Ostrogradsky metod

MAVZU:OSTROGRADSKIY METODI
REJA:

1. 
   Ostrogradskiy metodi haqida.
   

2.Ostragradskiy metodinining integrallarga tadbiqi.
OSTROGRADSKY METOD - noaniq integralning ratsional qismini ajratib olish usuli
Bu yerda Q ko‘p ildizli n darajali ko‘phad, P (x) esa m≤n darajali ko‘phad. Agar P (x): Q (x) muntazam kamaytirilmaydigan kasr bo'lsa va maxraj Q (x) tub ko'paytmalarga ajralsa, ya'ni Q (x) = (x - a) ^k . ... ... (x ² + px + q) ^m , keyin bu kasrning integrali quyidagi ikki turdagi kasrlarning integrallari yig'indisi sifatida ifodalanadi:
Bu yerda A ₁ , A ₂ , ..., A _k , M ₁ , M ₂ , .., M _m , N ₁ , N ₂ ,…, N _m baʼzi oʻzgarmas koeffitsientlar. Agar k (yoki m) birdan katta bo'lsa, birinchi turdagi barcha kasrlarning integrallari (birinchi kasrning integralidan tashqari) quyidagi formula bo'yicha topiladi:
va ikkinchi turdagi barcha kasrlarning integrallari quyidagi shaklda ifodalanadi:
Ushbu barcha natijalarni birlashtirgandan so'ng (jamlash) biz shaklning tengligini olamiz:
bu yerda integralning ratsional qismi P ₁ (x): Q ₁ (x) yuqorida olingan ratsional qismlarni qo‘shish orqali olinadi va maxrajli oddiy kasrdir.
Kasr P ₂ (x): Q ₂ (x) integral belgisi ostida qolgan, shakldagi kasrlarni qo'shishdan olinadi.
va shuning uchun ham bir nechta omillarga (ildizlarga) ega bo'lmagan maxraj bilan ham to'g'ri bo'ladi , ya'ni bu Q ₂ (x) maxraji dastlabki kasrning Q (x) maxraji kabi barcha bir xil omillarni (ildizlarni) o'z ichiga oladi, lekin faqat. birinchi darajada.
Shubhasiz,
Ostrogradskiy integral hisoblash usullaridan foydalanmasdan, sof algebraik usulda muntazam ratsional kasrlar integrallarining P ₁ (x): Q ₁ (x) ratsional qismini ajratish usulini topdi .
Avvalo, Q (x) funksiya va uning hosilasi Q '(x) ning umumiy eng katta bo'luvchisi sifatida Q ₁ (x) ni topamiz (masalan, Evklid algoritmidan foydalangan holda); belgilab Q ₁ (x) , biz topish Q ₂ (x) : = Q (x) Q ₁ (x) . Shundan so'ng, Ostrogradskiy tengligida (formula) ikkita P ₁ (x) va P ₂ polinomini aniqlash qoladi.(x) . Istalgan darajali ko'phadlar P ₁ (x) va F ₂ (x) mos ravishda Q ₁ (x) va < Q ₂ (x) polinomlarining pastki darajalarini topdi . keyin ularni aniqlanmagan koeffitsientlar bilan Ostrogradskiy tengligiga yozamiz va keyin bu tenglikning ikkala tomonini farqlab, biz quyidagi o'ziga xoslikni olamiz:
Umumiy maxrajga keltirgandan so'ng, ushbu o'xshashlikning chap va o'ng tomonlari sonidagi x ning bir xil darajalaridagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirgandan so'ng, biz P ₁ (x) kerakli polinomlarning aniqlanmagan koeffitsientlari uchun tenglamalar tizimini olamiz. ) va P ₂ (x) . Ushbu tizimni yechish orqali biz noma'lum koeffitsientlarni topamiz (demak, ko'phadlarning o'zi ham). Endi, dastlab oldindan aniqlangan F (x) kasrning integralini olish uchun: Q (x) F ₂ (x) : < Q ₂ (x) kasr ustida integrallanadi , u allaqachon transsendental funktsiyalar (logarifmlar va arktangentlar) orqali ifodalangan. .
Demak, Ostrogradskiy tengligida (formulada) bizda: P (x): Q (x), P₁ (x) : Q1 (x) va F ₂ (x) (x): < Q ₂ (x) - to'g'ri ratsional kasr, Q ₁ (x) - Q (x) va Q '(x) ning eng katta umumiy bo'luvchisi. ), va Q ₂ (x) = Q (x): Q1 (x). P ₁ (x) va P ₂ (x) - aniqlanmagan koeffitsientlar usuli bilan topilgan ko'phadlar.
Biz ba'zi ratsional kasrlarni integrallash ko'pincha zerikarli ekanligini ko'rdik.
Ostrogradskiy usuli bu fraksiyalarning integrallashini ancha qisqartiradi va soddalashtiradi, bu esa bu usulni qimmatli qiladi.
Ushbu usul quyidagi Ostrogradskiy formulasiga asoslanadi:
,
To'g'ri qaytarilmas ratsional kasr qayerda ;
-  hosilasining ko'phadning umumiy eng katta bo'luvchisi  ;
- bo'linish bo'linma  tomonidan  ;
- har birining darajasi mos keladigan maxrajdan kamida bitta past bo'lgan noma'lum ko'phadlar; bu holda  integralning ratsional qismi deyiladi.
Muntazam ratsional kasrlarni integrallash Ostrogradskiy usuli yordamida amalda qanday amalga oshirilganligini biz misol bilan ko'rsatamiz:
6.6.60-misol.  ;
Biz Ostrogradskiy usulini qo'llaymiz. Bu yerda  ;
Shuning uchun eng katta umumiy omil:  va  bo'ladi  ;
Keyin  ;
Shunday qilib, Ostrogradskiy formulasiga ko'ra, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
bu yerda  va  eng ko'p ikki darajali ko'phaddir.
Keling, ularni aniqlanmagan koeffitsient bilan yozamiz

Ushbu tenglikning ikkala tomonini farqlab, biz quyidagilarni topamiz:
;
O'zimizni maxrajdan ozod qilib, biz o'ziga xoslikni olamiz:
...
Ushbu o'ziga xoslikning o'ng va chap tomonidagi x ning bir xil darajadagi koeffitsientlarini tenglashtirib, biz tenglamalar tizimini olamiz:
Uni hal qilib, biz topamiz:
, 
,
,
,
... Shuning uchun
...
;  ;
va hokazo.
Eyler almashtirishlari
Shaklning integrallari 
Qaerda  nisbatan ratsional  va  funktsiya;
; Eyler almashtirishlari deb ataladigan maxsus ratsionalizator almashtirishlar yordamida hisoblash mumkin.
Umuman olganda, ushbu turdagi integrallarni hisoblash uchun juda ko'p turli xil usullar mavjud, masalan, yuqorida muhokama qilingan trigonometrik almashtirishlar va boshqalar.