Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание основных разделов (тем) курса
Тема 1.Введение в римановы поверхности.
Место теории модулярных форм и модулярных кривых среди других математических дисциплин. Источники её развития и области приложения. Формы самостоятельной работы студентов по изучению курса. Основная литература к курсу.
Карты. Атласы. Определение римановой поверхности. Примеры. Алгебраическая кривая как риманова поверхность. Функции, дифференциальные формы и дивизоры на римановой поверхности. Главные дивизоры. Канонический дивизор. Общая теорема Римана-Роха. Ветвление отображений. Формула Гурвица.
Тема 2. Модулярные формы
Модулярная группа. Модулярные функции. Модулярные формы. Параболические формы. Конгруэнтные подгруппы. Модулярные формы относительно конгруэнтной подгруппы.
Тема 3. Комплексные торы
Решётки. Комплексные торы. Связь действия модулярной группы с гомотетией решёток. Ряды Эйзенштейна. Функция Вейерштрасса, её свойства. Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса. Эллиптические кривые. Сложение точек на эллиптической кривой. Параметризация эллиптических кривых. Теорема сложения. Эллиптические кривые как комплексные торы.
Тема 4. Модулярные кривые как римановы поверхности
Топология модулярных кривых. Параболические точки. Классические модулярные кривые. Башни модулярных кривых. Род модулярных кривых. Ветвление в башнях.
Тема 5. Алгебра модулярных форм
Нули и полюсы модулярной функции. Алгебра модулярных форм. Размерность пространства модулярных форм. Модулярный инвариант. Коэффициенты его ряда Фурье.
Тема 6. Операторы Гекке и их свойства
Определение T(n). Матричная лемма. Действие операторов Гекке на модулярные функции. Собственные функции операторов T(n). Примеры: ряды Эйзенштейна, функция . Скалярное произведение Петерссона. Старые формы и новые формы. Тэта-функции.
Тема 7. Введение в редукцию кривых
Понятие редукции аффинных кривых. Хорошая редукция. Понятие редукции проективных кривых и морфизмов. Описание редукции модулярных кривых.