O'ylab ko'ring tekis tanasi

Bir necha darajadagi erkinlik bilan tebranishlar.
Nazariyadan qisqacha ma'lumot.
n ta quvvatga ega tizimlarerkinlik Geometrik holatini to'liq aniqlash uchun istalgan vaqtda o'rnatish talab qilinadigan bunday tizimlarni dinamikada chaqirish odatiy holdir. P parametrlar, masalan, joylashuv (burilishlar) P ball. Boshqa nuqtalarning holati odatiy statik usullar bilan aniqlanadi.
bilan tizimga misol P nur yoki tekis ramka, agar uning alohida qismlari yoki elementlarining massalari an'anaviy ravishda (dinamik hisoblashni osonlashtirish uchun) konsentratsiyalangan deb hisoblansa, erkinlik darajasi sifatida xizmat qilishi mumkin. P nuqtalar yoki u n katta massani (dvigatellar, motorlar) olib yursa, ular bilan solishtirganda elementlarning o'z vaznini e'tiborsiz qoldirish mumkin. Agar tebranish paytida alohida konsentrlangan ("nuqta") massalar ikki yo'nalishda harakatlana olsa, u holda tizimning erkinlik darajalari soni barchaning siljishlarini bartaraf etish uchun tizimga qo'yilishi kerak bo'lgan cheklovlar soniga teng bo'ladi. ommaviy.
Agar n erkinlik darajasiga ega sistema muvozanatdan chiqarilsa, u holda u bajaradi erkin tebranishlar , va har bir "nuqta" (massa) turdagi murakkab poliharmonik tebranishlarni amalga oshiradi:
Konstantalar A i va B i ga bog'liq boshlang'ich sharoitlar harakat (vaqt momentidagi massalarning statik darajadan va tezliklardan og'ishi t=0). Faqat ba'zi, maxsus, tebranishlarni qo'zg'atish holatlarida, alohida massalar uchun poliharmonik harakat harmonikga aylanishi mumkin, ya'ni. bir darajadagi erkinlikka ega tizimda bo'lgani kabi:
Tizimning tabiiy chastotalari soni uning erkinlik darajalari soniga teng.
Tabiiy chastotalarni hisoblash uchun quyidagi shaklda yozilgan chastota determinantini hal qilish kerak:
Bu shart kengaytirilgan shaklda tenglamani beradi P darajasini aniqlash Pō 2 qiymatlari, bu chastotalar tenglamasi deb ataladi.
d 11, d 12, d 22 va boshqalar orqali. mumkin bo'lgan harakatlar ko'rsatilgan. Demak, d 12 - birinchi massa joylashish nuqtasining birinchi yo'nalishi bo'yicha ikkinchi yo'nalishda qo'llaniladigan birlik kuchdan ikkinchi massaning joylashish nuqtasiga siljishi va hokazo.
Ikki erkinlik darajasi bilan chastota tenglamasi quyidagi shaklni oladi:
Ikki chastota uchun bizda:
Ayrim massalar M i chiziqli harakatlar bilan birgalikda aylanish yoki faqat aylanish harakatlarini ham bajarishi mumkin, keyin i-chi koordinata aylanish burchagi, chastota determinantida esa massa bo'ladi
M i J massasining inersiya momenti bilan almashtirilishi kerak i; mos ravishda, yo'nalishda mumkin bo'lgan harakatlar i-chi koordinata ( δ i 2 , δ i 2 va hokazo) burchakli siljishlar bo'ladi.
Har qanday massa bir necha yo'nalishda tebransa - i-mu va k-mu (masalan, vertikal va gorizontal bo'ylab), keyin bunday massa M raqamlari ostida determinantda bir necha marta ishtirok etadi. i ular k va u bir nechta mumkin bo'lgan siljishlarga mos keladi ( δ ii, δ kk, δ ik, va hokazo.).
E'tibor bering, har bir tabiiy chastota tebranishning o'ziga xos maxsus shakliga ega (egri o'qning tabiati, burilishlar chizig'i, siljishlar va boshqalar), ular alohida, maxsus holatlarda tebranishning haqiqiy shakli bo'lib chiqishi mumkin, agar faqat erkin tebranishlar to'g'ri yoki hayajonlangan (to'g'ri tanlash impulslari, ularni qo'llash nuqtalari va boshqalar). Bunda sistemaning tebranishlari bir darajadagi erkinlik bilan sistemaning harakat qonunlariga muvofiq bajariladi.
Umumiy holda, (9.1) ifodadan ko'rinib turibdiki, tizim poliharmonik tebranishlarni amalga oshiradi, ammo barcha tabiiy chastotalarning ta'siri aks ettirilgan har qanday murakkab elastik chiziq alohida shakl komponentlariga ajralishi mumkinligi aniq. bu o'z chastotasiga mos keladi. Tebranishlarning haqiqiy shaklini komponentlarga shunday parchalanish jarayoni (bu qurilish dinamikasining murakkab masalalarini hal qilishda zarur) tabiiy tebranish shakllariga ko'ra parchalanish deb ataladi.
Agar har bir massada, aniqrog'i, har bir erkinlik darajasi yo'nalishi bo'yicha, biz garmonik qonunga muvofiq vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan bezovta qiluvchi kuchni qo'llaymiz.
yoki , bu keyingi narsalarga befarq bo'lib, har bir massa uchun kuchlarning amplitudalari har xil bo'lsa va chastota va fazalar bir xil bo'lsa, unda bunday bezovta qiluvchi kuchlarning uzoq muddatli ta'siri bilan tizim chastota bilan barqaror majburiy tebranishlarni amalga oshiradi. harakatlantiruvchi kuch. Har qanday yo'nalishdagi harakatning amplitudalari i- bu holda daraja:
bu erda D determinant (9.2) ga muvofiq ō o'rniga th bilan yoziladi va shuning uchun D≠0; D i ifoda bilan aniqlanadi:
bular. i D aniqlovchining ustuni o‘rniga shakl a’zosidan tuzilgan ustun qo‘yiladi: Ikki erkinlik darajasi uchun: (9.6)
Va shunga mos ravishda
Konsentrlangan massalarni ko'taruvchi doimiy kesmadagi nurlarning majburiy tebranishlarini hisoblashda (9.1-rasm).

Shu bilan birga, nurning istalgan qismida burilish amplitudalari, burilish burchagi, egilish momenti va kesish kuchi uchun quyidagi formulalardan foydalanish osonroq:

(9.7)
qayerda y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 boshlang'ich kesimning burilish, aylanish, moment va ko'ndalang kuchning amplitudalari (boshlang'ich parametrlar); M i Va J i- massa va uning inersiya momenti (konsentrlangan massalar); ∑ belgisi boshlang'ich qismdan ko'rib chiqilayotgan qismgacha joylashgan barcha kuchlar va kontsentrlangan massalarga tegishlidir.
Ushbu formulalar (9.7) tabiiy chastotalarni hisoblash uchun ham ishlatilishi mumkin, buning uchun bezovta qiluvchi kuchlarni hisobga olish kerak ∑ Ri va momentlar ∑ Mi nolga teng, majburiy tebranishlar chastotasini th tabiiy tebranishlar chastotasi bilan almashtiring va tebranishlar (erkin tebranishlar) mavjudligini faraz qilib, konsentrlangan massalar joylashgan va amplitudalar allaqachon ma'lum bo'lgan kesimlarga nisbatan (9.7) ifodalarni yozing ( mos yozuvlar bo'limlari, simmetriya o'qi va boshqalar). Biz bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimini olamiz. Ushbu tizimning determinantini nolga tenglashtirib, biz tabiiy chastotalarni hisoblashimiz mumkin bo'ladi.
Amplitudalarni aniqlash uchun (9.4) va (9.5) ifodalardan foydalanish maqsadga muvofiq bo'lib chiqdi ( y 0 , φ 0 , va boshqalar) qachon X=0, so'ngra (9.7) dan foydalanib, boshqa barcha og'ish elementlarini hisoblash uchun.
Vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadigan va turli xil massalarga qo'llaniladigan o'zboshimchalik yukining ta'siri ostida bir necha erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning harakatlarini hisoblash muammosi yanada qiyinroq.
Bunday muammoni hal qilishda siz quyidagicha harakat qilishingiz kerak:
a) tabiiy tebranishlarning tabiiy chastotalari va shakllarini aniqlash;
b) berilgan yukni massalar o'rtasida qayta guruhlash yoki ular aytganidek, tabiiy tebranish rejimlariga ko'ra parchalash. Yuk guruhlari soni tizimning tabiiy chastotalari soniga teng;
v) yuqoridagi ikkita yordamchi amalni bajargandan so'ng, bir erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning tebranishlar nazariyasidan ma'lum formulalar bo'yicha har bir yuk guruhi uchun hisob-kitob qilinadi va bu formulalarda tabiiy tebranishlar chastotasi olinadi. ushbu yuk guruhiga mos keladigan;
d) yuklarning har bir toifasidan alohida yechimlar umumlashtiriladi, bu esa masalaning yakuniy yechimini belgilaydi.
Tabiiy chastotalarni aniqlash (9.2) ga muvofiq amalga oshiriladi. Tabiiy tebranishlarning shakllarini aniqlashga kelsak, bu erda tabiiy tebranishlarning har qanday shaklining asosiy xususiyatiga amal qilish kerak, bu kuchlardan og'ishning ta'sir chizig'i (ularning soni tengdir). erkinlik darajalari soni) massalar ko'paytmasiga va massalarning biriktirilish nuqtalarining burilishlari ordinatalariga proportsional. Teng massalar bilan tabiiy tebranishlar shakli burilish ordinatalariga mutanosib kuchlardan burilish chizig'ini ifodalaydi; yuk diagrammasi og'ish diagrammasiga o'xshaydi.
Eng past chastota tebranishning eng oddiy shakliga mos keladi. Nurlar uchun ko'pincha bu shakl o'z og'irligi ta'sirida tizimning egri o'qiga to'g'ri keladi. Agar bu struktura har qanday yo'nalishda, masalan, gorizontal yo'nalishda kamroq qattiq bo'lsa, unda kerakli kavisli o'qning tabiatini ochish uchun shartli ravishda bu yo'nalishda o'z vaznini qo'llash kerak.
Muhim amaliy qoʻllanmalarga ega boʻlgan bir necha erkinlik darajasiga ega boʻlgan sistemaning tebranishlari bir qator muhim belgilari bilan bir erkinlik darajasiga ega boʻlgan sistemaning tebranishlaridan farq qiladi. Ushbu xususiyatlar haqida tasavvurga ega bo'lish uchun ikkita erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning erkin tebranishlari holatini ko'rib chiqing.
Umumlashtirilgan koordinatalar bilan sistemaning holati aniqlansin va sistema da barqaror muvozanatda bo'lsin. Keyin tizimning kichik qiymatli kvadratlargacha bo'lgan kinetik va potentsial energiyalari (132), (133) tengliklari topilgandek topiladi va quyidagicha ifodalanishi mumkin:

bu erda inertial koeffitsientlar va kvazelastik koeffitsientlar doimiy qiymatlardir. Agar (131) ko'rinishdagi ikkita Lagranj tenglamasidan foydalansak va ularga T va P qiymatlarini almashtirsak, ikkita erkinlik darajasi bo'lgan tizimning kichik tebranishlari uchun quyidagi differentsial tenglamalarni olamiz.

(145) tenglamalar yechimini quyidagi shaklda izlaymiz:
bu yerda A, B, k, a doimiylar. Ushbu qiymatlarni (145) tenglamalarga almashtirib, kamaytiramiz
(147) tenglamalar iyuldan farqli bo'lgan A va B yechimlarini berishi uchun bu tizimning determinanti nolga teng bo'lishi kerak, aks holda tenglamalardagi A va B koeffitsientlari proportsional bo'lishi kerak, ya'ni.
Bu yerdan ta'rif uchun biz chastotalar tenglamasi deb ataladigan quyidagi tenglamani olamiz.
Bu tenglamaning ildizlari haqiqiy va musbat; Bu matematik jihatdan isbotlangan, lekin uni shunday asoslash mumkinki, aks holda (145) tenglamalar haqiqiy bo'lmaydi va barqaror muvozanatdagi tizim uchun (146) ko'rinishdagi yechimlarga ega bo'lmaydi (buzilishlardan keyin u). pozitsiyasiga yaqinlashishi kerak
nz (149) ni aniqlab, (146) ko'rinishdagi ikkita maxsus yechimlar to'plamini topamiz. Ushbu qarorlarga muvofiq:
qayerda va men mos ravishda (148) dan olgan qiymatlar va.
(150) va (151) tenglamalar bilan aniqlangan tebranishlar asosiy tebranishlar, ularning chastotalari va k esa sistemaning tabiiy chastotalari deb ataladi. Bunda chastotali (har doim o'zgaruvchan) tebranish birinchi asosiy tebranish, chastotali esa ikkinchi asosiy tebranish deb ataladi. Ushbu tebranishlarning har birida amplitudalarning (yoki koordinatalarning o'zlari, ya'ni) nisbatlarini aniqlaydigan raqamlar shakl koeffitsientlari deb ataladi.
(145) tenglamalar chiziqli bo'lgani uchun (150) va (151) maxsus yechimlarning yig'indilari ham ushbu tenglamalarning yechimi bo'ladi:
Boshlang'ich shartlardan aniqlangan to'rtta ixtiyoriy konstantani o'z ichiga olgan (152) tengliklar (145) tenglamalarning umumiy yechimini beradi va tizimning kichik tebranishlar qonunini aniqlaydi. tebranishlar chastotali ikkita asosiy tebranishlardan iborat va garmonik emas. Maxsus holatlarda, tegishli boshlang'ich sharoitlarda, tizim asosiy tebranishlardan birini bajarishi mumkin (masalan, birinchi bo'lsa ) va tebranish garmonik bo'ladi.
Xususiy chastotalar va shakl omillari dastlabki shartlarga bog'liq emas va tizimning kichik tebranishlarining asosiy xarakteristikalari hisoblanadi; muayyan muammolarni hal qilish odatda ushbu xususiyatlarni aniqlashga qisqartiriladi.
Ushbu va oldingi bo'limlarning natijalarini solishtirganda, ikki erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning so'ralgan va majburiy tebranishlarini o'rganish nimaga kamayishi haqida tasavvurga ega bo'lish mumkin. Biz buni ko'rib chiqmaymiz, faqat shuni ta'kidlaymizki, majburiy tebranishlar paytida bunday tizimning rezonansi ikki marta sodir bo'lishi mumkin: at va da ( bezovta qiluvchi kuchning chastotasi). Nihoyat, shuni ta'kidlaymizki, s erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning tebranishlari chastotali s tebranishlardan iborat bo'ladi, bu esa s daraja tenglamasidan aniqlanishi kerak. elektron kompyuterlar (yoki analog) mashinalari.