Оптик ўтишларида атом системаси бирор Е

7-rasm. Sathlar orasidagi o‘tishlar.

Ma’lum o‘tishlar ehtimoliyati tushunchasi, sistema energiyasining o‘zgarishi juda qisqa vaqtda va boshqa jarayonlarga bog‘liq bo‘lmagan holda o‘zgaradi deb qaralgandagina aniqlanishi mumkin.

Aytaylik,  – chastotali fotonlarni nurlantiradigan yoki yutadigan bir xil zarrachalar (atomlar yoki molekulalar) to‘plami bo‘lsin, u holda:
(1)
vaqt birligi ichida spontan nurlangan fotonlar soni yuqori E_i-energetik sathdagi zarrachalarning soni N_i-ga proporsional bo‘ladi.
(2)
Proporsionallik koeffitsiyenti
(3)
vaqt birligi ichida  - chastota bilan chiquvchi zarrachalar soniga teng. Bunga spontan nurlanish ehtimoliyati yoki spontan nurlanish uchun Eynshteyn koeffitsiyenti deyiladi. Bu kattalikning o‘lchov birligi [sek^-1] bilan ifodalanadi.
20. Eyshteyn koeffisentlari va ularning o’lchov birliklari
Proporsionallik koeffitsiyenti
(3)
vaqt birligi ichida  - chastota bilan chiquvchi zarrachalar soniga teng. Bunga spontan nurlanish ehtimoliyati yoki spontan nurlanish uchun Eynshteyn koeffitsiyenti deyiladi. Bu kattalikning o‘lchov birligi [sek^-1] bilan ifodalanadi.
Vaqt birligi ichida yutilgan fotonlar soni pastki energetik sathdagi Ye_k zarrachalar soniga proporsional bo‘ladi. Yutilish majburiy jarayon bo‘lganligi uchun nurlanishning zichligiga  (), ya’ni hajm birligidagi ma’lum chastotali fotonlarning energiyasiga ham proporsionaldir, ya’ni
(4)
U holda yutilgan fotonlar soni
(5)
proporsionallik koeffitsiyenti
(6)
vaqt birligi ichida Ye_k energiyali bitta zarracha hisoblangan  = _ki chastotali fotonlar soniga va nurlanishning birlik zichligiga tengdir. U yutilish uchun Eynshteyn koeffitsiyenti deyiladi.
B_ki () kattalik xuddi A_ik koeffitsiyent kabi [sek^-1] bilan o‘lchanib vaqt birligi ichida  =_ki chastotali yutiluvchi fotonlar sonini bildiradi va yutilish ehtimoliyati deyiladi. Shuning uchun B_ki () nurlanish zichlik birligiga to‘g‘ri keluvchi yutilish ehtimoliyatidir.
Yuqoridagilardan kelib chiqqan holda, =_ik chastotali majburiy nurlangan fotonlar soni quyidagiga teng bo‘ladi:
(7)
Bu yerda N_i uyg‘ongan energetik sathning to‘ldirilganligini, ya’ni hajm birligidagi zarrachalar soni, () tushayotgan yorug‘lik nurlanishining zichligini ifodalaydi. Bundan
(8)
B_ik ga majburiy nurlanish uchun Eynshteyn koeffitsiyenti deyiladi.
(9)
esa majburiy o‘tishlar ehtimoliyatidir.
21. Uyg’ongan xolatning yashash vaqtini aniqlash
Uyg‘ongan holatdagi zarrachalarni statsionar desak, ya’ni vaqt o‘tishi bilan nurlanish bo‘lmaganda o‘zgarmaydi deb hisoblasak, ya’ni faqat nurlanish hisobiga kamayadi deb qarab, quyidagi tenglamani hosil qilishimiz mumkin:
(14)
Bundan
(15)
Shunday qilib, uyg‘ongan energetik sathdagi zarrachalar soni vaqt o‘tishi bilan eksponensional qonun bo‘yicha kamayadi. Har xil zarrachalarning uyg‘ongan holatdagi yashash vaqti turlicha bo‘ladi. Shuning uchun uning o‘rtacha qiymatini topish mumkin. Yashash vaqti A_i orqali quyidagicha ifodalanadi:
(16)
ya’ni, uyg‘ongan holatdagi zarrachalarning yashash vaqti spontan o‘tishlarning to‘liq ehtimoliyatiga teskari bo‘lgan kattalikdir, bundan
(17)
_i – zarrachaning uyg‘ongan holatda yashashining o‘rtacha vaqti, ya’ni shuncha vaqtdan keyin zarracha fotonni chiqaradi. A_i esa zarracha tomonidan vaqt birligi ichida chiqariladigan fotonlar soni, _i juda kichgina bo‘lganda, bu juda katta son bo‘lishi mumkin. Misol uchun, atom va molekulalarda elektron holatlarning uyg‘otish energiyasi bir necha elektronvolt bo‘lgandagi yashash vaqti (bu ko‘rish va ultrabinafsha sohada) 10^–8 sek, ya’ni ga teng bo‘ladi.
22. Dipol nurlanish.Uning miqdori
Спонтан нурланиш ва ютилиш эҳтимолиятлари ўзаро B_{ki (1)} мунасабат билан боғланган. Бу муносабат қаралаётган атом системаси сатҳларининг канбинациясини ҳарактерловчи миқдор орқали ифодаланиши мумкин. Бундай миқдор энергетик сатҳлар орасидаги ўтишларнинг электрик ва магнит моменти ҳисобланади, у классик нуқтаи назардан системанинг электрик ва магнит моменти ампилатудасининг ўзгаришига мос келади. Классик электродинамика курсидан маълумки ютилиш ва нурланиш бу моментларнинг вақт бўйича ўзгариши билан боғлиқ.
Классик электроденамика нуқтаи назаридан тезланиш билан ҳаракатланаётган электр зарядларининг эркин системаси узлуксиз равишда энергияни нурланиш сифатида йўқотади.
Оддий ҳолда тебранувчи заряднинг вақт бирлиги ичида энергияни йўқотиши унинг тезланишининг квадратига пропорционал.
Айтайлик ±е заряд а амплитуда ва 2П=вақпап частота билан г мувозанат вазияти атрофида чизиқли гармоник тебранма ҳаракат қилаётган бўлсин.
q = acos( ) (2) Бунга мос дипол моменти
Р cos(wt+ )
Осцилляторнинг нурланиш энергияси -гармоник тебранаётган заряднинг барча йўналишлар бўйича вақт бирлиги ичида нурлантирадиган тўлиқ энергияси, -нурланишнинг классик назариясидан маълум бўлган формула ёрдамида аниқланади.

(2) ифодадан икки марта хосил олиб (4) қуйсак ва ўрта қийматини олсак

Шундай қилиб осциллятор нурланиш энергияси классик назарияга кўра частотанинг тўртинчи даражасига ва ампилатуданинг квадратига пропорционал бўлади.
23. Qutbli va qutbsiz molekulalar
24. Kvadrupol va oktupol nurlanish
Дипол нурланишнинг юқоридаги (4) асосий ифодаси тақрибий бўлиб нурланаётган заряднинг тебраниш амплитудаси а ни ҳисобга олмаганда тўғри бўлади, яъний нурланишнинг тўлқин узунлигига нисбатан амплитуда анча аниқ, яъни атом ва молекулалар учун . Масалан кўриш ва УБ соҳада бўлади, атомнинг ўлчами эса см см атрофида бўлади, яъни
Агар нурланаётган зарранинг ўлчами тўлқин узунлигига нисбатан чексиз кичик бўлмаса, дипол нурланишдан ташқари магнит дипол нурланиш ва квадрупол нурланишни ҳам ҳисобга олиш лозим. Магнит дипол моментининг вақт бўйича ўзгариши, магнит дипол нурланишни юзага келтиради. Классик электродинамикага асосан магнит дипол нурланиш энергияси ҳам электр дипол нурланиш энергиясига ўхшаш бўлади.
(16) -магнит моменти ампилитудасининг ўзгариш бўлса, M=M (17) у ҳолда магнит дипол нурланишнинг ўртача энергияси (18) бунга мос чиқаралаётган квантлар сони (19) агар ни сатҳлар ўртасида ўтишларининг иккиланган қиймати билан алмаштирсак, у ҳолда магнит дипол нурланишда айнимаган сатҳлардан спонтан ўтишлар эҳтимолияти формуласи келиб чиқади.
(20) магнит дипол ва электрик дипол нурланиш эҳтимолияти нисбати (21)
Демак магнит дипол нурланиши электрик дипол нурланишга нисбатан тақрибан миллион марта кучсизроқ экан.
Бундан ташқари квадрупол момент ҳам мавжуд бўлиб, иккита дипол квадруполни ҳосил қилади.
Маълум бир Z ўқига нисбатан уларнинг моментлари фарқ қилади.
Электрик квадрупол.
Иккита қарама-қарши орентацияланган диполлар квадруполларни ҳосил қилади. Квадрупол нурланишни сатҳлар учун Qjm десак у ҳолда квадрупол спонтан нурланиш эҳтимолияти
(22) Агар десак квадрупол ва дипол нурланиш эҳтимолияти нисбати (23) бўлади ва у нурланиш частотасига боғлиқ.
25. Magnit dipol nurlanishi va uning miqdori
Бундан ташқари квадрупол момент ҳам мавжуд бўлиб, иккита дипол квадруполни ҳосил қилади.
Маълум бир Z ўқига нисбатан уларнинг моментлари фарқ қилади.
Электрик квадрупол.
Иккита қарама-қарши орентацияланган диполлар квадруполларни ҳосил қилади. Квадрупол нурланишни сатҳлар учун Qjm десак у ҳолда квадрупол спонтан нурланиш эҳтимолияти
(22) Агар десак квадрупол ва дипол нурланиш эҳтимолияти нисбати (23) бўлади ва у нурланиш частотасига боғлиқ.
ни билан алмаштирсак см десак ҳамда 3 тенг десак у ҳолда (24) магнит дипол нурланиш эҳтимолиятидан ҳам кичикроқ қиймат келиб чиқади.
Агар дипол, магнит дипол ва квадрупол спонтан ўтишлар эҳтимолиятини таққосласак (25) спектрнинг кўриш соҳаси учун десак ва десак қийматларини оламиз.
26. Ossilyator kuchi.Nurlanish va yutilish uchun ossilyator kuchi
Классик осциллятор нурланиши билан квант ўтишлар эҳтимолияти ўртасида мосликнинг мавжудлиги, ўтишларни ҳарактерлович миқдор осциллятор кучини киритишни тақозо қилади.
Осциллятор кучи орқали ўтишлар эҳтимолияти у орқали ўз навбатида энергетик сатҳлар ва спектрал чизиқларнинг кенглиги ифодаланади.
Эркин классик осциллятор нур чиқариш йўли билан узлуксиз энергиясини йўқатиб боради ва унинг тебраниши сўнади.
Маълум бир частотали классик осцилляторнинг сўниши, аниқ ўтишлар эҳтимолиятига мос келади.
Ўтишлар эҳтимолияти А нафақат частотага балки комбинацияланувчи сатҳларнинг хоссасига ҳам боғлиқ
Агар бошланғич энергияси (26) бўлган осциллятор бўлса унинг амплатудаси вақт ўтиши билан (27) қонуният асосида сўнади.
Сўниш коэффиценти бошланғич амплитуда ва энергияга боғлиқ эмас. Ҳисоблашлар кўрсатадики заряди e ва массаси m бўлган заррача чизиқли гармоник тебранаётган бўлса (28) агар аниқ частотали тебранаётган электрон ҳақида гап юритилса, унинг қиймати Масалан кўзга кўринадиган нур учун
27. So’nish koeffisenti
Сўниш коэффиценти квант нуқтаи назаридан берилган частотадаги ўтиш эҳтимолиятини аниқлайди ва тажрибада тасдиқланган
(29) ҳақиқий ўтиш эҳтимолияти дан фарқ қилади. Осцилляторнинг кучи Агар бўлса
Юқоридаги(29-31)га кўра
ва тескариси (33)
дан фарқли ўлчамсиз бўлади. Сон қийматлари кўринишида
Аниқ бир частота қийматларида масалан
Дипол магнит ва квадрупол нурланиш учун осциллятор кучи

28. Spektral chiziqlarning tabiiy kengligi
Tinch atom sistemasi uchun sath kengligi va chiziq kengligi tabiiy kenglik deyiladi. Bu kattalik faqat spontan nurlanish ehtimoliyati bilan bog‘liq.
Avvalambor, energetik sath tabiiy kengligining qancha bo‘lishini bilib olaylik. Shundan keyin spektral chiziq konturi haqida, ya’ni konturda intensivliklarning taqsimlanishi haqida fikr yuritish va tabiiy kenglikning ta’rifini berish mumkin. Buning uchun vaqt va energiyani bog‘lovchi kvantomexanik munosabatdan foydalanamiz. Agar biror bir sistemaning yashash payti t bo‘lsa, unda shu holatning energiyasining aniqligi E bo‘ladi, ya’ni Geyzenbergning noaniqlik munosabatiga asosan
 (3)
bu yerda:

E – kattalik sathning kengligini bildira
29. Geyzenbergning noaniqlik munosabati manosi
Agar biror bir sistemaning yashash payti t bo‘lsa, unda shu holatning energiyasining aniqligi E bo‘ladi, ya’ni Geyzenbergning noaniqlik munosabatiga asosan
 (3)
bu yerda:

E – kattalik sathning kengligini bildiradi. Agar shu sathda sistemaning yashash vaqti cheksiz katta bo‘lganda sathning kengligi cheksiz kichik bo‘lar edi. Bu normal ya’ni zarralarning yashash payti cheksiz bo‘lgan sathlarda. Aksincha yashash payti kichik bo‘lgan sathning kengligi katta bo‘ladi. Sistemaning uyg‘ongan E_i – holatdagi yashash payti t=_i deb (3) dan
(4)
ni hosil qilamiz. Chastota birliklarida
~ (5)
Bu formula vaqt orqali chastotadagi aniqlikni ifodalaydi. Oddiy uyg‘ongan elektron holatlarning yashash davri 10^-8 sek., bo‘lganligi tufayli quyidagi kattalikni hosil qilamiz:
~ ~ (6)
Bu aytaylik, =10¹⁵sek^–1 (=3000Å) da / nisbat 10^–8 ni beradi yoki energiya birligida 10^–34/10^–8=10^–26 j.s. Bu sathning kengligini va spektral chiziqning juda ingichka, ya’ni kichkinaligini ko‘rsatadi.
30. Uyg’ongan xolatning yashash vaqti
Bu normal ya’ni zarralarning yashash payti cheksiz bo‘lgan sathlarda. Aksincha yashash payti kichik bo‘lgan sathning kengligi katta bo‘ladi. Sistemaning uyg‘ongan E_i – holatdagi yashash payti t=_i deb (3) dan
(4)
ni hosil qilamiz. Chastota birliklarida
~ (5)
Bu formula vaqt orqali chastotadagi aniqlikni ifodalaydi. Oddiy uyg‘ongan elektron holatlarning yashash davri 10^-8 sek., bo‘lganligi tufayli quyidagi kattalikni hosil qilamiz:
~ ~ (6)
Bu aytaylik, =10¹⁵sek^–1 (=3000Å) da / nisbat 10^–8 ni beradi yoki energiya birligida 10^–34/10^–8=10^–26 j.s. Bu sathning kengligini va spektral chiziqning juda ingichka, ya’ni kichkinaligini ko‘rsatadi. Haqiqatda esa spektral chiziqning kengligi ancha katta bo‘ladi (vazifa, =25000Å bo‘lganda tabiiy kengligi qancha bo‘lishini toping). Shuni qayd etib o‘tish lozimki,  chiziq kengligi  chastotaga bog‘liq emas, E_i va E_j energetik sathlarning ma’lum _i va _j yashash vaqtlarida (1) va (5) ga asosan quyidagiga ega bo‘lamiz:
(7)
_ij faqat shu vaqtlar bilan aniqlanadi. (5) formuladagi yashash vaqti _i ni E_i sathdan barcha quyi sathlarga to‘liq spontan o‘tish ehtimoliyati A_i bilan almashtirishimiz mumkin, u holda:
(8)
ya’ni sathning kengligi, berilgan sathdan pastki energetik sathlarga spontan o‘tishlarning to‘liq ehtimoliyatiga proporsional bo‘lib, taqriban shunday qiymatga ega bo‘ladi.
31. So’nuvchi ossilyator tenglamasi
Agar klassik nuqtayu nazardan erkin tebranayotgan klassik ossillyatorning so‘nish tenglamasini qarasak, u eksponensial qonun bilan so‘nishini ko‘ramiz.
(11)