Oraliq integrallar. Tartibi kamayadigan differensial tenglamalar

ORALIQ INTEGRALLAR.TARTIBI KAMAYADIGAN DIFFERENSIAL

TENGLAMALAR

1.Bizga
(1.1)
berilgan bo’lib, uning umumiy yechimi bo’lsin.Ta’rif bo’yicha
bu munosabat va uning hosilalaridan hosil bo’lgan munosabatlardan
o’zgarmaslarni chiqarsak (1.1) differensial tenglama kelib chiqadi.Endi
(1.2)
munosabat berilgan bo’lib,ixtiyoriy o’zgarmaslar n-k ta bo’lsin hamda k-hosila
albatta qatnashsin (1.2) ni x bo’yicha n-k martta differensiallaymiz:
(1.3)
Ta’rif:(1.2) va (1.3) lardan tashkil topgan n-k+1 ta munosabatlardan n-k ta ixtiyoriy o’zgarmaslarni chiqarish natijasida (1.2) munosabat (1.1) differensial tenglamaning oraliq integrali deyiladi.
Agar (1.2) munosabat faqat bitta ixtiyoriy o’zgarmasni o’z ichiga olsa,uni (1.1) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi.
Ko’rinib turibdiki (1.2) munosabat k-tartibli differensial tenglamadir.Uni integrallasak yangi k ta ixtiyoriy o’zgarmaslar ishtirok etadi.(1.2) tenglamaning yechimi o’zidagi n-k ta o’zgarmaslar bilan birga hammasi bo’lib n ta ixtiyoriy o’zgarmasga ega bo’ladi.Bu yechim (1.1) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.Agar funksiya (1.2) tenglamaning yechimi, ya’ni bo’lib bo’lsa,
u holda I intervalda funksiya (1.1) differensial tenglamaning yechimi bo’ladi.Biror (1.1) differensial tenglamaning oraliq integrallari ma’lum bo’lsa berilgan tenglamani integrallash masalasi tartibi undan past bo’lgan differensial tenglamani integrallashga keladi.Xatto, agar (1.1) differensial tenglamaning n ta birinchi integrali

ma’lum bo’lsa,u holda bu munosabatlardan larni chiqarib, berilgan tenglamaning umumiy yechimini hosil qilish mumkin.
Misol. differensial tenglamaning birinchi integralini topish oson.
Uni ko’rinishida yozsak, birinchi integral kelib chiqadi.
Yana integrallab, bo’lganda bo’lganda esa,
umumiy integralni hosil qilamiz.
2.Bu bandda ko’riladigan differensial tenglamalarni integrallash masalasi avval oraliq integralni topishga, so’ngra shu oraliq integral bilan berilgan differensial tenglamani integrallashga olib kelinadi.
a) n-tartibli differensial tenglamada noma’lum funksiya y va uning ketma-ket kelgan hosilalari qatnashsin deylik. U holda differensial tengla-
ma

ko’rinishida yoziladi.Bu holda deyilsa,
(n-k)- tartibli differensial tenglama hosil bo’ladi. Uni integrallash mumkin desak,
umumiy yechim hosil bo’ladi. Endi bo’lgani uchun ni hosil qilamiz. Bu k-tartibli differensial tenglamani integrallasak umumiy yechimga ega bo’lamiz.
b) Agar n-tartibli differensial tenglamada erkli o’zgaruvchi oshkor holda qatnashmasa, ya’ni tenglama ko’rinishda bo’lsa, y ni yangi erkli o’zgaruvchi, ni yangi noma’lum funksiya deb, ushbu almashtirishni bajaramiz ( ):

,…… .

Bu hisoblashlar yordamida miqdor miqdorlar orqali ifodalanishini matematik induksiya usuli bilan ko’rsatish mumkin. Shu almashti-
rishni bajarsak,(k-1)-tartibli

differensial tenglamaga kelamiz.Demak,ko’rilayotgan holda differensial tenglamaning tartibini bittaga kamaytirish mumkin.Agar hosil bo’lgan tenglamaning umumiy yechimi

Bo’lsa, shu munosabat berilgan tenglamaning oraliq integrali bo’ladi. Endi berilgan differensial tenglamaning umumiy integralini toppish uchun uning oraliq integralini birinchi tartibli differensial tenglama sifatida integrallash kifoya.
c) (1.1) differensial tenglamada
larga nisbatan m-tartibli bir jinsli funksiya bo’lsin, ya’ni ushbu

ayniyat o’rinli bo’lsin. Bu holda agar y>0 bo’lsa (y<0 hol ham shunga o’xshash ko’riladi),u holda yangi noma’lum funksiya z(x) ni kiritish yo’li bilan berilgan dif-
ferensial tenglama tartibini bittaga kamaytirish mumkin. Haqiqatan,
(1.4)
deylik. Ketma-ket differensiallab , topamiz:

Matematik induksiya usuli bilan ixtiyoriy j uchun

Formulani isbot etish mumkin, unda funksiyalar z ning butun funksiyalari.Endi topilgan ifodalarni (1.1) tenglamaga qo’yamiz va yangi o’zgaruvchi z ga nisbatan n-1- tartibli ushbu:
Differensial tenglamaga kelamiz.Agar bu tenglamani integrallash mumkin bo’lsa, uning umumiy integrali

Berilgan (1.1) tenglamaning oraliq integrali bo’ladi (chunki (1.4) formuladan va ushbu oraliq integralga kelamiz).
Bu birinchi tartibli differensial tenglamadir. Uni integrallasak, yana bitta ixtiyoriy o’zgarmas qatnashadi.
Ba’zi hollarda F funksiyaning bir jinsliligi erkli o’zgaruvchiga nisbatan ham o’rinli bo’lib, (1.1) differensial tenglamani ko’rinishi-
da yozilsa, ushbu

Ayniyat bajariladi. Bu holda ham erkli o’zgaruvchini ham noma’lum funksiyani
almashtiriladi. Agar
almashtirish bajarilsa, erkli o’zgaruvchini o’z ichiga oshkor olmagan n-tartibli differensial tenglamaga kelamiz. Bunday tenglamalarning esa tartibini bittaga kamaytirish mumkin.Agar x<0 bo’lsa, kabi almashtirish bajariladi.Shunga o’xshash, F funksiya umumlashgan bir jinsli bo’lgan holini
( ham ko’rish mumkin.Bunda
almashtirish (1.1) tenglamani erkli o’zgaruvchi ni o’z ichiga olmagan n-tartibli differensial tenglamaga olib keladi.Uning tartibini bittaga kamaytirish mumkin.
g) Agar (1.1) differensial tenglamada funksiya biror funksiyaning to’liq differensiali bo’lsa,ya’ni ushbu
= munosabat o’rinli bo’lsa. U holda (1.1) tenglamaning bitta birinch integrali = ko’rinishida yoziladi. Bu esa, o’z navbatida berilgan differensial tenglamaga qaraganda tartibi bitta kam (n-1)-tartibli differensial tenglamadir.n-tartibli differensial tenglamalarning ba’zi turlari ham integrallovchi ko’paytuvchiga ko’paytirish usuli bilan to’liq differensialga keltirilishi mumkin, ya’ni

Bu holda funksiyani izlashning umumiyroq usuli yo’q.Ko’pincha berilgan
differensial tenglamaning maxsus ko’rinishi ni topishga imkon beradi.
Masalan,yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama
uchun uning o’ng tomonini to’liq differensialga keltirish kifoya.Haqiqatan,agar
Bo’lsa, u holda deb yozish mum- kin.Bundan birinchi integral +C kelib chiqadi.
n=2 bo’lganda differensial tenglama to’liq differen-
sialli bo’lishi uchun ifoda to’liq differensial bo’lishi lozim.Bu-ning uchun ayniyat bajarilishi zarur va yetarli.
MISOLLAR.