O‘zbekisòÎn respublikàsi îliy và O‘RÒÀ ÌÀÕsus òÀ’LIÌ VÀzirligi o‘RÒÀ ÌÀÕsus, KÀsb-hunàR ÒÀ’LIÌI ÌÀRKÀZI

Ì à s h q l à r
6.9.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
8
3
3
6
1
x
x
x
x
dx
-
+ +
ò
;      2) 
2
36
dx
x
+
ò
;
      3) 
2
9
25
dx
x
+
ò
;
4) 
2
1 25
dx
x
-
ò
;
     5) 
cos 4
xdx
ò
;       6) 
2
cos (5
6)
dx
x
-
ò
.
6.10.
 Intågràllàrni àlgåbràik yig‘indigà àjràtish yo‘li bilàn tîping:
1) 
8
3
3
6
1
x
x
x
x
dx
-
+ +
ò
;
2) 
3
5
4
2
2
7
5
4
x
x
x
x
x x
dx
+
-
+
ò
;
3) 
2
sin 5
xdx
ò
;
4) 
2
cos 5
xdx
ò
;
5) 
sin 3 cos 3
x
xdx
ò
;
6) 
cos18 sin16
x
xdx
ò
;
7) 
sin 22 sin 2
x
xdx
ò
;
8) 
cos 6 cos 3
x
xdx
ò
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

252
6.11.
  Intågràllàrni  o‘zgàruvchilàrning  àlmàshtirish  usulini
qo‘llàb, hisîblàng:
1) 
7
(5
6)
x
dx
-
ò
;
   2) 
16
11
x
dx
+
ò
;
  3) 
4
5
16
xdx
x
-
ò
;
4) 
sin 4
xdx
ò
;
5) 
cos 2
xdx
ò
;
6) 
2
sin (6
1)
dx
x
-
ò
;
7) 
2
2
sin 8 cos 8
dx
x
x
ò
;             8)
2
(sin
cos )
x
x
dx
-
ò
;
9)
2
16 6
7
dx
x
x
-
-
ò
;                 10) 
2
6
17
dx
x
x
-
+
ò
.
6.12.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
2
6
1
x dx
x
+
ò
;
2) 
8
18
1
x dx
x
-
ò
;            3)  
2
3
sin(
)
x
x
dx
ò
;
4) 
2
3
(3
1) cos(
1)
x
x
x
dx
+
+ -
ò
;            5) 
8
2
arcsin
1
xdx
x
-
ò
;
6) 
4
2
arctg 3
1 9
xdx
x
+
ò
;
7) 
4
2
ctg 9
sin 9
xdx
x
ò
;        8) 
5
sin 8
cos 8
x
xdx
×
ò
.
4.  Bo‘làklàb  intågràllàsh.
 
u
  = 
u
(
x
)  và 
v
  = 
v
(
x
)  funksiyalàr
diffårånsiàllànuvchi funksiyalàr
 
bo‘lsin. Bizgà mà’lumki,
d
(
u
v
)
 = 
ud
v
 + 
v
du                  
 
             (1)
bo‘làdi. (1) ni intågràllàb,
 
u
ud
du
=
+
ò
ò
v
v
v
yoki
ud
u
du
=
-
ò
ò
v
v
v
                                            (2)
ni hîsil qilàmiz.
(2) fîrmulà 
bo‘làklàb intågràllàsh
 fîrmulàsi dåyilàdi.
(2) fîrmulà 
ud
ò
v
 intågràlni undàn sîddàrîq bo‘lgàn 
du
ò
v
intågràlni intågràllàshgà kåltiràdi
1 - m i s î l .  
sin
x
xdx
ò
 intågràlni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .  
u 
= 
x,  d
v
 
= 
sin
xdx 
dåb  fàràz  qilsàk, 
u
 = 
x
  ning
diffårånsiàli 
du 
= 
dx
 gà, 
d
v
 
= 
sin
xdx
 ning ikkàlà tîmînini intågràllàsàk
v
 
= -
cos
x 
gà egà bo‘làmiz. Òîpilgànlàrni (2) fîrmulàgà qo‘ysàk:
sin
cos
cos
cos
sin
x
xdx
x
x
xdx
x
x
x C
= -
+
= -
+
+
ò
ò
.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

253
2 - m i s î l .  
x
xe dx
ò
 intågràlni  hisîblàymiz .
Y e c h i s h .  
u 
= 
x
,
 d
v
 
= 
e
x
dx 
dåb îlàmiz. Bundàn 
du 
= 
dx, 
v
 
= 
e
x
.
(2) fîrmulàgà àsîsàn
x
x
x
x
x
xe dx
xe
e dx
xe
e
C
=
-
=
-
+
ò
ò
.
Bo‘làklàb intågràllàsh usuli o‘zgàruvchilàrni àlmàshtirish usuligà
nisbàtàn qo‘llàsh sîhàsi tîrrîq bo‘lsà-dà, låkin shu usul yordàmi
bilàn hisîblànàdigàn ko‘plàb intågràllàr màvjud. Ìàsàlàn:
;   
ln
;    arcsin
;   
cos
.
k
x
k
m
x e dx
x
dx
xdx
x
axdx
a
a
ò
ò
ò
ò
Ì à s h q l à r
6.13.
 Intågràllàrni hisîblàng:
1) 
sin 2
x
xdx
ò
;
2) 
cos
x
xdx
ò
;
3) 
x
xe
dx
-
ò
;
4) 
3
x
x
dx
ò
;
5) 
ln
xdx
ò
;
6) 
ln
x
xdx
ò
;
7) 
cos
x
e
xdx
ò
;
8) 
2
x
x e dx
ò
;
9) 
2
ln
xdx
ò
;
10) 
arcsin
xdx
ò
.
2-§. Àniq intågràl
1. Egri chiziqli tràpåtsiya yuzi. Bîshlàng‘ich funksiya îrttirmàsi.
Àniq  intågràl.
  Êo‘p  màsàlàlàr,  jumlàdàn,  yassi  shàkllàrning
yuzlàrini  hisîblàsh màsàlàsi intågràl hisîbi îrqàli hàl etilàdi.
Gåîmåtriya kursidàn bizgà quyidàgi àksiîmàlàr mà’lum:
1) hàr qàndày 
F
 shàkl nîmànfiy 
S
(
F
) yuzgà egà;
2) tîmîni 1 gà tång kvàdràtning yuzi 1 gà tång;
3) tång shàkllàrning yuzlàri tång, ya’ni 
F
1
 = 
F
2
 bo‘lsà,
 S
(
F
1
) 
=
=
S
(
F
2
)  bo‘làdi;
4) shàklning yuzi uning bàrchà kåsishmàs qismlàri yuzlàrining
yig‘indisigà tång.
Quyidàn 
OX
 o‘qi, yuqîridàn nîmànfiy 
y 
=
 
f 
(
x
) funksiya gràfigi,
yon tîmînlàridàn 
x 
=
 
a
, 
x 
=
 
b
 to‘g‘ri chiziqlàr bilàn chågàràlàngàn
shàkl 
egri chiziqli tràpåtsiya
 dåyilàdi (VI.2-ràsm).
1 - t å î r å m à .  
Àgàr f funksiya
 [
a
, 
b
]  
îràliqdà mînîtîn bo‘lsà,
F egri chiziqli tràpåtsiya kvàdràturàlànàdi
 (yuzini hisîblàb bo‘làdi).
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

254
I s b î t .  
f 
(
x
)  funksiya  [
a
,
  b
]  kåsmàdà    o‘suvchi,  dåylik.
Istàlgànchà 
kichik
 
e
 
>
 
0 sîn uchun hàr dîim shundày 
F
1
 và 
F
2
ko‘pburchàklàr tîpilàdiki, 
F
1
 shàkl 
F
 ning ichidà yotàdi, 
F
2
 esà
F
 ni o‘z ichigà îlàdi và ikkàlà ko‘pburchàk yuzlàri àyirmàsi uchun
S
(
F
2
)
 
-
 
S
(
F
1
)
 
<
 
e
  bo‘làdi.  Êo‘pburchàklàrni  yasàsh  màqsàdidà
[
a
; 
b
] kåsmàni 
a
 
=
 
x
0
 
<
 
x
1
 
< 
...
 
<
 
 x
n
-
1
 
<
 
x
n
 
=
 
b
 nuqtàlàr bilàn 
n
 tà
tång qismgà àjràtàmiz và bu nuqtàlàrdàn 
OY
 o‘qigà pàràllål to‘g‘ri
chiziqlàr o‘tkàzàmiz. Ulàr 
F
 egri chiziqli tràpåtsiyani 
F
0
, 
F
1
, ...,
F
n
-
1 
qismlàrgà  àjràtàdi.  Hàr  qàysi  [
x
k
,
  x
k
+
1
]  kåsmàdà  birining
bàlàndligi 
f
(
x
k
),  ikkinchisiniki 
f
(
x
k
+
1
)    bo‘lgàn  ikkità  to‘g‘ri
to‘rtburchàk yasàymiz. 
f 
(
x
) funksiya o‘suvchi bo‘lgànidàn birinchi
to‘rtburchàk 
F
 tràpåtsiyaning 
F
k
 qismi ichigà jîylàshàdi, ikkinchisi
F
k 
ni o‘z ichigà îlàdi. Bàrchà 0
 
£
 
k
 
£
 
n 
-
 
1 làr uchun birinchi
to‘rtburchàklàr  birlàshmàsi  (
F
2
  pîg‘înàli  shàkl) 
F
  ichigà
jîylàshàdi,  ikkinchi  to‘rtburchàklàr  birlàshmàsi    (
F
2
  pîg‘înàli
shàkl) 
F
  ni  o‘z  ichigà  îlàdi.  Yetàrlichà  kàttà 
n
  làrdà 
S
(
F
1
) 
-
-
 
S
(
F
2
)
 
<
 
e
 bo‘làdi. Hàqiqàtàn,
[
]
[
]
[
]
[
]
2
1
1
1
0
1
1
0
(
)
(
)
(
) ...
(
)
(
)
(
)
(
) ...
(
)
(
)
(
)
( )
( ) .
n
n
n
n
b a
n
b a
n
b a
b a
n
n
S
S
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f b
f a
-
-
-
-
-
-
F
-
F
=
+ +
+
-
-
+
+ +
=
=
-
=
-
Bu àyirmà 
n
 ning yetàrlichà kàttà qiymàtlàridà 
e
 dàn kichik
bo‘làdi.
f 
(
x
)  funksiya  nîmînîtîn  bo‘lgàndà  [
a
,
  b
]  kåsmàni 
f 
(
x
)
funksiya mînîtîn bo‘làdigàn qismlàrgà àjràtilàdi và hàr bir qism
Y
O        a
 = 
x
0  
  x
1      
 x
2    
  x
3            
 x
k        
x
k
+
1    
x
n
 = 
b       X
 F
0    
   F
1      
  F
2                             
   F
k
F
y
 = 
f
 
(
x
)
VI.2-rasm.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

255
uchun tåîråmà àlîhidà qo‘llànilàdi.
f 
(
x
) funksiyaning bîshlàng‘ich funksiyalàri to‘plàmi 
F
(
õ
)
 + 
C
bo‘lsin. 
F
(
x
)
 + 
C
  funksiyalàrning  [
a
,
  b
]  kåsmàdàgi  îrttirmàsini
tîpàmiz:
( ( )
) ( ( )
)
( )
( ), 
( )
( )
F
F b
C
F a
C
F b
F a
F
F b
F a
D =
+
-
+
=
-
D =
-
.(1)
Bundàn  ko‘rinàdiki, 
f 
(
x
)  funksiya 
F
(
x
)  bîshlàng‘ich
funksiyaning 
[
a
;
 b
] kåsmàdàgi 
D
F
 îrttirmàsi 
C
 sînning tànlànishigà
bîg‘liq emàs.
1 - m i s î l .  
y 
= 
3
x
2
    funksiya  bîshlàng‘ich  funksiyalàrining
[
1; 2] và 
[
10; 20] kåsmàlàrdàgi îrttirmàlàrini tîpàmiz.
Y e c h i s h .  
2
3
( )
3
F x
x dx
x
C
=
=
+
ò
,
 C
 – iõtiyoriy o‘zgàrmàs.
(1)  munîsàbàt  bo‘yichà:  [1;  2]  dà 
3
3
2
1
7
F
D =
-
=
,  [10;  20]  dà
3
3
20
10
7000
F
D =
-
=
.
f
(
x
)  funksiya  iõtiyoriy 
F
(
x
)  bîshlàng‘ich  funksiyasining
[
a
; 
b
] kåsmàdàgi 
( )
( )
( )
F x
F b
F a
D
=
-
 îrttirmàsi funksiyaning
shu kåsmàdàgi 
àniq intågràli
 dåyilàdi và 
( )
b
a
f x dx
ò
 îrqàli bålgilànàdi:
( )
( )
( )
b
a
f x dx
F b
F a
=
-
ò
.
F
(
b
)
 - 
F
(
a
) àyirmàni 
( )
b
a
F x
 bilàn bålgilàymiz. U hîldà quyidàgi
tånglik hîsil bo‘làdi:
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F x
=
ò
.                                              (2)
(2) tånglik 
Nyutîn–Låybnis fîrmulàsi
 dåb àtàlàdi, 
a
 và 
b
 
intåg-
ràllàsh chågàràlàri
 dåyilàdi.
2 - m i s î l .   1) 
0
0
cos
sin
sin
sin 0 0
xdx
x
p
p
=
=
p -
=
ò
.
2) 
3
5
5
5
3
2
3
3
3
3
5
5
b
b
a
a
x
x dx
b
a
æ
ö
=
= ç
-
÷
ç
÷
è
ø
ò
.
Quyidà àniq intågràl õîssàlàrini isbîtlàshdà Nyutîn—Låybnis
fîrmulàsidàn fîydàlànilàdi.
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

256
1 - õ î s s à .  
Funksiyalàr  yig‘indisining  àniq  intågràli  shu
funksiyalàr  àniq  intågràllàrining  yig‘indisigà,  o‘zgàrmàs  sîn  và
funksiya  ko‘pàytmàsining  àniq  intågràli  esà  shu  funksiya  àniq
intågràlining o‘zgàrmàs sîngà ko‘pàytirilgànigà tång:
1
2
1
2
( ( )
( ))
( )
( )
b
b
b
a
a
a
f x
f
x dx
f x dx
f
x dx
+
=
+
ò
ò
ò
;                    (3)
( )
( )
b
b
a
a
Af x dx
A f x dx
=
ò
ò
.                                          (4)
Hàqiqàtàn, 
1
1
1
2
( )
( )
( ),  
( )
b
b
a
a
f x dx
F b
F a
f
x dx
=
-
=
ò
ò
2
( )
F b
-
2
( )
F a
-
  bo‘lsin. U hîldà
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
( ( )
( ))
(
( )
( )) (
( )
( ))
(
( )
( )) (
( )
( ))
( )
( )
.
b
a
b
b
a
a
f x
f
x dx
F b
F b
F a
F a
F b
F a
F b
F a
f x dx
f
x dx
+
=
+
-
+
=
=
-
+
-
=
+
ò
ò
ò
2 - õ î s s à .  
Àgàr  intågràllàsh  chågàràlàri  àlmàshtirilsà,  àniq
intågràl o‘z ishîràsini o‘zgàrtiràdi:
( )
( )
b
a
a
b
f x dx
f x dx
= -
ò
ò
.                                        (5)
Hàqiqàtàn, 
( )
( )
( )
( ( )
( ))
( )
b
a
a
b
f x dx F b
F a
F a
F b
f x dx
=
-
= -
-
= -
ò
ò
.
3 - õ î s s à .
( )
0
a
a
f x dx
=
ò
.                                                 (6)
Chunki 
( )
( )
( ) 0
a
a
f x dx
F a
F a
=
-
=
ò
.
4 - õ î s s à .  
Iõtiyoriy
 
a
, 
b
, 
c
 
sînlàr uchun ushbu tånglik o‘rinli:
( )
( )
( )
b
c
b
a
a
c
f x dx
f x dx
f x dx
=
+
ò
ò
ò
.                               (7)
Hàqiqàtàn,
( )
( )
( ( )
( )) ( ( )
( )
c
b
a
c
f x dx
f x dx
F c
F a
F b
F c
+
=
-
+
-
=
ò
ò
( )
( )
( )
.
b
c
F b
F a
f x dx
=
-
=
ò
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

257
5 - õ î s s à .  
Àgàr
 [
a
;
 b
] 
kåsmàdà
 
f
(
x
)
 > 
0 
(yoki
 
f
(
x
)
 < 
0 
bo‘lsà)
uning shu kåsmàdàgi 
( )
b
a
f x dx
ò
 àniq intågràli hàm shundày ishîràgà
egà
 
bo‘làdi.
Hàqiqàtàn 
f 
(
x
)
 = 
F
(
x
)
 > 
0, ya’ni 
F
(
x
) funksiya o‘suvchi bo‘lsin.
U  hîldà 
b
 > 
a
  bo‘lgànidàn 
F
(
b
)
 > 
F
(
a
)  ya’ni 
F
(
b
)
 - 
F
(
a
)
 > 
0,
( )
0
b
a
f x dx
>
ò
 bo‘làdi (
f  
(
x
)
 < 
0 hîli hàm shu kàbi isbîtlànàdi).
3 - m i s î l .  
3
2
;  
p
é
ù
p
ë
û
 kåsmàdà sin
x
 < 
0, uning shu kåsmàdàgi
àniq intågràli hàm mànfiy bo‘lishini ko‘rsàtàmiz.
(
)
3 / 2
3 / 2
3
2
sin
cos
cos
cos
(0 ( 1))
1
xdx
x
p
p
p
p
p
= -
= -
-
p = -
- -
= -
ò
.