Основная профессиональная образовательная программа высшего образования

Содержание дисциплины
Тема 1. Матрицы и определители
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Перестановки из n элементов. Подстановки степени n. Четность подстановок. Понятие определителя порядка n. Определители порядка 2 и 3. Свойства определителей. Теоремы о разложении определителя по элементам строки. Теорема Лапласа. Формулы Крамера решения системы линейных уравнений. Теорема об определителе произведения матриц. Обратная матрица. Матричные уравнения. Элементарные преобразования матриц. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Тема 2. Поле комплексных чисел
Построение поля комплексных чисел. Действия с комплексными числами. Комплексно сопряженные числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Корни степени n из единицы. Первообразные корни.
Тема 3. Кольцо многочленов от одной переменной
Построение кольца многочленов от одной переменной. Действия над многочленами. Теорема деления многочленов с остатком. Делимость многочленов. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Взаимно простые многочлены. Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочленов. Кратность корня и её связь со значениями производных. Основная теорема алгебры многочленов, следствие из нее. Каноническое разложение многочлена. Формулы Виета. Многочлены с действительными коэффициентами и их корни. Приводимость многочленов над полем. Разложение многочленов на неприводимые множители над полями действительных и комплексных чисел. Многочлены с рациональными коэффициентами и их корни. Поле рациональных дробей. Разложение рациональной дроби на простейшие.
Тема 4. Основные алгебраические структуры
Внутренние бинарные и внешние операции на множестве. Понятие алгебраической структуры. Понятия полугруппы и группы. Примеры. Свойства элементов группы. Группа подстановок. Группа невырожденных матриц. Циклические группы. Конечные группы. Подгруппы. Признаки подгрупп. Теорема Лагранжа. Группы ортогональных и унимодулярных матриц. Кольца, тела, поля. Основные свойства элементов кольца. Примеры. Кольцо матриц. Кольцо классов вычетов. Подкольца. Идеалы. Подполя.