Определим элементарные функции, как решения функционального уравнения

Пример 4. Найти непрерывные решения функционального уравнения .
Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию: . Тогда подставляя в исходное уравнение , получим , .
Это уравнение Коши его решением является функция . Окончательно находим и все такие функции удовлетворяют условию.
Пример 5. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций .
Решение. Положим в уравнении вместо и 0 вместо , получим: . Сравнивая полученное соотношение с первоначальным функциональным уравнением, имеем: . Это уравнение переходит в уравнение Коши (4) при подстановке , тогда , а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.
Пример 6. Найти все непрерывные функции , удовлетворяющие тождеству .
Решение. Поделив тождество на , перепишем его так: , отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию: . Тогда функция удовлетворяет (6). Поэтому находим .

1.2 Метод подстановок
Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. Поясним метод на следующих примерах.
Пример 7. Найти все решения функционального уравнения .
Решение. Положим в уравнении . Так как - произвольно, то .
Пусть теперь . Подставим в уравнение , получим: или . Функция является решением исходного уравнения.
Пример 8. Пусть - некоторое действительное число. Найти функцию , определённую для всех и удовлетворяющую уравнению , где – заданная функция, определённая при .