Основные понятия и теоремы. Линейные операторы

2. Основные методы решения


.1 Упрощение уравнений второго порядка на плоскости

Преобразование квадратичной формы применяется, в частности, к упрощению уравнений линий и поверхностей второго порядка. Рассмотрим уравнения поверхностей.

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат . Если х и у - координаты произвольной точки на плоскости в данной системе координат, то, как известно,

(I) уравнение определяет эллипс;

(II)уравнение - точку;
(III)уравнение - пустое множество точек
(мнимый эллипс);
(IV)уравнение - гиперболу;
(V)уравнение - пару пересекающихся прямых;
(VI)уравнение ( ), - параболу;
(VII) уравнение ( ) - пару параллельных прямых;
(VIII) уравнение ( ) - пару слившихся прямых;
(IX) уравнение ( ), - пустое множество точек.

Уравнения (Г) - (IX) называются каноническими уравнениями фигур второго порядка на плоскости.

Уравнения (I) - (III) определяют фигуру эллиптического типа. уравнения (IV), (V) - гиперболического типа, уравнения (VI) - (IX) -параболического типа.
Рассмотрим уравнения второго порядка


, (11)
.

Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению (11), образует некоторую фигуру. Покажем, что это уравнение определяет одну из фигур (I) - (IX). Для этого найдем уравнение фигуры (11) в системе координат( ), где векторы и получены из векторов и ортогональным преобразованием с матрицей перехода Т

При этом формулы преобразования координат точек будут иметь вид

Подставив эти значения х и у в уравнение (11), получим уравнение данной фигуры в системе координат ( ).

Сумма первых трех членов
(12)

является квадратичной формой двух переменных , которую мы будем называть квадратичной формой, соответствующей уравнению (11).

Матрица этой формы имеет вид

Пусть выбранное преобразование приводит квадратичную форму (12) к каноническому виду (как известно, такое преобразование всегда существует)

,

где - корни характеристического уравнения матрицы А. Тогда уравнение (11) примет вид

(13)
где ,

. Возможны следующие случаи. . Так как определитель матрицы квадратичной формы не меняется при ортогональном преобразовании, то , т.е. и имеют одинаковые знаки.

В уравнении (13) дополняем до полного квадрата члены, содержащие и , а также члены, содержащие и . После этого уравнение можно записать так:
(14)

Осуществим параллельный перенос системы координат ( ) на вектор , координатами которого в системе координат ( ) являются и . Тогда уравнение (14) в системе координат ( ) примет вид

(15)

Если , то уравнение (15) приводится к виду (I) или (III). Если - к виду (II).

. , следовательно, и , т.е. и - разных знаков.
Как и в первом случае, уравнение (13) можно привести к виду (15). В этом случае, если , уравнение (15) приводится к виду (IV), если - к виду (V).
. , следовательно, и , т.е. и равно нулю.
Будем считать, что , . Дополняя в уравнении (13) члены, содержащие и , до полного квадрата, получим


(16)

Если , то уравнение (16) можно записать в виде

. (17)

Осуществим параллельный перенос системы координат ( ) на вектор . Уравнение (17) в системе ( )примет вид:

Это уравнение сводится к виду (VI). Если , то уравнение (16) имеет вид:

.

Осуществив параллельный перенос системы координат ( ) на вектор , получим в системе координат ( ) уравнение

.

Это уравнение при приводится к виду (VII) или (IX), при - к виду (VIII).

Итак, если ,то уравнение (11) определяет фигуру эллиптического типа; если - гиперболического; если -параболического типа.
Можно сказать, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11) принимает канонический вид. Чтобы найти эту систему координат, поступаем следующим образом.
Находим ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к каноническому виду.
По этому преобразованию находим главные направления фигуры, т.е. векторы - ортонормированные собственные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей данному уравнению.
Находим уравнение данной фигуры в системе координат ( )
В полученном уравнении производим дополнения до полных квадратов так, как это было указано выше. Находим координаты точки , которая является началом искомой системы координат.
В найденной системе координат ( ) уравнение данной фигуры имеет канонический вид.