|
3-§. Qo‘shish fîrmulàlàri
1. Ikki burchàk àyirmàsining và yig‘indisining kîsinusi và
sinusi.
Chizmàdà (I.37- ràsm)
Ð
BÎÀ
= a
,
Ð
COA
= b
,
j = b - a
,
BD
^
CE
,
CQ
^
OB
,
DE
=
BF
,
DB
=
EF
=
OF
-
OE
=
cos
a
-
cos
b
,
QB
=
OB
-
OQ
=
1
-
cos
j
,
CQ
=
sin
j
,
CD
=
CE
-
BF
=
sin
b
-
-
sin
a
,
CDB
và
CQB
to‘g‘ri burchàkli uchburchàklàr umumiy
CB
giðîtånuzàgà egà. Pifàgîr tåîråmàsi bo‘yichà:
BC
2
=
CQ
2
+
QB
2
=
CD
2
+
DB
2
yoki
sin
2
j
+
(1
-
cos
j
)
2
=
(sin
b
-
sin
a
)
2
+
(cos
a
-
cos
b
)
2
,
sin
2
j
+
1
-
2cos
j
+
cos
2
j
=
=
sin
2
b -
2sin
b
sin
a
+
sin
2
a +
cos
2
a -
2cos
a
cos
b +
cos
2
b
,
(sin
2
j +
cos
2
j
)
+
1
-
2cos
j
=
(sin
2
b +
cos
2
b
)
+
(cos
2
a +
sin
2
a
)
-
-
2(sin
a
sin
b -
cos
a
cos
b
), 2
-
2sos
j =
2
-
2(sin
a
sin
b
-
-
cos
a
cos
b
)
yoki
cos(
b - a
)
=
cos
a
cos
b +
sin
a
sin
b
. (1)
(1) munîsàbàt bo‘yichà và funksiyalàrning õîssàlàridàn fîy-
dàlànib, yanà bîshqà fîrmulàlàrni tîpish mumkin:
cos(
a + b
)
=
cos(
a -
(
-b
))
=
=
cos
a
cos(
-b
)
+
sin
a
sin(
-b
),
cos(
a + b
)
=
cos
a
cos
b -
sin
a
sin
b.
(2)
Õususàn:
à)
(
)
2
2
cos
cos cos
p
p
- a =
a +
2
sin sin
0 cos
p
+
a = ×
a +
1 sin
sin
+ ×
a =
a
,
www.ziyouz.com kutubxonasi
36
( )
2
2
2
cos
cos cos
sin sin
0 cos
1 sin
sin
p
p
p
+ a =
a -
a = ×
a - ×
a = -
a
;
( )
2
cos
sin
p
- a =
a
; (3)
( )
2
cos
sin
p
+ a = -
a
. (4)
b)
( )
( )
(
)
2
2
2
sin
cos
cos
p
p
p
- a =
-
- a =
a
,
( )
( )
(
)
2
2
2
sin
cos
cos(
) cos
p
p
p
+ a =
-
+ a =
-a =
a
.
Dåmàk,
( )
2
sin
cos
p
- a =
a
; (5)
( )
2
sin
cos
p
+ a =
a
. (6)
a ± b
burchàk sinusi uchun fîrmulàlàr yuqîridà tîpilgàn
fîrmulàlàrdàn fîydàlànib chiqàrilàdi:
(
)
( )
(
)
( )
2
2
2
2
sin(
) cos
(
)
cos
cos(
) cos
sin
sin
sin cos
cos sin
p
p
p
p
a + b =
- a + b =
- a - b =
=
- a
b +
- a
b =
a
b +
a
b
yoki
sin(
a + b
)
=
sin
a
cos
b
+
cos
a
sin
b
. (7)
Àgàr (7) fîrmulàdàgi
b
o‘rnigà
-b
qo‘yilsà, nàtijàdà:
sin(
a - b
)
=
sin
a
cos
b -
cos
a
sin
b
. (8)
Ì i s î l . cos150
°
và sin150
°
ni tîpàmiz.
Y e c h i s h . (4) và (6) fîrmulàlàr bo‘yichà:
cos150
°
=
cos(90
°
+
60
°
)
= -
sin60
°
=
-
3
2
;
sin150
°
=
sin(90
°
+
60
°
)
=
cos60
°
=
1
2
.
Ì à s h q l à r
1.70.
Hisîblàng: 1)
12
sin
p
; 2)
4
3
cos
p
; 3)
5
4
cos
p
; 4)
4
3
sin
p
.
www.ziyouz.com kutubxonasi
37
1.71.
Àgàr
3
8
sin
x
=
;
4
9
sin
t
=
;
0
2
<
<
x
p
;
p
p
2
< <
t
bo‘lsà,
quyidàgilàrni tîping:
1) sin(
x
-
t
);
2) sin(
x
+
t
);
3) cos(
x
-
t
); 4) cos(
x
+
t
).
1.72.
Àgàr cos
x
= -
0,8; sin
y
=
0,4;
p
p
<
<
x
3
2
;
p
p
2
< <
y
bo‘lsà, quyidàgilàrni tîping:
1) cos(
x
+
y
); 2) cos(
x
-
y
); 3) sin(
x
+
y
); 4) sin(
x
-
y
).
1.73.
Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:
1) cos(
x
+
t
)sin(
x
-
t
)
+
sin(
x
+
t
)cos(
x
-
t
);
2) cos(
a + b
)cos(
a - b
)
-
sin(
a + b
)sin(
a - b
);
3) cos(45
°
+ a
)cos(45
°
- a
)
+
sin(45
°
+ a
)sin(45
°
- a
);
4)
cos(
) sin sin
sin(
) sin cos
a b
a
b
a b
a
b
- -
- +
;
5)
sin(
)
sin cos
cos(
)
sin sin
b a
a
b
a b
a
b
+ -
+ +
2
2
;
6)
cos(
) sin sin
cos(
) cos cos
a b
a
b
a b
a
b
+ +
+ -
;
7)
cos(
) sin sin
cos(
) cos cos
a b
a
b
a b
a
b
- -
- -
.
1.74.
Àyniyatlàrni isbît qiling:
1)
2
2
cos(45
)
(cos
sin )
-a =
a +
a
o
; 2)
cos(
)
sin sin
ctg ctg
1
a-b
a
b
=
a b+
;
3) sin(
a - b
)sin(
a + b
)
=
cos
2
b -
cos
2
a
;
4) sin2
x
cos
x
+
cos2
x
sin
x
=
sin3
x
;
5) sin(
a + b
)
+
cos(
a - b
)
=
(sin
a +
cos
a
)(sin
b +
cos
b
);
6)
sin(
)
cos cos
sin(
)
cos cos
sin(
)
cos cos
a b
a
b
b g
b
g
g a
g
a
-
-
-
+
+
=
0
.
1.75.
Funksiyalàrning juft-tîqligi và dàvriyligini tåkshiring
hàmdà gràfiklàrini yasàng:
1)
2
2
cos cos
sin sin
x
x
y
x
x
=
+
; 2)
3
3
sin cos
sin cos
x
x
y
x
x
=
-
.
2. Ikki burchàk yig‘indisi và àyirmàsining tàngånsi và
kîtàngånsi.
1-bànddàgi fîrmulàlàrdàn fîydàlànàmiz. Buning uchun
cos(
a + b
)
¹
0, ya’ni
k
2
p
a + b ¹ + p
,
k
Î
Z
và cos
a ¹
0, cos
b ¹
0
bo‘lishi, ya’ni
a
và
b
làr
k
2
p
+ p
,
k
Î
Z
gà tång bo‘lmàsligi kåràk.
Shu shàrtlàrdàn quyidàgilàrgà egà bo‘làmiz:
www.ziyouz.com kutubxonasi
38
sin
sin
sin(
)
sin cos
cos sin
cos
cos
tg
tg
cos(
)
cos cos
sin sin
sin
1 tg tg
sin
1
cos
cos
tg(
)
b
a +
a+b
a
b+
a
b
a
b
a+ b
a+b
a
b-
a
b
b
- a b
a
-
×
a
b
a + b =
=
=
=
.
Bundàn:
tg
tg
1 tg tg
tg(
)
a+ b
- a b
a + b =
. (1)
Õuddi shundày,
tg
tg
1 tg tg
tg(
)
a- b
+ a b
a - b =
. (2)
Quyidàgi fîrmulàlàr hàm shu kàbi hîsil qilinàdi:
ctg ctg 1
ctg
ctg
ctg(
)
a
b-
a+
b
a + b =
, (3)
ctg ctg 1
ctg
ctg
ctg(
)
a
b+
a-
b
a - b =
. (4)
Ì i s î l .
7
12
ctg
p
ni hisîblàymiz.
Y e c h i s h .
( )
3
ctg ctg
1
1 1
3 3
1 3
7
3
4
3
12
3
4
3
3 3
1 3
ctg
ctg
1
3
4
3
ctg
ctg
p
p
×
-
× -
-
+
p
p
p
p
p
+
-
+
+
=
+
=
=
=
=
.
Ì à s h q l à r
1.76.
Àgàr sin(2
a + b
)
=
2sin
b
bo‘lsà, tg(
a + b
)
=
3tg
a
bo‘lishini
isbît qiling, bundà
b ¹
k
p
,
k
Î
Z
.
1.77.
(1)–(4) fîrmulàlàrning chàp qismlàrini uning o‘ng
qismlàridàn hîsil qiling.
1.78.
Hisîblàng:
1) tg75
°
; 2)
5
12
ctg
p
; 3) ctg105
°
; 4) tg15
°
; 5) ctg15
°
.
1.79.
Bårilgàn: 1) tg
x
=
1,5, tg
y
= -
0,5; 2) ctg
x
=
1,5, ctg
y
= -
0,5.
Òîping: 1) tg(
x
-
y
); 2) tg(
x
+
y
); 3) ctg(
x
-
y
); 4) ctg(
x
+
y
).
1.80.
Bårilgàn:
1
3
tg
a =
,
4
5
ctg
b =
,
tg
1
g =
. Hisîblàng:
1) tg(
a + b + g
); 2) ctg(
a + b + g
); 3) tg(
a + b - g
).
www.ziyouz.com kutubxonasi
39
1.81.
Hisîblàng: 1)
tg26 tg34
1 tg26 tg34
+
-
; 2)
ñtg ctg
ctg
ctg
p
p
p
p
5
9
20
1
5
9
20
+
-
.
1.82.
Àyniyatlàrni isbît qiling:
1)
( )
tg
tg
tg
p
4
1
1
-
=
-
+
x
x
x
; 2)
( )
ctg
ctg
ctg
p
4
1
1
-
=
-
+
x
x
x
; 3)
ctg2
ctg
ctg
2
a
a
a
=
-
1
2
;
4)
(
)
(
)
(
)
(
)
ctg
ctg
ctg
ctg
p a
p a
p a
p a
3
3
1
3
3
3
3
+ ×
- -
+ +
-
= -
; 5)
(
)
tg
1
tg
tg
ctg
ctg
1
1
a+b
a+ b
a ×
b -
-
= -
1.83.
Ifîdàlàrni sîddàlàshtiring:
1)
ctg(
) ctg
ctg
ctg(
)
a b
b
b
a b
- ×
-
+
-
1
;
2)
tg(
) tg
1+tg(
) tg
a b
a
a b
a
- -
- ×
;
3)
tg5
tg2
1 tg5 tg2
x
x
x
x
-
+
×
;
4)
ctg5 ctg
ctg5
ctg
x
x
x
x
×
+
-
4
1
4
.
1.84.
Ikki egri chiziq îràsidàgi burchàk shu chiziqlàrning kåsi-
shish (umumiy) nuqtàsidàn o‘tkàzilgàn ikki urinmà îràsidàgi
burchàkkà tång. Quyidà ko‘rsàtilgàn funksiyalàr gràfiklàri
îràsidàgi burchàk tàngånsini tîping:
1)
y
=
x
2
và
y
x
=
;
2)
y
x
=
+
6
1
2
và
y
=
x
2
;
3)
y
=
3
x
2
+
4
x
-
6 và
y
=
x
2
+
x
+
3;
4)
y
=
x
2
và
y
x
= -
2
.
1.85.
ABC
uchburchàkdà tg
A
: tg
B
: tg
C
=
1 : 2 : 3. Shu
burchàklàrning tàngånslàri và sinuslàrini tîping.
Do'stlaringiz bilan baham: |
