Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Тема 5. Вычисления с группами и перестановками
Группы. Гомоморфизмы групп, их свойства. Подгруппы. Пересечение подгрупп. Образ и прообраз группы при гомоморфизме. Образ гомоморфизма. Отношения эквивалентности в группе по подгруппе. Теорема Лагранжа. Нормальные подгруппы. Образ и прообраз нормальной подгруппы при гомоморфизме. Ядро гомоморфизма. Отношение эквивалентности в группе по нормальной подгруппе. Факторгруппа. Факторизация гомоморфизмов. Теоремы об изоморфизмах.
Подгруппа, порождённая множеством. Образ с помощью гомоморфизма. Циклические группы. Обращение теоремы Лагранжа для циклических групп. Разрешимые группы, их свойства. Примеры разрешимых групп. Произведение и прямое произведение подгрупп. Прямая сумма подгрупп абелевой группы. Разложение циклической группы в прямую сумму примарных циклических подгрупп. Разложение конечной абелевой группы в прямую сумму циклических групп. Тип конечной абелевой группы. Обращение теоремы Лагранжа для конечной абелевой группы.
Перестановки и шифры. Транспозиции. Разложение перестановки в произведение циклов и транспозиций. Системы образующих симметрической группы. Инверсии. Сигнатура перестановки. Четные и нечетные подстановки, теорема о декременте. Орбита и стабилизатор элемента. Сопряжённые перестановки. Критерий сопряженности подстановок. Уравнение Коши. Разрешимость и неразрешимость групп перестановок.
Генерация лексикографической перестановки. Сложные замены. Простые замены. Переходы простых изменений. Общая структура. Пропуск нежелательных блоков. Лексикографические перестановки с ограниченными префиксами. Дуальные методы.
Тема 6. Вычисления в числовых полях
Расширения полей. Степень расширения. Конечные расширения. Теорема транзитивности конечных расширений. Алгебраические и трансцендентные элементы. Стандартные представления алгебраических чисел. Матричные представления алгебраических чисел. Алгебраические расширения полей. Минимальный многочлен алгебраического элемента. Признак алгебраического элемента. Свойства алгебраических расширений. Алгебраическое замыкание поля. Гомоморфизмы алгебраических расширений. Поля разложения многочленов и нормальные расширения. Сепарабельные элементы. Сепарабельные многочлены. Сепарабельные расширения полей.