O’z djtu qoshidagi 3-son akademik letsiy 303-guruh o’quvchisi Otaxonova Maftunaning «fazoda tekislik va to’G’ri chiziq tenglamalari» mavzusidagi bitiruv malakaviy ishini himoyasiga xush kelibsiz ! Ilmiy rahbar: Qosimov A

Mavzu: FAZODA TEKISLIK VA TO’G’RI CHIZIQ TENGLAMALARI

1. Tekislikning umumiy tenglamasi.

• 
  Analitik geometriyaning yuzaga kelishi geometrik shakllarni sonlar yordamida o’rganish va bu sonlarni bog’lovchi formulalarni keltirib chiqarish imkoniyatini yaratdi.
  
• 
  Bizga n ( A; B; C ) vektor va P(x0; y0; z0) nuqta berilgan bo’lsin (1-chizma).
  
• 
  P nuqta orqali n vektorga perpendikulyar bo’lgan α tekislik o’tkazamiz. α tekislikda ixtiyoriy K nuqtani olamiz va uni P nuqta bilan tutashtiramiz. n ┴ α bo’lganligidan, n┴ PK bo’lsa,ularning skalar ko’paytmasi nolga teng:
  
• 
  PK*n=0 (1)
  

Agar α tekislik ixtiyoriy K nuqtasining kordenatalarini (x; y; z)

kabi belgilasak,
_PK vektorning koordinatalari ^PK

(x – x₀; y – y₀; z – z₀) bo’ladi. U holda (1) tenglik

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0
ko’rinishda yoziladi.
(2)

Oxirgi (2)
ifodada α
tekislik
ixtiyoriy K nuqtasining

koordinatalari bir -biriga bog’langanligidan, u berilgan nuqtadan

berilgan _n
( A; B; C
) vektorga
perpendikulyar ravishda

o’tuvchi tekislik tenglamasi deb ataladi.(2) ifodani

Ax + By + Cz –
(Ax0 + By0
+ Cz0) = 0

Ko’rinishda yozamiz. Undagi qavs ichidagi ifoda

o’zgaruvchilarga bog’liq emas va shuning uchun uni
D = – (Ax0 + By0 + Cz0) kabi belgilab, tekislik
tenglamasini

Ax + By + Cz + D = 0 (3)
ko’rinishga keltiramiz. (3) tenglama tekislikning umumiy

tenglamasi , _n
( A; B; C ) vektor, bunda
^{n ┴ α ,} tekislikka

normal vektor deyiladi.
_n (A; B; C)

1-rasm Tekislikning A,B,C,D larning qiymatlariga bog’liq holda yuzaga

keladigan holatlarni qaraymiz.
D = 0 bo’lsin. U holda koordinatalar sistemasining boshi 0 (0;0;0) nuqtaning kordinatalari
Ax + By + Cz = 0
Tenglikni qanoatlantiradi. Demak, D = 0 bo’lsa, tekislik
kordinatalar boshidan o’tadi.

A = 0 bo’lsin. U holda tekislik tenglamasi 0 * x + By +Cz + D = 0

ko’rinishni oladi. Bu tenglamada x ixtiyoriy qiymatlar qabul qilishi mumkin, ya’ni x є (- ∞, +∞ ), y va z lar
By + Cz + D = 0
Tenglamani qanoatlantiradi. Bu tenglama yOz tekisligida to’g’ri chiziqni ifodalaydi. Fazoda shu to’g’ri chiziq orqali tekislikni shunday o’tkazamizki, x - ∞ dan +∞ gacha o’zgarsin. U holda fazoda
By + Cz + D = 0 (4)
tenglama Ox o’qqa parallel tekislikni ifodalaydi. (23.2-chizma).

Agar B = 0 bo’lsa, Ax + By + Cz = 0 tenglama Oy o’qqa parallel bo’lgan tekislikni ifodalaydi. C = 0 bo’lganda Ax + By + D = 0 tekislik Oz o’qqa parallel bo’ladi.

Agar A = 0, D = 0 bo’lsa, By + Cz = 0 tekislik Ox orqali o’tadi.
Agar B = D = 0 bo’lsa, Ax + Cz = 0 tekislik Oy o’q orqali o’tadi.C = D = 0 bo’lsa Ax + By = 0 tekislik Oz o’q orqali o’tadi.
A = B =0 bo’lganda Cz + D = 0 tekislik Ox va Oy o’qlariga parallel bo’lishi bilan birga, xOy tekislikka parallel bo’ladi. Demak, bu tekislik Oz o’qqa perpendikulyar ravishda o’tadi.
Agar A = C = 0 bo’lsa, By + D = 0 tekislik xOz tekislikka parallel (Oy o’qqa perpindikular) bo’ladi.
Agar B = C = 0 bo’lsa, Ax + D = 0 tekislik yOz tekislikka parallel (Ox o’qqa perpendikular) bo’ladi.
Agar A = B = D = 0 bo’lsa Cz = 0 yoki z = 0 tenglamani olamiz. Bu tenglama xOy tekislik tenglamasidan iborat, chunki uning nuqtalari uchun Oz o’q bo’yicha siljish yo’q. Shunga o’xshash, xOz tekislik tenglamasi y = 0 va yOz tekislik tenglamasi x = 0 ko’rinishda bo’ladi.
z
By + Cz + D = 0

o

23.2-chizma

x

• 
  1-masala. Ikkita A (-1; 2; 1) va B (2; 4; 4) nuqta berilgan. A nuqta orqali vektorga perpendicular ravishda o’tuvchi tekislik tenglamasini tuzing.
  

Yechilis i.
_AB vektorni kordinatalarini topamiz:

_AB ^{(2 + 1; 4 – 2; 4 - 1) yoki} _AB (3; 2; 3).

Berilgan (x₀; y_0; z₀) nuqta orqali
n ( A; B; C ) vektorga

perpendikular ravishda o’tuvchi tekislikning A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0

tenglamasidan foydalanamiz. Bu tenglamada mos
koordinatalarning qiymatlarini keltirib qo’yamiz: 3(x+1) + 2(y-2) + 3(z-1) = 0
3x + 2y + 3z + 3 - 4 - 3 = 0
3x + 2y + 3z - 4 = 0
Javob: 3x + 2y + 3z - 4 = 0.

2.