Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

Пример 15. Доказать, что уравнение , (13)
не имеет непрерывных решений.
Решение. Допустим, что существует непрерывное решение функционального уравнения. Подставим в исходное уравнения вместо выражение , ведь если , то и , получим: (14)
Теперь сделаем такую же замену в соотношении (13): (15)
Описанную операцию проделаем ещё несколько pаз. На n-ом шаге имеем:

Сложим все получившиеся выражения, начиная с (13) (всего будет выражений), и приведем подобные слагаемые: (16)

Равенство (16) верно для любого натурального . Зафиксируем , а устремим к ∞. Ввиду непрерывности в точке , находим (17) , где .
В левой части (17) при конкретном (фиксированном) стоит некоторая константа, т.е. при данном ряд в правой части (17) сходится к этой константе. Мы же покажем, что этот ряд расходится для любого значения , таким образом, придём к противоречию.
Для любого натурального и верно неравенство , так что
Гармонический ряд неограниченно возрастает при увеличении (известный факт), следовательно, расходится к . Что и требовалось доказать.
Пример 17. Найти , ограниченную на любом конечном интервале, удовлетворяющую функциональному уравнению: .
Решение. ;
, … ,
переходя к при используя непрерывность и получаем, что .
Пример 18. Решить функциональное уравнение , (18) в классе непрерывных функций.
Решение. Выполнив замену , получим (19).
Складывая (18) с уравнением (19), умноженным на , получим .
Это уравнение решается аналогично уравнению (10). Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив раз подстановку , получим систему уравнений, из которой находим

Отсюда при , или , что и подтверждается проверкой.