O‘quvchilarga ba’zi funksional tenglamalarni yechish usullarini o‘rgatish Nasriddin Raximov

O‘quvchilarga ba’zi funksional tenglamalarni yechish usullarini o‘rgatish
Nasriddin Raximov_

SamDChTI akademik litseyi

oliy toifali matematika fani o‘qituvchisi
Ushbu maqolada hozirgi kunda turli xil matematik turnir va olimpiadalardan o`rin olgan ba’zi-bir funksional tenglamalarni yechish usullari qarab o‘tilgan.

Kalit so‘zlar: Funksiya, funksional tenglama, tengsizlik, haqiqiy sonlar, misol, yechim, qiymat.
Keyingi yillarda matematik olimpiadalarda ko‘plab funksional tenglamalarga oid masalalar ko‘plab uchramoqda. Shu maqsadda ushbu maqolani yozishni maqsad qildik. Ushbu ishimizda ba’zi-bir funksional tenglamalarga doir misollarni yechimlarini ko‘rsatib o‘tdik. Noma’lum funksiyaga nisbatan qaralayotgan tenglama funksional tenglama deyiladi.

1-misol. funksional tenglama berilgan. ni qiymatini toping.

Dastlab x=0 holni qaraymiz. , . Endi x=5 holni qarasak . Javob:

2-misol. Agar bo‘lsa, - funksiyani toping.

Bu tenglamani yechish uchun almashtirish bajarilsa berilgan tenglama ko‘rinishni oladi. Hosil bo‘lgan tenglamani -2 ga ko‘paytirib berilgan tenglamaga qo‘shsak tenglikni hosil qilamiz. Bundan esa, ekanligini topamiz. Javob: .

3-misol. Agar bo‘lsa, - funksiyani toping.

Bu tenglamani yechish uchun ko‘rinishdagi almashtirish olsak, berilgan tenglama ko‘rinishni oladi. Hosil bo‘lgan tenglamani -x ga ko‘paytirib, berilgan tenglamaga qo‘shsak tenglikni hosil qilamiz, bundan esa funksiyani topamiz. Javob: .

4-misol. Ixtiyoriy larda aniqlangan shartni qanoatlantiruvchi - funksiyalarni toping.

Berilgan tenglamada x=2y ko‘rinishdagi almashtirish olsak, tenglik hosil bo‘ladi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Javob: .

5-misol. funksiya ixtiyoriy x uchun aniqlangan va quyidagi xossalarga ega: bo‘lsa, ning qiymatini toping.

Masalaning 2) va 3) shartlaridan , ya’ni . Hosil bo‘lgan tengsizlik va 3) shartdan , ya’ni . Xuddi shu tartibni davom ettirsak, natijani olamiz. Bu va 3) shartdan funksional tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamanining yechimini ko‘rinishda izlab, a=b=1 ekanini topamiz. Demak, bo‘lgani uchun bo‘ladi. Javob: 2020.

6-misol. soni uchun (1) munosabat o‘rinli bo‘ladigan barcha - funksiyani toping.

Berilgan tenglamada almashtirish bajarilsa, berilgan (1) -tenglama (2) ko‘rinishga keladi. Endi yana (1)-tenglamada almashtirish olsak, (3) tenglama hosil bo‘ladi. Endi (1) va (2) ni hadma-had ayirib, (3) ni qo‘shsak, u holda tenglikni va bundan tenglamaning yechimini hosil qilamiz.

7-misol. Ushbu tenglikni qanoatlantiruvchi funksiyani toping.

Berilgan tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz. U holda berilgan tenglamadan tenglikka kelamiz. Bu tenglik barcha x lar uchun bo‘lganda, ya’ni bo‘lgandagina bajariladi. Bundan berilgan tenglamaning yechimi ekanligi kelib chiqadi. Javob: .

8-misol(2016-yil viloyat olimpiadasi). Barcha R haqiqiy sonlar to‘plamida uzluksiz funksiya uchun funksional tenglamani yeching.

ko‘rinishdagi almashtirish olamiz: . Oxirgi tenglikda x ni o‘rniga navbatma-navbat almashtirishlar olamiz: , ,

Topilgan ifodalarni uchun aniqlangan oxirgi tenglikka qo‘yamiz:

bu yerda n-ixtiyoriy natural son. Oxirgi qavs ichidagi yig‘indiga geometrik progressiya n ta hadi yig‘indisi formulasini qo‘llasak,

. Oxirgi natijadan da limitga o‘tsak, ekani kelib chiqadi. natija berilgan funksiyani qanoatlantirishini osongina tekshirish mumkin. Javob: .

Mustaqil yechish uchun misollar:

1) bo‘lsa, - funksiyani toping.

2) bo‘lsa, - funksiyani toping.

3) tenglamani qanoatlantiruvchi - funksiyani toping.

4) , bunda shartni qanoatlantiruvchi barcha - funksiyalarni toping.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. A.Abduhamedov, H.Nasimov, U.Nosirov, J.Husanov ” Algebra va matematik analiz asoslari” I-qism, Toshkent: O‘qituvchi nashriyoti, 2008 yil.

2. Лопщиц А.М. Функциональные уравнения. Квант,1970 г. №1-2,30-35 с.

3. Андреев.А.А. и др. Функциональные уравнения. Самара: В мире науки,1999г.

4. Лихтарников Л.М.Элементарное введение в функциональные уравнения.- СПб: Лань, 1977г.- С.160.