Отчет по индивидуальному домашнему заданию №1 по дисциплине «Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Санкт-Петербургский государственный
электротехнический университет
«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)
Кафедра РС

отчет
по индивидуальному домашнему заданию № 1
по дисциплине «Математическое моделирование радиотехнических устройств и систем»

Студент гр. 7103	________________	Норбутаев Т.Т.
Преподаватель	________________	Соколова А.А.

Санкт-Петербург

2022
Индивидуальное домашнее задание № 1
Задача 1
Условие задачи
Два стрелка стреляют поочередно по мишени, причем стрельба ведется до первого попадания. Определить закон распределения вероятностей случайной величины   число произведенных выстрелов, если известно, что при одном выстреле вероятность попадания первого стрелка равна , а второго стрелка – .
Аналитическое решение
Пусть – вероятность попадания первого стрелка; – вероятность попадания второго стрелка; – количество выстрелов; – число экспериментов. Тогда плотность распределения вероятности числа произведённых выстрелов определяется следующим образом:

В общем виде это выражение можно представить как

где % означает операцию вычисления остатка от деления.

Моделирование в среде разработки Matlab
В данном разделе приводится код программы в программной среде разработки Matlab, осуществляющий моделирование решения данной задачи, в результате которого вычисляются вероятности исхода нужного события для каждого совершаемого выстрела, а также строится график дискретной плотности распределения вероятности (см. рис. 1 – 3).
%% параметры
p1 = 0.5; %вероятность попадания 1-го стрелка
p2 = 0.2; %вероятность попадания 2-го стрелка
n = 10000; %число экспериментов
kmax = 20; %кол-во выстрелов

% % проверка условия на p_i -> [0;1]

% if p1 > 1 % больше 1 нельзя
% p1 = 1;
% end
%
% if p1 < 0
% p1 = 0;
% end
%
% if p2 > 1
% p2 = 1;
% end
% if p2 < 0
% p2 = 0;
% end

%% расчёт

ko = 0;
i = 1;
frh(kmax) = 0;
for i = i : (n+1)
k = 1;
flag = 0;
v = rand;
if p1 > v
frh(k) = frh(k) + 1;
ko = ko + 1;
flag = 1;
else
v = rand;
k = 2;
if p2 > v
frh(k) = frh(k) + 1;
ko = ko + 1;
flag = 1;
end
end
while flag == 0 & kmax > k
v = rand;
k = k + 1;
if p1 > v
frh(k) = frh(k) + 1;
ko = ko + 1;
flag = 1;
else
v = rand;
if k < kmax
k = k + 1;
if p2 > v
frh(k) = frh(k) + 1;
ko = ko + 1;
flag = 1;
end
end
end
end
end

figure(1);

bar(1:kmax,frh/ko); %вывод гистограммы
hold on;
title('Плотность вероятности');

i = 1;
frh2(kmax) = 0;

k = 1;
for i = i : kmax
frh2(i) = (1 - p1)^((i - (rem(i,2)))/2) * (1 - p2)^((i - (rem(i,2)))/2 - rem((i + 1),2)) * p1^(rem(i,2)) * p2^(rem((i+1),2));
end

stem(1:kmax,frh2,'r-','LineWidth',2); %вывод посчитанных по теор. формуле отсчетов

xlabel('Количество выстрелов');
ylabel('Вероятность');
grid minor;
legend('Эксперимент','Теория');

Рисунок 1 –

Рисунок 2 –

Рисунок 3 –
Выводы
В ходе данного индивидуального домашнего задания был выполнен аналитический расчет и осуществлено моделирование рассматриваемой задачи. Выведена формула для плотности распределения вероятности числа выстрелов. Помимо этого, была смоделирована серия экспериментов в программной среде разработки MATLAB. Данные, полученные в ходе моделирования, практически совпадают с расчетными данными, полученными согласно аналитическому выражению. При увеличении выборки (количества экспериментов) погрешность расчёта уменьшается, в пределе достигая нуля. Это свидетельствует об адекватности используемой модели.