uchun quyidagi tengliklar o’rinli:  
a) 
3
2
2




y
x
i
y
x
.              b) 
10
4
4
2




y
i
x
? 
 
24. Kompleks son moduli va argumentini unga qo’shma bo’lgan son moduli va 
argumenti orqali ifodalang. 
 
25. A va B nuqtalar  Oxy  tekislikda mos ravishda  a = 6 + 8i  va  
b = 4  3i sonlarni ifodalaydi. Hech bo’lmaganda bitta shunday c soni topingki, unga 
mos keluvchi  C  nuqta  AOB  burchakning bissektrisasida yotsin. 
26. Qanday shartlar bajarilganda:  
a) 
2
1
2
1
z
z
z
z



;  b) 
2
1
2
1
z
z
z
z



? 
27*. (-1) dan farqli va  moduli 1 ga teng bo’lgan har qanday z kompleks sonni  
ti
ti
z



1
1
,  bunda  
R

t
,  shaklda tasvirlash mumkinligini isbotlang. 
28. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:  

 
50 
a) 7;   b) i;   c) 3; d) 5i; e) 1+ i
3 ; f) 1+ i 3  g)1 i 3 ; h) 3 + i;  
i) 
3 + i;  j)  3  i;  k)  3  i; l) 1+ i
3
3
;  
29. Kompleks sonlarni algebraik va trigonometrik shaklga keltiring:  
a) 
6
6
3
5
3
5
р
n
isi
р
s
co
р)
n
isi
р
s
i(co


;      b) 


3
4
3
4
1
n
isi
s
co

;             c) 
2
1 i)
(
i

;    
d) 
12
13
12
13
12
5
12
5




n
isi
s
co
n
isi
s
co



;    e) 
i
)
i
)(
р
n
isi
р
s
(co
3
3
2
1
3
3


. 
 
30. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:  
a) 
)
n
isi
s
(co
)i
n
isi
s
(co
0
0
0
0
40
40
3
100
100
5


;  
 
 b) 
1
5
2
1
5
2



i
р)
s
co
i(
р
n
si
. 
 
31.  Ayniyatni  isbotlang: 
)
(
2
2
2
2
2
y
x
y
x
y
x





.  Bu  ayniyat  qanday 
geometrik ma’noga ega? 
32. Hisoblang: a) 
20
1
3
1










i
i
; b) 
24
2
3
1










i
;  
c) 








20
15
20
15
1
3
1
1
3
1
i
i
i
i







; d) 




N





n
i
i
n
n
    
,
1
1
1
2
1
2
; e) 


4
1 i
tg
z


;   
         33. Isbotlang: 
n
itg
n
itg
itg
itg
n















1
1
1
1
. 
34. Agar 

s
co
z
z
2
1


 bo’lsa, 

m
s
co
z
z
m
m
2
1


 bo’lishini isbotlang. 
35. 


n


1
 ifodani soddalashtiring, bu yerda 



3
2
3
2
in
s
i
s
co


. 
36. Ildizning qiymatlarini trigonometrik shaklda yozing:  
a) 
6
i ;  
b) 


10
3
1
512
i

;  c) 


8
1
2
8
i

. 

 
51 
37. Ildizning qiymatlarini algebraik shaklda yozing:  
a) 
3
1;  b) 
4
1;  c) 
6
1;  d) 
3
i ;  e) 
4
4

;  f) 
6
64 ;  g) 
8
16 ;  h) 
6
27

;   
i) 
4
8
3
8

i
;  j) 


4
3
1
72
i


;   k) 
3
1 i
 ;  l) 
3
2
2
i

; m) 
3
3
24
8
i
i


;   
n) 
3
2
54
27
i
i


;   o) 
4
3
1
18
i


; p) 


4
3
1
9
32
i


. 
38. Tenglamani yeching: a) 
0
3
1
5



i
z
; b) 
0
64
6


z
. 
39. 
i
12
5 
  va 
i
12
5 
  sonlarning  haqiqiy  qismlari  manfiy  bo’lgan  holda 
i
i
i
i
z
12
5
12
5
12
5
12
5







 sonning algebraik shaklini yozing. 
Mustaqil yechish uchun berilgan misol va masalalarning javoblari 
1. а) 
i
7
3 
; 
i
7
22 

; b) 
i
i
24
21
  
;
10
8



; c) 10; 28.  2. a) 
i
i
2
1
  
;
2
4


; b) 

 

2
  
;
3
6
2
1
i



; c) 
i
b
a
b
a
b
a
b
a
i
b




2
2
2
2
   
,
2
; 
3. a) 
i
17
7 
; b) 
i
11
10 
; c) 
i
5
14 
; d) 
i

5
; e) 
i
2
1
2
13

;  f) 
i
5
27
5
11

; 
d) 4;  h) 52 i;  i) 2;   j) 1.4. a) –2;   b) 0. 5. a) 0;   b) 
17
11

. 
7. a) 
i
,    z
z



1
2
2
1
; b) ; c) 


2
2
2
1
i
z
i
z



. 8. a) 1; b) 0,  agar  
n = 4

;  i,  agar n = 4

 + 1; i-1, agar  n = 4

 + 2; -1, agar n = 4

 + 3; c) – i.  
 9. a) a
2 
+ b
2 
+ c
2 
- (ab + bc + ac);  b) a
3 
+ b
3
;  
c) 

 

.
12
3
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
abc
b
c
a
c
c
b
a
b
c
a
b
a
c
b
a









 
10. a)
i

1
; b) 
1
0 
,
, 
i
2
3
2
1

; c) 
i
; d) 
i
z
2
1
2
15
1


,
i
z
2
1
2
15
2


; 
e) 


2
6
7
  
,
1
7
|
x
x
y
x
yi
x








 ; f) , 11. a) 


i

 1
;  
b) 


i
2
2 

; c) 


i

 2
; d) 


i
4
1 

; e) 


i
6
5 

; f) 


i
3
1 

;  
g) 












2
2
13
2
2
13
i
;                         h) 










2
1
2
3
i
;  

 
52 
 i) 
3
,
2
,
1
,
0
  
,
2
3
1
2
3
1














i
i
;               j)


2
1
2
i


. 
12. a) x
1 
= 3 - i;  x
2 
= -1 + 2i ; b) x
1 
= 2 + i,  x
2 
= 1 - 3i;  c) x
1 
= 1 - i;  ;  
d) x
1 
= 2-i, x
2 
= -2+i, x
3 
= 2+i,  x
4 
= -2 - i; e) 
17
2
1
i
x
x


, 
17
4
3
i
x
x



;  
f) x
1 
= 3+2i, x
2 
= 1+i; g) 
i
x
2
11
2
5
1



, 
i
x
2
11
2
5
2



; h) x
1 
= -i,  x
2 
= -1+i. 14. z
4 
=  z
1
+z
3 
-  2z
2
.  15. 


i
t

7
,  t  –ixtiyoriy  musbat  son.  16.  a) 
i
2
3
2 
;  0,    3i,  -3i;  c)  bi, 
R

b
.  17. 
i
6
5
6
7

  .18. 
i
4
17
2
3


; 
i
2
2
3


.19.  a) 
i
2
1
2
1


;    b)  -1, 
2
3
2
1
i

;    c) 
3
4
i

, 
3
2
2
i

, 
3
2
1
i

, 
3
  
,
1
  
,
3
i
. 
21. 
i. 
22. 
i
5
16
5
12

. 
24. 
z
g
ar
z
g
ar
z
z



   
,
.25.  с  =  7+i,  C(7,1).26.  a)  argz
1 
=  argz
2; 
b)  argz
1 
=  -argz
2
, 
2
1
z
z 
.  28. a)


0
0
7
in
s
i
s
co

; b) 







2
2


in
s
i
s
co
; c) 




in
s
i
s
co

3
;  
d) 







2
3
2
3
5


in
s
i
s
co
; e) 







3
3
2


in
s
i
s
co
; f) 







3
2
3
2
2


in
s
i
s
co
;  
g) 





















3
3
2


in
s
i
s
co
; h) 







6
6
2


in
s
i
s
co
;  
i)









6
5
6
5
2
in
s
i
s
co
;j)























6
5
6
5
2
in
s
i
s
co
; 
k)





















6
6
2


in
s
i
s
co
;   l) 







6
6
3
2


in
s
i
s
co
;