Основные понятия об измерениях и измерительных приборах

Тасодифий хатоликлар
Тасодифий хатоликлар ўзининг қиймати ва табиати бўйича олдиндан ноаниқ бўлади. Қайта ўлчашларда уларнинг қийматлари ўзгармай қолмайди, чунки ўлчаш жараёнига биргаликда таъсир этаётган кўплаб сабаблар, бир-бирига боғлиқ бўлмаган холда, хар бири ўзини хар хил тутади.
Бир маротаба ўлчашда тасодифий хатоликларни ҳисобга олиб бўлмайди. Лекин хар бир қийматни бир неча маротаба ўлчаб, ўлчаш натижаларидан систематик ва қўпол ўлчаш натижаларини чиқариб ташлаб, маълум бир эхтимоллик билан уларнинг таъсирини аниқлаш мумкин.
Эхтимоллар назарияси ва математик статистика усулларига асосланган тасодифий хатоликлар назарияси ёрдамида қайта ўлчашларни амалга ошириб, олинаётган натижага аниқлик киритиш мумкин. Шу сабабли, тасодифий хатоликлар назарияси ўлчаш аниқлигини ва ўлчов асбобларининг ишлашини ишончлилиги (надежноть) баҳолашда кенг қўлланилади.
Бир хил ўзгармас катталикни кўп матра қайта ўлчашлар шуни кўрсатадики, бир хил қийматли ва хар хил ишорали тасодифий хатоликлар, маълум қонуниятларга бўйсинувчи турғун частотани сақлаб қолади. Амалга оширилган ўлчашлар сонини п десак ва т деб олинган бир хил тасодифий хатоликлар сонини белгиласак, унда, бу хатоликларнинг пайдо бўлиши эхтимоллиги Р қуйидаги формула бўйича аниқланади
Р =
Кўп сонли ўлчашлар нитижасида хар хил тасодифий хатоликларни пайдо бўлиши эхтимоллиги кўп холатларда қуйидаги нормал тақсимланиш қонунига бўйсинади:
P(Δ_c) = e ^–
Бу ерда, Р (Δ_с) – тасодифий хатоликни пайдо бўлиш эхтимоллиги;
Δ_с – ўлчашдаги тасодифий хатолик (Δ_c = х - X);
σ – ўлчаш натижасининг ўртача квадрат четлашуви;
e - натурал логарифм асоси.
4-расмда ўрта квадрат четлашиш σ нинг икки қиймати учун нормал тақсимланиш қонуни бўйича қурилган 1 ва 2 тасодифий хатоликларнинг нормал тақсимланиш эгри чизиқлари келтирилган. Бунда, 1 эгри чизиқдаги четлашиш 2 чизиқдагидан икки баробар кичик. Тақсимланиш эгри чизиқлари ордината ўқига нисбатан симметрик равишда жойлашган ва бунда қийматлари бир-бирига тенг, лекин тескари ишорага эга бўлган тасодифий хатоликлар пойдо бўлиш эхтимоллиги бир хил. Эгри чизиқлар ўрта қисми бўртиб чиққан бўлиб, унинг икки томонида а ва b перегиб нуқтаси мавжуд. Бу нуқталардан пастда эгри чизиқ асимптотик равишда абцисса ўқига қараб кетади.
Бу икки эгри чизиқ учун ҳам тасодифий хатолик мавжудлигининг энг катта эхтимоллиги Δ_с = 0 бўлганда бўлади.. Унинг қийматининг ортиши (қандай ишорада бўлишига қарамасдан) тасодифий хатолик пайдо бўлиши эхтимоллигининг камайишига олиб келади.

Расм.4 Расм.5
4- расмдан кўриниб турибдики, 1 ва 2 тақсимланиш эгри чизиқлари хар хил энг катта эхтимолликларга Р(Δ_с) ва хар хил a ва b перегиб нуқталар орасидаги масофага эга. Бу нуқталар ва ордината ўқи оралиғи ўлчаш натижасининг ўртача квадратик четлашишига ±σ тенг бўлиб, у тасодифий хатоликлар қийматларининг ёйилиш даражасини ифодалайди. Тасодифий хатоликлар қийматларининг ёйилиш даражаси, яъни тақсимланиш эгри чизиғи кенглиги бўлиб, дисперсия D(Δ_с)= σ² хизмат қилади. σ қиймати қанча кичкина бўлса, хатоликларнинг ёйилиши шунча кичик бўлади, чунки, бунда тақсимланиш эгри чизиғи остидаги юзанинг ҳаммаси ордината ўқига жуда яқин жойлашган бўлиб, бу кичик хатоликлар пайдо бўлиш эхтимоллигини оширади ва катта хатоликлар пайдо бўлиши эхтимоллигини камайтиради. Шундай қилиб, σ нинг кичрайиши ўлчаш аниқлигини ошишига олиб келади.
Тасодифий хатоликлари бўлган қайта ўлчашлар натижаларини қайта ишлашда, ўлчашнинг якуний натижаси ҳисобланган ўртача арифметик қиймат аниқланади, яъни,
=
бу ерда, х₁, х₂ ..., х_n – шартли равишда х_i деб белгиланган n (ўлчашлар сони) та ўлчанган қийматлар қатори.
Тасодифий хатоликни аниқлаш учун ўлчаш натижасининг ўртача квадратик четлашиши σ, қуйидаги тенглама бўйича аниқланади:
σ=
Тасодифий хатоликларнинг нормал тақсимланиш эгри чизиғининг асосий характеристикалари 5–расмда келтирилган. Тасодифий хатоликлар қандайдир интервалдан чиқиб кетмасликлари эхтимоллиги, шу интервалда абцисса ўқи ва тақсимланиш эгри чизиғи билан чегараланган юза билан аниқланади. Ушбу интервал ±ε ишонч интервали дейилади ва унга мос келувчи тасодифий хатоликларнинг пайдо бўлиш эҳтимоллиги (штрихланган юза) Ф (t) ишонч эҳтимоллиги дейилади.
Ўлчаш натижаларининг қайта такрорланиш даражасини ифодаловчи ишонч интервали хар хил қийматларга эга бўлиши мумкин. Катта ишонч интервалида катта ишонч эхтимоллиги бўлади. Ўлчашда, агар ишонч интервали берилган бўлса, ишонч эҳтимоллиги аниқланади, ва агар ишонч эҳтимоллиги берилган бўлса, унда ишонч интервали аниқланади. Шундай қилиб, тасодифий хатоликларнинг қийматини таснифлаш учун икки катталик – ишонч интервали ва ишонч эхтимоллигини аниқлаш керак экан.
Ишонч интервали ε одатда ўртача квадрат четлашишнинг бир қисми бўлган нисбий катталик t орқали ифодаланади, яъни,
t = .
Ишонч эхтимоллиги (Ф (t)) ёки катталигини (t), тасодифий хатоликларни нормал тақсимланиши қонунига асосан тузилган 1-жадвал ёрдамида аниқланади.
Тахмин қилайлик, х катталигини маълум ўлчашлар сонида формулалар ёрдамида ҳисобланган қийматлари х = 1,27 ва σ = 0,025 бўлди. Алоҳида ўлчашнинг х_i тасодифий хатолиги Δ_с, 1,26 < х_i < 1,28 тенгсизлик билан ифодаланган танланган ишонч интервали ε = ±0,01 чегарасидан ўтмаслик эхтимоллигини аниқлаш керак бўлсин. Унда,
t = тенглама бўйича t ни топамиз: t = 0,01 : 0,025 = 0,4.
1-жадвал бўйича, ишонч эҳтимоллиги Ф (t) = 0,31. Шундай қилиб, умумий ўлчашларнинг 30%, ±0,01 дан ошмайдиган тасодифий хатоликларга Δ_с эга бўлади.