Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

Решение. При замене получаем систему ,
решением которой при является функция .
Пример 9. Найти все функции , заданные на промежутке , для которых выполнено равенство .
Решение. Выполнив последовательно две замены , ,
приходим к системе функциональных уравнений: .
Последнее уравнение есть сумма первых двух, умноженных на -1, т. е. из данной системы функция однозначно не определяется. Из первых двух уравнений находим , . Мы можем определить произвольным образом на одном из интервалов и эти формулы дадут нам расширение на все множество .
Пример 10. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций и :
Решение. В первом уравнении сделаем подстановку . При этом и первое уравнение принимает вид: или . В результате получаем систему уравнений: , решение которой , .



1.3 Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений
1.3.1 Предельный переход
Идею предельного перехода проиллюстрируем на следующих примерах.
Пример 14. Решить в классе непрерывных функций уравнение , где . (10)
Решение. Заменив на , получим
. (11)
Используя ту же замену, из уравнения (11) последовательно получим , ,...
Методом математической индукции можно доказать, что .
Сложив все уравнения, начиная с (11), получим . (12)
Так как функция непрерывна, то при любом фиксированном . Здесь . Из уравнения (10) . Тогда .
Левая часть равенства (12) не зависит от , поэтому существует ее предел при . Переходя к пределу в равенстве, при имеем .
Правая часть является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий , , .
Итак, , что и подтверждается проверкой.