Orginal k=1 n bo'lsa

f

k

( )

t

( )

orginal  k=1,2,3..n bo'lsa

f

k

( )

t

( )

P

k

÷

F P

( )

P

k 1

−

f 0

( )

−

P

k 2

−

f ' 0

( )

....

−

⋅

−

f

k 1

−

(

)

0

( )

−

bo'ladi. Hususan:

f' t

( )

P

÷

F P

( )

⋅

f 0

( )

−

6. Orginalni integrallash hossasi

0

t

τ

f

τ

( )

⌠



⌡

d

1

p

÷

F P

( )

7. Tasvirni diffrensiallash hossasi. Tasvirni argument P bo'yicha diffrensiallasak orginal -t ga 

ko'paytiriladi.

F

n

( )

P

( )

1

−

(

)

n

÷

t

n

f t

( )

P

∞

p

F p

( )

⌠



⌡

d

1

t

÷

f t

( )

8. Tasvirni integrallash hossasi. 

9. Tasvirlarni ko'paytirish hossasi. Borel teoremasi.  

Agar 

f t

( )

F P

( )

÷

va

g t

( )

G P

( )

÷

bo'lsa

F P

( ) G P

( )

⋅

f

÷

g

×

0

t

τ

f

τ

( )

g t

τ

−

(

)

⌠



⌡

d

÷

f

g

×

simvol f(t) va g(t) funksiyalarni kompozitsiyasi (o'ramasi) deb ataladi.

10. Dramel integrali. Agar

f t

( )

F P

( )

÷

va 

g t

( )

G P

( )

÷

bo'lsa 

P F P

( )

⋅

G P

( )

⋅

f 0

( )

÷

g t

( )

f'

g

×

(

) t

( )

+

bo'ladi. Bu yerda 

f'

g

×

(

) t

( )

0

t

τ

t

f t

τ

−

(

)

g

τ

( )

d

d

⌠





⌡

d

Edit by Homidjonov Shavkat.     Copyright 2007   All rights reserved. 

Orginal hisob va uning bazi tadbiqlari

Laplas almashtirishlari va hossalari:

Agar haqiqiy o'zgaruvchi f(t) funksita uchun quyidagi shartlar bajarilsa:

1. t<0 da f(t)=0

f t

( )

M e

S t

⋅

⋅

<

bo'lsa

2. shunday M>0 va S>0 o'zgarmas sonlar mavjud bo'lsaki va

3. f(t) bo'lakli-uzluksiz yani chekli intervalda chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega 

bo'lsa, u vaqtda quyidagi hosmas integralga Laplas almashtirishlari deyiladi va bunday yoziladi:

F P

( )

0

∞

t

e

p

−

t

⋅

f t

( )

⌠



⌡

d

÷

F(P) funksiya f(t) funksiyaning laplas tasviri deb ataladi. f(t) funksiya esa  orginal deb 

aytiladi

Asosiy hossalari:

1. Tasvirning chiziqlilik hossasi:

Ixtiyoriy 

c

k

k=1,2,3..n o'zgarmas sonlar uchun quyidagi tenglik o'rinli: 

1

n

k

C

k

f t

( )

k

∑

=

1

n

k

C

k

F

k

P

( )

∑

=

÷

2. Orginal argumentni musbat songa ko'paytirish xossasi. O'xshashlik teoremasi:

Har qanday o'zgarmas musbat a>0 son uchun quyidagi tenglik o'rinli 

f at

(

)

1

a

F

P

a

























÷

3. Orginal argumentni musbat 

τ

>0 vaqtga kechikish xossasi. Kechikish teoremasi:

Agar orginal f(t-

τ

) ga kechiksa tasvir 

e

p

−

τ

⋅

ga  ko'paytiriladi:

f t

τ

−

(

)

e

p

−

τ

⋅

F P

( )

(

)

÷

4. Tasvirning kechikish hossasi. Siljish teoremasi: Agar orginal

e

α

t

ga ko'paytirilsa 

  

α

 ga kechikadi:

e

α

t

f t

( )

(

)

F P

α

−

(

)

÷

5. Orginalni difrensiallash hossasi. Agar f(t) va uning hosilalari 

 

F(P) 

f(t) 

F(P) 

f(t) 

 

t

2

ω

sin

ω

t

p

p

2

ω

2

+

(

)

2

2

t

1

cos

α

t

−

(

)

ln

p

2

α

2

+

p

2

















1

t

e

β

t

e

α

t

−

(

)

ln

p

α

−

p

β

−













1

t

sin

ω

t

arctg

ω

p

⋅

t

n 1

−

n

1

−

(

)

!

1

p

n

1

ω

3

ω

t

sin

ω

t

−

(

)

1

p

2

p

2

ω

2

+

(

)

cos t

( )

2

p

2

2

+

p p

2

4

+

(

)

sin t

( )

2

2

p p

2

4

+

(

)

1

ω

2

1

cos

ω

t

−

(

)

1

p p

2

ω

2

+

(

)

e

α

t

−

α

t

+

1

−

α

2

1

p

2

p

α

+

(

)

1

1

α

t

+

(

)

e

α

t

−

−

α

2

1

p p

α

+

(

)

2

ch

ω

t

p

p

2

ω

2

−

cos

ω

t

p

p

2

ω

2

+

 

 

tg

1

ω

k

2

ω

2

+

⋅

sin

ω

t

φ

+

(

)

⋅

p

k

+

p

2

ω

2

+

k

α

−

(

)

e

α

t

−

k

β

−

(

)

e

β

t

−

−

β α

−

p

k

+

p

α

+

(

)

p

β

+

(

)

1

αβ

β

e

α

t

−

α

e

β

t

−

−

αβ β α

−

(

)

−

1

p p

α

+

(

)

p

β

+

(

)

e

α

t

−

cos

ω

t

p

α

+

p

α

+

(

)

2

ω

2

+

e

α

t

−

sin

ω

t

ω

p

α

+

(

)

2

ω

2

+

k

α

−

(

)

t

1

+





e

α

t

−

p

k

+

p

α

+

(

)

2

e

α

t

−

e

β

t

−

−

(

)

β α

−

1

p

α

+

(

)

p

β

+

(

)

sh

ω

t

ω

p

2

ω

2

−

sin

ω

t

ω

p

2

ω

2

+

t

n

n

!

e

α

t

−

1

p

α

+

(

)

n 1

+

t

n

n

!

p

n 1

+

t

1

p

2

a

t

1

p

lna

−

e

α

t

−

1

e

α

+

1

1

p